【数学】2019届一轮复习北师大版直线与圆锥曲线的综合应用学案 7页

高考必考题突破讲座(五)‎ 直线与圆锥曲线的综合应用 ‎[解密考纲]圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，体现了函数与方程思想和数形结合的思想，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主在高考中进行考查．其目标是考查学生几何问题代数化的应用、运算能力和分析解决问题的能力．‎ ‎1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F‎1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程．‎ 解析 (1)由题设知 解得a＝2，b＝，c＝1，‎ ‎∴椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由(1)知，以F‎1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，‎ ‎∴圆心到直线l的距离d＝，由d<1，得|m|<.(*)‎ ‎∴|CD|＝2＝2＝.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得x2－mx＋m2－3＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3，‎ ‎|AB|＝＝.‎ 由＝，得＝1，解得m＝±，满足(*)．‎ ‎∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－.‎ ‎2．(2018·山西太原模拟)如图，曲线C由左半椭圆M：＋＝1(a>b>0，x≤0)和圆N：(x－2)2＋y2＝5在y轴右侧的部分连接而成，A，B是M与N的公共点，点P，Q(均异于点A，B)分别是M，N上的动点．‎ ‎(1)若|PQ|的最大值为4＋，求半椭圆M的方程；‎ ‎(2)若直线PQ过点A，且＋＝0，⊥，求半椭圆M的离心率．‎ 解析 (1)令x＝0，由(x－2)2＋y2＝5得y＝±1，‎ ‎∴A(0,1)，B(0，－1)，∴b＝1.‎ 由题意可知当P，Q均在x轴上时，|PQ|取得最大值，‎ ‎∴a＋2＋＝4＋，∴a＝2.‎ ‎∴半椭圆M的方程为＋y2＝1(x≤0)．‎ ‎(2)由(1)得A(0,1)，B(0，－1)，‎ 由题意知直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋1.‎ 设P(x1，y1)，由得(1＋a2k2)x2＋‎2a2kx＝0，‎ ‎∴x1＝－.‎ 设Q(x2，y2)，由得(1＋k2)x2＋2(k－2)x＝0，‎ ‎∴x2＝.‎ ‎∵＋＝0，∴x1＝－x2.‎ ‎∵⊥，∴·＝0，‎ ‎∴(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝0，‎ ‎∴(1＋k2)x－4＝0，将x2＝代入上式，得k＝，‎ ‎∴x1＝－，x2＝，∴＝，‎ ‎∴a2＝，c2＝，∴e＝.‎ ‎3．平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.‎ ‎(1)求M的方程；‎ ‎(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD的面积的最大值．‎ 解析 (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，‎ 则＋＝1，＋＝1，＝－1.‎ 由此可得＝－＝1.‎ 因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，所以a2＝2b2.‎ 又由题意知，M的右焦点为(，0)，‎ 故a2－b2＝3.因此a2＝6，b2＝3.‎ 所以M的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由解得或 因此|AB|＝.‎ 由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n，‎ 设C(x3，y3)，D(x4，y4)，‎ 由得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.‎ 于是x3,4＝.因为直线CD的斜率为1，‎ 所以|CD|＝|x4－x3|＝.‎ 由已知，四边形ACBD的面积 S＝|CD|·|AB|＝.‎ 当n＝0时，S取得最大值，最大值为.‎ ‎4．(2018·福建质检)已知圆O：x2＋y2＝4，点A(－，0)，B(，0)，以线段AP为直径的圆C1内切于圆O.记点P的轨迹为C2.‎ ‎(1)证明：|AP|＋|BP|为定值，并求C2的方程；‎ ‎(2)过点O的一条直线交圆O于M，N两点，点D(－2,0)，直线DM，DN与C2的另一个交点分别为S，T.记△DMN，△DST的面积分别为S1，S2，求的取值范围．‎ 解析 (1)如图，因为圆C1内切于圆O，‎ 所以|OC1|＝2－|AP|.‎ 依题意，O，C1分别为AB，AP的中点，‎ 所以|OC1|＝|BP|，‎ 所以|AP|＋|BP|＝2(2－|OC1|)＋‎ ‎2|OC1|＝4>|AB|.‎ 所以C2是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，‎ 所以C2的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)依题意，设直线DM的方程为x＝my－2(m≠0)，‎ 因为MN为圆O的直径，所以∠MDN＝90°，‎ 所以直线DN的方程为x＝－y－2，‎ 由得(1＋m2)y2－4my＝0，所以yM＝，‎ 由得(4＋m2)y2－4my＝0，所以yS＝，‎ 所以＝，所以＝＝，‎ 所以＝＝·＝‎ ·＝.‎ 令t＝1＋m2，则t>1,0<<3，‎ 所以＝＝∈，‎ 即的取值范围为.‎ ‎5．(2018·安徽百所重点中学模拟)如图，设直线l：y＝k与抛物线C：y2＝2px(p>0，p为常数)交于不同的两点M，N，且当k＝时，抛物线C的焦点F到直线l的距离为.‎ ‎(1)求抛物线C的标准方程；‎ ‎(2)过点M的直线交抛物线于另一点Q，且直线MQ过点B(1，－1)，求证：直线NQ过定点．‎ 解析 (1)当k＝时，直线l：y＝，即2x－4y＋p＝0，‎ 抛物线C的焦点F到直线l的距离d＝＝＝，‎ 解得p＝±2，又p>0，所以p＝2，‎ 所以抛物线C的标准方程为y2＝4x.‎ ‎(2)设点M(4t2,4t)，N(4t，4t1)，Q(4t，4t2)，易知直线MN，MQ，NQ的斜率均存在，‎ 则直线MN的斜率是kMN＝＝，‎ 从而直线MN的方程是y＝(x－4t2)＋4t，‎ 即x－(t＋t1)y＋4tt1＝0.‎ 同理可知MQ的方程是x－(t＋t2)y＋4tt2＝0，‎ NQ的方程是x－(t1＋t2)y＋4t1t2＝0.‎ 又易知点(－1,0)在直线MN上，从而有4tt1＝1，即t＝，‎ 点B(1，－1)在直线MQ上，从而有1－(t＋t2)(－1)＋4tt2＝0，‎ 即1－(－1)＋4××t2＝0，‎ 化简得4t1t2＝－4(t1＋t2)－1.‎ 代入NQ的方程得x－(t1＋t2)y－4(t1＋t2)－1＝0.‎ 所以直线NQ过定点(1，－4)．‎ ‎6．(2018·甘肃张掖一诊)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F‎1F2|＝2，点P为椭圆短轴的端点，且△PF‎1F2的面积为2.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)点B是椭圆上的一定点，B1，B2是椭圆上的两动点，且直线BB1，BB2关于直线x＝1对称，试证明直线B1B2的斜率为定值．‎ 解析 (1)由题意可知c＝，‎ S△PF‎1F2＝|F‎1F2|×b＝2，‎ 所以b＝2，求得a＝3，故椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设直线BB1的斜率为k，因为直线BB1与直线BB2关于直线x＝1对称，所以直线BB2的斜率为－k，所以直线BB1的方程为y－＝k(x－1)，设B1(x1，y1)，B2(x2，y2)，‎ 由 可得(4＋9k2)x2＋6k(4－3k)x＋9k2－24k－4＝0，‎ 因为该方程有一根为x＝1，‎ 所以x1＝，‎ 以－k代入k得x2＝，‎ 所以kB1B2＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ 故直线B1B2的斜率为定值.‎