【数学】2019届一轮复习北师大版转化与化归思想学案 7页

第四讲 转化与化归思想 思想方法诠释 转化与化归思想：是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.‎ 要点一 特殊与一般的转化 ‎[解析] (1)因为非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，所以不妨设a＝(1,0)，b＝，则2a－b＝，所以a·(2a－b)＝，故cos〈a,2a－b〉＝＝＝.‎ ‎(2)令a＝b＝c，则△ABC为等边三角形，‎ 且cosA＝cosC＝，‎ 代入所求式子，得＝＝.‎ ‎[答案] (1)D (2) 化一般为特殊的应用要点 把一般问题特殊化，解答选择题、填空题常能起到事半功倍的效果，既准确又迅速．常用的特例有特殊值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等，要注意恰当利用所学知识、恰当选择特殊量．‎ ‎[对点训练]‎ ‎1．已知点P是△ABC所在平面内的一点，边AB的中点为D，若＝＋，其中λ∈R，则点P一定在( )‎ A．AB边所在的直线上 B．BC边所在的直线上 C．AC边所在的直线上 D．△ABC的内部 ‎[解析] 取λ＝1，则2＝，因为边AB的中点为D，所以＋＝2，所以＋＝－，所以＝，所以A，C，P三点共线，因此点P一定在AC边所在的直线上，故选C.‎ ‎[答案] C ‎2．(2017·威海模拟)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.‎ ‎[解析] 不妨令数列{an}为常数列，则an＝5，故a2＋a8＝10.‎ ‎[答案] 10‎ 要点二 函数、方程、不等式间的转化 ‎[解析] (1)由题易得f ′(x)＝3x2－12x＋4，因为a3，a2017是函数f(x)＝x3－6x2＋4x－1的两个不同的极值点，所以a3，a2017是方程3x2－12x＋4＝0的两个不等实数根，所以a3＋a2017＝4.又数列{an}为等差数列，所以a3＋a2017＝2a1010，即a1010＝2，从而loga1010＝log2＝－ ‎，故选B.‎ ‎(2)设|MA|＝a>0，因为|OM|＝2，|OA|＝2，由余弦定理知cos∠OMA＝＝＝×≥×2 ＝，当且仅当a＝2时等号成立，所以∠OMA≤，即∠OMA的最大值为.‎ ‎[答案] (1)B (2)C 函数、方程与不等式间的转化策略 函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简．本例(1)将函数的极值点转化为导函数的零点，再转化为方程的两个实根．(2)将∠OMA的最值转化为其三角函数值的最值，这样才能更好地进行运算．一般可将函数的零点与方程的根相互转化，将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．‎ ‎[对点训练]‎ ‎3．(2017·银川二模)若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x＋y＋m＝0的两侧，则m的取值范围为( )‎ A．(－∞，－5)∪(10，＋∞) B．[－5,10)‎ C．(－5,10) D．[－5,10]‎ ‎[解析] 因为点(1,3)和(－4，－2)在直线2x＋y＋m＝0的两侧，所以(5＋m)(－10＋m)<0，解得－50”，且为真命题，则Δ＝(a－1)2－4×2×<0，解得－1－2.所以－24x＋p－3成立的x的取值范围是________．‎ ‎[解析] 设f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，‎ 则当x＝1时，f(p)＝0.所以x≠1.‎ f(p)在0≤p≤4上恒正，等价于 即解得x>3或x<－1.‎ ‎[答案] (－∞，－1)∪(3，＋∞)‎ ‎——————————————————‎ 转化与化归思想的四项原则 ‎1．熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．‎ ‎2．简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．‎ ‎3．和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律．‎ ‎4．正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决．‎