【数学】2018届一轮复习苏教版（理）基本不等式及其应用教案（江苏专用） 16页

第15课 基本不等式及其应用 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 基本不等式及其应用 ‎√‎ ‎1．基本不等式≤ ‎(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.‎ ‎(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.‎ ‎2．几个重要的不等式 ‎(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；‎ ‎(2)＋≥2(a，b同号且不为零)；‎ ‎(3)ab≤2(a，b∈R)；‎ ‎(4)2≤(a，b∈R)．‎ ‎3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．‎ ‎4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 ‎(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．‎ ‎(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是 ‎(简记：和定积最大)．‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)‎ ‎(2)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.(　　)‎ ‎(3)x>0，y>0是＋≥2的充要条件．(　　)‎ ‎(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是________．(填序号)‎ ‎①a2＋b2>2ab；‎ ‎②a＋b≥2；‎ ‎③＋>；‎ ‎④＋≥2.‎ ‎④　[∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴①错误；对于②，③，当a<0，b<0时，明显错误．‎ 对于④，∵ab>0，∴＋≥2＝2.]‎ ‎3．若a，b都是正数，则的最小值为________．‎ ‎9　[∵a，b都是正数，∴＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝‎2a>0时取等号．]‎ ‎4．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于________．‎ ‎3　[当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2 ‎＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3.]‎ ‎5．(教材改编)若把总长为‎20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m2.‎ ‎25　[设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y，‎ 则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，‎ 则y＝x(10－x)≤2＝25，‎ 当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.]‎ 利用基本不等式求最值 角度1　配凑法求最值 ‎　(1)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________. ‎ ‎【导学号：62172084】‎ ‎(2)(2017·无锡模拟)若实数x，y满足x>y>0，且log2x＋log2y＝1，则的最小值为________．‎ ‎(1)1　(2)4　[(1)因为x<，所以5－4x>0，‎ 则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.‎ 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．‎ 故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.‎ ‎(2)由log2x＋log2y＝1得xy＝2.‎ ‎∴＝＝(x－y)＋.‎ 又x>y，∴x－y>0.‎ ‎∴(x－y)＋≥2＝4，‎ 当且仅当x－y＝，即x－y＝2时等号成立．‎ 故的最小值为4.]‎ 角度2　常数代换或消元法求最值 ‎　(1)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________．‎ ‎(2)设a＋b＝2，b>0，则＋取最小值时，a的值为________．‎ ‎(1)5　(2)－2　[(1)法一：由x＋3y＝5xy可得＋＝1，‎ ‎∴3x＋4y＝(3x＋4y) ‎＝＋＋＋≥＋＝5.‎ ‎(当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立)，‎ ‎∴3x＋4y的最小值是5.‎ 法二：由x＋3y＝5xy，得x＝，‎ ‎∵x>0，y>0，∴y>.‎ ‎∴3x＋4y＝＋4y ‎＝＋4y ‎＝＋·＋4≥＋2＝5，‎ 当且仅当y＝时等号成立，‎ ‎∴(3x＋4y)min＝5.‎ ‎(2)∵a＋b＝2，‎ ‎∴＋＝＋ ‎＝＋ ‎＝＋＋ ‎≥＋2＝＋1，‎ 当且仅当＝时等号成立．‎ 又a＋b＝2，b>0，‎ ‎∴当b＝－2a，a＝－2时，＋取得最小值．]‎ 角度3　不等式的综合应用 ‎　(1)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为________．‎ ‎(2)设f(x)＝ln x,0p; ④p＝r>q.‎ ‎(1)1　(2)②　[＝＝≤＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以＋－＝－＝－2＋1≤1.‎ ‎(2)因为b>a>0，故>.又f(x)＝ln x(x>0)为增函数，所以f>f()，即q>p.又r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)＝ln ＝p，∴p＝r0，b>0，a＋b＝1，求证：‎ ‎(1)＋＋≥8；‎ ‎(2)≥9. 【导学号：62172085】‎ ‎[证明]　(1)＋＋＝2.‎ ‎∵a＋b＝1，a>0，b>0，‎ ‎∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，‎ ‎∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立)．‎ ‎(2)法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，‎ ‎∴1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋，‎ ‎∴＝ ‎＝5＋2≥5＋4＝9，‎ ‎∴≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立)．‎ 法二：＝1＋＋＋，‎ 由(1)知，＋＋≥8，‎ 故＝1＋＋＋≥9.‎ ‎[规律方法]　1.“‎1”‎的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形．‎ ‎2．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到．‎ ‎[变式训练1]　设a，b均为正实数，求证：＋＋ab≥2.‎ ‎[证明]　由于a，b均为正实数，‎ 所以＋≥2＝，‎ 当且仅当＝，即a＝b时等号成立，‎ 又因为＋ab≥2＝2，‎ 当且仅当＝ab时等号成立，‎ 所以＋＋ab≥＋ab≥2，‎ 当且仅当即a＝b＝时取等号.‎ 基本不等式的实际应用 ‎　运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．‎ ‎(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；‎ ‎(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．‎ ‎[解]　(1)设所用时间为t＝(h)，‎ y＝×2×＋14×，x∈[50,100]．‎ 所以这次行车总费用y关于x的表达式是 y＝＋x，x∈.‎ ‎(或y＝＋x，x∈)．‎ ‎(2)y＝＋x≥26 ，‎ 当且仅当＝x，‎ 即x＝18，等号成立．‎ 故当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元．‎ ‎[规律方法]　1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．‎ ‎2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．‎ ‎3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．‎ ‎[变式训练2]　某化工企业2016年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．‎ ‎(1)用x表示y；‎ ‎(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．‎ ‎[解]　(1)由题意得，‎ y＝，‎ 即y＝x＋＋1.5(x∈N＋)．‎ ‎(2)由基本不等式得：‎ y＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5，‎ 当且仅当x＝，即x＝10时取等号．‎ 故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．‎ ‎2．基本不等式的两个变形：‎ ‎(1)≥2≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．‎ ‎(2)≥≥≥(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”‎ 三个条件缺一不可．‎ ‎2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽视它往往会导致解题错误．‎ ‎3．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．‎ 课时分层训练(十五)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、填空题 ‎1．下列命题中正确的是________．(填序号)‎ ‎①y＝x＋的最小值是2；‎ ‎②y＝2－3x－(x＞0)的最大值是2－4；‎ ‎③y＝sin2x＋的最小值是4；‎ ‎④y＝2－3x－(x＜0)的最小值是2－4.‎ ‎②　[①不正确，如取x＝－1，则y＝－2.‎ ‎②正确，因为y＝2－3x－＝2－≤2－2＝2－4.‎ 当且仅当3x＝，即x＝时等号成立．‎ ‎③不正确，令sin2x＝t，则0＜t≤1，所以g(t)＝t＋，显然g(t)在(0,1]上单调递减，故g(t)min＝g(1)＝1＋4＝5.‎ ‎④不正确，∵x＜0，∴－x＞0，‎ ‎∴y＝2－3x－＝2＋≥2＋4.‎ 当且仅当－3x＝－，即x＝－时等号成立．]‎ ‎2．关于x的不等式x2－4ax＋‎3a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，则x1＋x2＋ 的最小值是________．‎ 　[依题意可得x1＋x2＝‎4a，x1·x2＝‎3a2，∴x1＋x2＋＝‎4a＋＝‎4a＋≥2＝，故x1＋x2＋的最小值为.]‎ ‎3．已知a＞0，b＞0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为________. 【导学号：62172086】‎ ‎16　[因为a＞0，b＞0，所以由－－≤0恒成立得m≤(‎3a＋b)＝10＋＋恒成立．因为＋≥2＝6，当且仅当a＝b时等号成立，所以10＋＋≥16，所以m≤16，即m的最大值为16.]‎ ‎4．(2017·盐城模拟)若x>0，y>0，且2x＋y＝2，则＋的最小值是________．‎ ＋　[由2x＋y＝2得x＋＝1.‎ ‎∴＋＝＝1＋＋＋ ‎＝＋＋≥＋2＝＋.]‎ ‎5．要制作一个容积为‎4 m3‎ ，高为‎1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________．‎ ‎160元　[由题意知，体积V＝‎4 m3‎，高h＝‎1 m，‎ 所以底面积S＝4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m．又设总造价是y元，则 y＝20×4＋10×≥80＋20＝160.‎ 当且仅当2x＝，即x＝2时取得等号．]‎ ‎6．已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝y，若＋(m＞0)的最小值为3，则m的值为________．‎ ‎4　[由2x－3＝y得x＋y＝3，则 ＋＝(x＋y)· ‎＝≥(1＋m＋2)，‎ ‎∴(1＋m＋2)＝3，即(＋1)2＝9，解得m＝4.]‎ ‎7．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为________．‎ ‎2　[由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2，‎ 当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.]‎ ‎8．已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是__________. ‎ ‎【导学号：62172087】‎ ‎3　[由x2＋2xy－3＝0得y＝＝－x，则2x＋y＝2x＋－x＝＋≥2＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，所以2x＋y的最小值为3.]‎ ‎9．当a＞0且a≠1时，函数f(x)＝loga(x－1)＋1的图象恒过点A，若点A在直线mx－y＋n＝0上，则‎4m＋2n的最小值为________．‎ ‎2　[由题意可得：点A的坐标为(2,1)，所以‎2m＋n＝1，所以‎4m＋2n＝‎22m＋2n≥2＝2＝2.]‎ ‎10．(2017·苏州期末)已知ab＝，a，b∈(0,1)，则＋的最小值为________. 【导学号：62172088】‎ ‎4＋　[∵ab＝，∴b＝.‎ ‎∴＋＝＋＝＋ ‎＝＋＝＋＋2‎ ‎＝＋＋2‎ ‎＝＋2‎ ‎＝＋2‎ ‎≥(3＋2)＋2＝4＋.‎ 当且仅当a＝时，取“＝”．]‎ 二、解答题 ‎11．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；‎ ‎(2)设00，‎ ‎∴＋≥2＝4，‎ 当且仅当＝，即x＝－时取等号．‎ 于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.‎ ‎(2)∵00，‎ ‎∴y＝＝·≤·＝，‎ 当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，‎ ‎∴当x＝1时，函数y＝的最大值为.‎ ‎12．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：‎ ‎(1)xy的最小值；‎ ‎(2)x＋y的最小值．‎ ‎[解]　(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，‎ 又x>0，y>0，‎ 则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64，‎ 当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．‎ 所以xy的最小值为64.‎ ‎(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，‎ 则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋ ‎≥10＋2 ＝18.‎ 当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，‎ 所以x＋y的最小值为18.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2016·扬州期末)已知a>b>1且2logab＋3logba＝7，则a＋的最小值为________．‎ ‎3　[由2logab＋3logba＝7得logab＝或logab＝3(舍去)，‎ ‎∴a＝b2，‎ ‎∴a＋＝b2＋＝(b2－1)＋＋1≥2＋1＝3.‎ 当且仅当b2－1＝，即b＝，a＝2时等号成立．]‎ ‎2．(2015·山东高考)定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)．当x>0，y>0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．‎ 　[因为xy＝，所以(2y)x＝.又x>0，y>0.故xy＋(2y)x＝＋＝≥＝，当且仅当x＝y时，等号成立．]‎ ‎3．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1≤t≤30，t∈N＋)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)＝4＋，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)＝120－|t－20|.‎ ‎(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N＋)的函数关系式；‎ ‎(2)求该城市旅游日收益的最小值．‎ ‎[解]　(1)W(t)＝f(t)g(t)＝(120－|t－20|)‎ ‎＝ ‎(2)当t∈[1,20]时，401＋4t＋≥401＋2＝441(t＝5时取最小值)．‎ 当t∈(20,30]时，因为W(t)＝559＋－4t递减，‎ 所以t＝30时，W(t)有最小值W(30)＝443，‎ 所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元．‎ ‎4．(2017·盐城模拟)已知美国苹果公司生产某款iPhone手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设苹果公司一年内共生产该款iPhone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且 R(x)＝ ‎(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；‎ ‎(2)当年产量为多少万只时，苹果公司在该款iPhone手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．‎ ‎[解]　(1)当040，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋7 360.‎ 所以，W＝ ‎(2)①当040时，W＝－－16x＋7 360，‎ 由于＋16x≥2＝1 600，‎ 当且仅当＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，W取最大值为5 760.‎ 综合①②知，当产量为32万只时，W取最大值为6 104美元．‎