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- 2021-06-09 发布
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高考考点
命题分析
三年高考探
考查频率
三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式和诱导公式
三角函数的考查重点是三角函数的定义、图象与性质,考查中以图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值作为热点,并常与三角恒等变换交汇命题,难度为中档偏下.
2016课标全国Ⅲ5
★★★
三角函数的图象
2017课标全国Ⅰ9
2016课标全国Ⅱ7
2015课标全国Ⅰ8
★★★★★
三角函数的性质
2017课标全国Ⅲ6
2016课标全国Ⅰ12
★★★★★
考点1 三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式和诱导公式
题组一 利用三角函数的定义求三角函数的值
调研1 已知角的终边经过点,则
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为角的终边经过点,所以,则,
即.故选D.
☆技巧点拨☆
任意角的三角函数值的求解策略
(1)确定三个量 角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及该点到原点的距离;
(2)若已知角的大小,只需确定出角的终边与以坐标原点为圆心的单位圆的交点的坐标,即可求出该角的三角函数值;
(3)检验时,注意各象限三角函数值的正号规律 一全二正弦,三切四余弦.
题组二 利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式化简求值
调研2 已知,且=,则的值为 .
【答案】
【解析】因为,所以,
又,所以,则.
因为,所以=.
调研3 若=,则的值等于
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为,所以.所以=.故选C.
☆技巧点拨☆
1.应用诱导公式,重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断.求任意角的三角函数值的问题,都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题,具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值.
2.巧用相关角的关系能简化解题的过程.
常见的互余关系有与,与,与等;
常见的互补关系有与,与等.
考点2 三角函数的图象
题组一 已知三角函数的图象求函数的解析式
调研1 某函数的部分图象如图所示,则它的函数解析式可能是
A.y=sin(-x+) B.y=sin(x-)
C.y=sin(x+) D.y=-cos(x+)
【答案】C
【解析】方法一 不妨令该函数解析式为y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),
由题图知A=1,-,于是,即ω=,
又是函数的图象递减时经过的零点,于是+φ=2 π+π, ∈ ,所以φ可以是.
方法二 由图象知过点,代入选项可排除A、D.又过点,代入B,C知C正确.学
题组二 三角函数的图象变换
调研2 函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,为了得到g(x)=-Acos ωx的图象,可以将f(x)的图象
A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
【答案】B
【解析】由题图知A=1,-,所以T==π,所以ω=2.故f(x)=sin(2x+φ).
因为f()=0,0<φ<π,所以2×+φ=π,解得φ=,
所以f(x)=sin(2x+).
又g(x)=-cos 2x=sin(2x-)=sin[ 2(x-,所以要想得到g(x)的图象,只需将函数f(x)的图象向右平移个单位长度.故选B.
调研3 若将函数y=3sin(2x+)+的图象向右平移个单位长度,则平移后图象的对称中心为
A.(+,)( ∈ ) B.(+,0)( ∈ )
C.(,)( ∈ ) D.(,0)( ∈ )
【答案】C
【解析】y=3sin(2x+)+的图象向右平移个单位长度得到y=3sin[2(x-)+]+=3sin 2x+的图象,
由2x= π, ∈ 得x=, ∈ ,所以对称中心为(,)( ∈ ),故选C.学
☆技巧点拨☆
作三角函数图象左右平移变换时,平移的单位数是指单个变量x的变化量,因此由y=sin ωx(ω>0)的图象得到y=sin(ωx+φ)的图象时,应将图象上所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移个单位,而非|φ|个单位.
考点3 三角函数的性质
题组一 三角函数的单调性
调研1 已知函数()的图象中相邻两条对称轴间的距离为,且点是它的一个对称中心.
(1)求的表达式;
(2)求的单调递增区间;
(3)若在上是单调递减函数,求的最大值.
【解析】(1)由题意得的最小正周期为,
∴∴∴.
又是它的一个对称中心,∴,,
∴,,
∵, ∴.
∴.
(2)由,得,
∴的单调递增区间为
(3)∵又在上是减函数, 学
∴ ,又,∴ ,即的最大值为.
☆技巧点拨☆
1.求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性“同增异减”的规律.
2.对于三角函数的定义域有范围限制时,在求单调区间时应给予关注,一定要在定义域范围内研究其单调区间.
3.已知三角函数的单调区间求参数的问题,一般先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解.
题组二 三角函数的值域与最值
调研2 求函数f(x)=2sin2x+2sin -,x∈[,]的值域.
【解析】令t=sin ,因为x∈[,],所以≤sin ≤1,即≤t≤1.
则g(t) =2t2+2t-=2(t+)2-1,t∈[,1],且该函数在[,1]上是增加的,所以g(t)的最小值为g()=1,最大值为g(1)=.
即函数f(x)的值域为[1,]. 学
☆技巧点拨☆
求解三角函数的值域(最值)的类型与方法
(1)形如的三角函数,可先化为的形式,再求解;
(2)形如的三角函数,可先设sin =t,转化为关于t的二次函数求解.
(3)形如的三角函数,可先设得,把原解析式化为关于t的二次函数,再求解.
题组三 三角函数的奇偶性、周期性、对称性
调研3 已知函数f(x)=sin(ωx+)(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,将的图象向左平移|φ|个单位长度,所得图象关于y轴对称,则φ的一个值是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由最小正周期为π得ω=2,于是f(x)=sin(2x+),其图象向左平移|φ|个单位长度后所对应的函数的解析式为y=sin(2x++2|φ|),由于该函数的图象关于y轴对称,所以它是偶函数,所以+2|φ|= π+, ∈ ,所以|φ|=+, ∈ ,故选D.学
调研4 已知函数f(x)=2sin2 +bsin cos 满足f=2.
(1)求实数b的值以及函数f(x)的最小正周期;
(2)记g(x)=f(x+t),若函数g(x)是偶函数,求实数t的值.
【解析】(1)由f=2,得2×+b××=2,
解得b=2.
则f(x)=2sin2 +2sin cos =1-cos 2x+sin 2x=1+2sin,
所以函数f(x)的最小正周期T==π.
(2)由(1)得,所以g(x)=2sin+1,
又函数g(x)是偶函数,则对于任意的实数x,均有g(-x)=g(x)成立.
所以sin=sin,整理得cossin 2x=0.
则cos=0,解得2t-= π+, ∈ ,
所以t=+, ∈ .
☆技巧点拨☆
1.整体思想在三角函数性质中的应用
在求解y=Asin(ωx+φ)的奇偶性、单调性、对称性及已知区间上的最值问题时往往将ωx+φ看作整体,利用y=Asin 的图象与性质进行求解.
2.三角函数最小正周期的变化仅与自变量x的系数有关,与其他因素无关.
3.研究三角函数性质时注意数形结合思想的运用.
1.(2017-2018学年安徽省六安市第一中学高三上学期第二次月考)若,且,则角的终边位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【答案】B
2.(2017-2018学年福建省德化一中、永安一中、漳平一中高三上学期三校联考)已知,则=
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为,所以.学
3.(2017-2018学年广东省广州市华南师范大学附属中学高三综合测试)为了得到函数的图象,只要把图象上所有的点
A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
【答案】C
4.(2017-2018学年广西柳州市高三毕业班上学期摸底联考)同时具有以下性质 “①最小正周期是;②图象关于直线对称;③在上是增函数;④一个对称中心为”的一个函数是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由最小正周期可排除A;把代入,函数值为0的只有C,排除B,D.故选C.
5.(2017河西五市联考)将函数y=cos +sin (x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】y=sin +cos =2sin(x+),将其图象向左平移m
个单位后,得到的图象对应的函数解析式为y=2sin(x+m+),由题意得m+=+ π, ∈ ,则m=+ π, ∈ ,故取 =0时,mmin=,
故选B.学
6.(2017-2018学年辽宁省大连市旅顺中学、旅顺第二高级中学、大连市第三中学高三第二次联考)若函数的部分图象如图所示,则关于的描述中正确的是
A.在上是减函数 B.在上是减函数
C.在上是增函数 D.在上是增函数
【答案】C
7.(2018届江苏省泰州中学高三10月月考)已知角的终边过点且则的值为__________.
【答案】
【解析】依题意,,得.学
8.(2017-2018学年上海市师范大学附属中学高三上学期期中考试)化简 __________.
【答案】
【解析】.
9.(2017-2018学年江苏省苏州市高三上学期期中调研)函数图象的一条对称轴是,则的值是__________.
【答案】
10.(2017-2018学年河北省衡水中学高三上学期二调考试)已知,则 __________.
【答案】
【解析】∵,∴,
∴.学
11.(2017-2018学年天津市南开中学高三上学期第一次月考)已知函数与,它们的图象有一个横坐标为的交点,则的值是__________.
【答案】
【解析】由题可得,所以,所以,解得的值是.
12.(2017-2018学年江苏省南京市多校高三上学期第一次段考)函数(是常数,)的部分图象如图所示,则 __________.
【答案】
13.(2017-2018学年河北省邢台市高三上学期第二次月考)设函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式;
(2)当时,求的取值范围.
【答案】(1) ;(2) .
14.(2017-2018学年天津市南开中学高三上学期第一次月考)已知函数.
(1)求函数的最小正周期和函数的单调递增区间;
(2)若函数的对称中心为,求的所有的和.
【答案】(1) 最小正周期为,单调递增区间为. (2).
15.(2017-2018学年黑龙江省佳木斯市第一中学高三上学期第五次调研)已知函数).
(1)若,求函数图象的对称轴方程;
(2)若的最小值是2,最大值是4,求实数的值.
【答案】(1);(2)或
16.(2017-2018学年广东省中山市第一中学高三第二次统测)已知函数.
(1)当时,求函数的取值范围;
(2)将的图象向左平移个单位得到函数的图象,求的单调递增区间.
【答案】(1);(2).
【解析】(1),
因为时,,
所以,
所以函数的取值范围为.
(2)因为,
所以令,得,
故的单调递增区间为.
17.(2017-2018学年江苏省苏州市高三上学期期中调研)已知函数的图象与x轴相切,且图象上相邻两个最高点之间的距离为.
(1)求的值;
(2)求在上的最大值和最小值.
【答案】(1),;(2) 最大值为,最小值为0.
∵,∴,
∴当,即时,取得最大值,为;
当,即时,取得最小值,为0.
1.(2017新课标全国Ⅰ理 )已知曲线C1 y=cos ,C2 y=sin (2x+),则下面结论正确的是
A.把C1上各点的横坐标伸长到原 的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原 的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原 的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原 的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
【答案】D
2.(2016新课标全国Ⅲ理 )若,则
A. B.
C.1 D.
【答案】A
【解析】.故选A.
3.(2016新课标全国Ⅱ理 )若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度,则平移后图像的对称轴为
A.x=( ∈ ) B.x=( ∈ )
C.x=( ∈ ) D.x=( ∈ )
【答案】B
4.(2015新课标全国Ⅰ理 )函数=的部分图象如图所示,则的单调递减区间为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由图象可知,,解得,,所以,
令,解得<<,,故单调减区间为(,),,故选D.
【名师点睛】本题考查函数的图象与性质,先列出关于的方程,求出,或利用图象先求出周期,用周期公式求出,利用特殊点求出,再利用复合函数单调性求其单调递减区间,是中档题,正确求出是解题的关键.
5.(2016新课标全国I理 )已知函数为的零点,为图像的对称轴,且在单调,则的最大值为
A.11 B.9
C.7 D.5
【答案】B