【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第4章第5节第1课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式学案 11页

第五节　三角恒等变换 ‎ [最新考纲]　1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．‎ ‎1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；‎ ‎(2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；‎ ‎(3)tan(α±β)＝.‎ ‎2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin 2α＝2sin αcos α；‎ ‎(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ ‎(3)tan 2α＝.‎ ‎3．辅助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)‎ ‎1．公式的常用变式 tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；‎ sin 2α＝＝；‎ cos 2α＝＝.‎ ‎2．降幂公式 sin2α＝；‎ cos2α＝；‎ sin αcos α＝sin 2α.‎ ‎3．升幂公式 ‎1＋cos α＝2cos2；‎ ‎1－cos α＝2sin2；‎ ‎1＋sin α＝2；‎ ‎1－sin α＝2.‎ ‎4．半角正切公式 tan ＝＝.‎ 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　)‎ ‎(2)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　　)‎ ‎(3)cos θ＝2cos2－1＝1－2sin2.(　　)‎ ‎(4)当α是第一象限角时，sin ＝.(　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×‎ 二、教材改编 ‎1．已知cos α＝－，α是第三象限角，则cos为(　　)‎ A. B．－ C. D．－ A　[∵cos α＝－，‎ α是第三象限角，‎ ‎∴sin α＝－＝－.‎ ‎∴cos＝(cos α－sin α)＝ ‎＝.故选A.]‎ ‎2．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝________.‎ 　[sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°‎ ‎＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°‎ ‎＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°‎ ‎＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°‎ ‎＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝.]‎ ‎3．计算：sin 108°cos 42°－cos 72°·sin 42°＝________.‎ 　[原式＝sin(180°－72°)cos 42°－cos 72°sin 42°‎ ‎＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)‎ ‎＝sin 30°＝.]‎ ‎4．tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝________.‎ 　[∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝，‎ ‎∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)‎ ‎＝－tan 20°tan 40°，‎ ‎∴原式＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＝.]‎ ‎5．若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝________.‎ 　[tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.]‎ 第1课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式 考点1　公式的直接应用 ‎　(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．‎ ‎(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．‎ ‎　1.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)‎ A. B. C. D. B　[由二倍角公式可知4sin αcos α＝2cos2α.‎ ‎∵α∈，∴cos α≠0，‎ ‎∴2sin α＝cos α，∴tan α＝，∴sin α＝.故选B.]‎ ‎2．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)‎ A．－ B． C． D．－ A　[∵α∈，∴tan α＝－，又tan β＝－，‎ ‎∴tan(α－β)＝ ‎＝＝－.]‎ ‎3．(2019·太原模拟)若α∈，且sin＝，则cos＝________.‎ 　[由于角α为锐角，且sin＝，‎ 则cos＝，‎ 则cos＝cos ‎＝coscos ＋sinsin ‎＝×＋×＝.]‎ ‎4．计算的值为________．‎ 　[＝ ‎＝＝＝.]‎ ‎　两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．‎ 考点2　公式的逆用与变形用 ‎　公式的一些常用变形 ‎(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；‎ ‎(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；‎ ‎(3)1±sin α＝2；‎ ‎(4)sin 2α＝＝；‎ ‎(5)cos 2α＝＝；‎ ‎(6)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；‎ ‎(7)asin α＋bcos α＝sin(α＋φ).‎ ‎　公式的逆用 ‎　(1)化简＝________.‎ ‎(2)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C＝________.‎ ‎(1)　(2)　[(1)＝＝‎ ＝＝.‎ ‎(2)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，‎ 即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，‎ 所以A＋B＝，‎ 则C＝，cos C＝.]‎ ‎　(1)逆用公式的关键是准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式，同时，要注意公式成立的条件和角之间的关系．‎ ‎(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．‎ ‎(3)重视sin αcos β，cos αsin β，cos αcos β，sin αsin β的整体应用．‎ ‎　公式的变形用 ‎　(1)化简＝________.‎ ‎(2)化简sin2＋sin2－sin2α的结果是________．‎ ‎(1)－1　(2)　[(1)＝＝＝－1.‎ ‎(2)原式＝＋－sin2α ‎＝1－－sin2α ‎＝1－cos 2α·cos －sin2α ‎＝1－－＝.]‎ ‎　注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．‎ ‎　1.设a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b＝(sin 56°－cos 56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b D　[由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b＝(sin 56°－cos 56°)＝sin 56°－cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c＝ ‎＝＝cos239°－sin239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y＝sin x，x∈为增函数，所以sin 13°＞sin 12°＞sin 11°，所以a＞c＞b.]‎ ‎2.cos 15°－4sin215°cos 15°＝(　　)‎ A. B. C.1 D. D　[法一：cos 15°－4sin215°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝cos 15°－sin 15°＝2cos (15°＋30°)＝2cos 45°＝.故选D.‎ 法二：因为cos 15°＝，sin 15°＝，所以cos 15°－4sin215°·cos 15°＝×－4×2×＝×(－2＋)＝×(2－2)＝.故选D.]‎ ‎3．已知α＋β＝，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝________.‎ ‎2　[(1＋tan α)(1＋tan β)＝tan α＋tan β＋tan αtan β＋1‎ ‎＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋tan αtan β＋1‎ ‎＝1－tan αtan β＋tan αtan β＋1‎ ‎＝2.]‎ ‎4．已知sin αcos β＝，则cos αsin β的取值范围________．‎ 　[由题知sin αcos β＝，①‎ 设cos αsin β＝t，②‎ ‎①＋②得sin αcos β＋cos αsin β＝＋t，‎ 即sin(α＋β)＝＋t，‎ ‎①－②得sin αcos β－cos αsin β＝－t，‎ 即sin(α－β)＝－t.‎ ‎∵－1≤sin(α±β)≤1，‎ ‎∴ ‎∴－≤t≤.]‎ 考点3　公式的灵活运用 ‎　三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路 ‎(1)角的变换：发现各个角之间的关系：拆角、凑角、互余、倍半、互利(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，＋＝，＝2×等．‎ ‎(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．‎ ‎　三角公式中角的变换 ‎　(1)设α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β＝________.‎ ‎(2)已知cos(75°＋α)＝，则cos(30°－2α)的值为________．‎ ‎(1)　(2)　[(1)依题意得sin α＝＝，‎ 因为sin(α＋β)＝＜sin α且α＋β＞α，‎ 所以α＋β∈，所以cos(α＋β)＝－.‎ 于是cos β＝cos[(α＋β)－α]‎ ‎＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ‎＝－×＋×＝.‎ ‎(2)cos(75°＋α)＝sin(15°－α)＝，‎ 所以cos(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－＝.]‎ ‎　(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．‎ ‎(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．‎ ‎　三角公式中名的变换 ‎　(1)化简：(0＜θ＜π)；‎ ‎(2)求值：－sin 10°.‎ ‎[解]　(1)由θ∈(0，π)，得0＜＜，∴cos ＞0，‎ ‎∴＝＝2cos .‎ 又(1＋sin θ＋cos θ) ‎＝ ‎＝2cos ‎＝－2cos cos θ.‎ 故原式＝＝－cos θ.‎ ‎(2)原式＝－sin 10° ‎＝－sin 10°· ‎＝－sin 10°· ‎＝－2cos 10°＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ ‎　1.(2019·石家庄模拟)已知tan θ＋＝4，则cos2＝(　　)‎ A. B. C. D. C　[由tan θ＋＝4，得＋＝4，即＝4，∴sin θcos θ＝ ‎，∴cos2＝＝＝＝＝.]‎ ‎2．已知α∈，β∈，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，则sin β＝________.‎ 　[由已知可得sin α＝，sin(α＋β)＝，‎ ‎∴sin β＝sin[(α＋β)－α]‎ ‎＝sin(α＋β)·cos α－cos(α＋β)sin α ‎＝×－×＝.]‎ ‎3.＝________.(用数字作答)‎ 　[＝ ‎＝＝＝.]‎