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  • 2021-06-09 发布

【数学】2021届一轮复习北师大版(理)第4章第5节第1课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式学案

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第五节 三角恒等变换 ‎ [最新考纲] 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆).‎ ‎1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin(α±β)=sin_αcos_β±cos_αsin_β;‎ ‎(2)cos(α±β)=cos_αcos_β∓sin_αsin_β;‎ ‎(3)tan(α±β)=.‎ ‎2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin 2α=2sin αcos α;‎ ‎(2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;‎ ‎(3)tan 2α=.‎ ‎3.辅助角公式 asin α+bcos α=sin(α+φ)‎ ‎1.公式的常用变式 tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β);‎ sin 2α==;‎ cos 2α==.‎ ‎2.降幂公式 sin2α=;‎ cos2α=;‎ sin αcos α=sin 2α.‎ ‎3.升幂公式 ‎1+cos α=2cos2;‎ ‎1-cos α=2sin2;‎ ‎1+sin α=2;‎ ‎1-sin α=2.‎ ‎4.半角正切公式 tan ==.‎ 一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.(  )‎ ‎(2)公式asin x+bcos x=sin(x+φ)中φ的取值与a,b的值无关.(  )‎ ‎(3)cos θ=2cos2-1=1-2sin2.(  )‎ ‎(4)当α是第一象限角时,sin =.(  )‎ ‎[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×‎ 二、教材改编 ‎1.已知cos α=-,α是第三象限角,则cos为(  )‎ A. B.- C. D.- A [∵cos α=-,‎ α是第三象限角,‎ ‎∴sin α=-=-.‎ ‎∴cos=(cos α-sin α)= ‎=.故选A.]‎ ‎2.sin 347°cos 148°+sin 77°cos 58°=________.‎  [sin 347°cos 148°+sin 77°cos 58°‎ ‎=sin(270°+77°)cos(90°+58°)+sin 77°cos 58°‎ ‎=(-cos 77°)·(-sin 58°)+sin 77°cos 58°‎ ‎=sin 58°cos 77°+cos 58°sin 77°‎ ‎=sin(58°+77°)=sin 135°=.]‎ ‎3.计算:sin 108°cos 42°-cos 72°·sin 42°=________.‎  [原式=sin(180°-72°)cos 42°-cos 72°sin 42°‎ ‎=sin 72°cos 42°-cos 72°sin 42°=sin(72°-42°)‎ ‎=sin 30°=.]‎ ‎4.tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°=________.‎  [∵tan 60°=tan(20°+40°)=,‎ ‎∴tan 20°+tan 40°=tan 60°(1-tan 20°tan 40°)‎ ‎=-tan 20°tan 40°,‎ ‎∴原式=-tan 20°tan 40°+tan 20°tan 40°=.]‎ ‎5.若tan α=,tan(α+β)=,则tan β=________.‎  [tan β=tan[(α+β)-α]===.]‎ 第1课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式 考点1 公式的直接应用 ‎ (1)使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征.‎ ‎(2)使用公式求值,应先求出相关角的函数值,再代入公式求值.‎ ‎ 1.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=(  )‎ A. B. C. D. B [由二倍角公式可知4sin αcos α=2cos2α.‎ ‎∵α∈,∴cos α≠0,‎ ‎∴2sin α=cos α,∴tan α=,∴sin α=.故选B.]‎ ‎2.已知sin α=,α∈,tan(π-β)=,则tan(α-β)的值为(  )‎ A.- B. C. D.- A [∵α∈,∴tan α=-,又tan β=-,‎ ‎∴tan(α-β)= ‎==-.]‎ ‎3.(2019·太原模拟)若α∈,且sin=,则cos=________.‎  [由于角α为锐角,且sin=,‎ 则cos=,‎ 则cos=cos ‎=coscos +sinsin ‎=×+×=.]‎ ‎4.计算的值为________.‎  [= ‎===.]‎ ‎ 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α,β的三角函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的.‎ 考点2 公式的逆用与变形用 ‎ 公式的一些常用变形 ‎(1)sin αsin β+cos(α+β)=cos αcos β;‎ ‎(2)cos αsin β+sin(α-β)=sin αcos β;‎ ‎(3)1±sin α=2;‎ ‎(4)sin 2α==;‎ ‎(5)cos 2α==;‎ ‎(6)tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β);‎ ‎(7)asin α+bcos α=sin(α+φ).‎ ‎ 公式的逆用 ‎ (1)化简=________.‎ ‎(2)在△ABC中,若tan Atan B=tan A+tan B+1,则cos C=________.‎ ‎(1) (2) [(1)==‎ ==.‎ ‎(2)由tan Atan B=tan A+tan B+1,可得=-1,‎ 即tan(A+B)=-1,又A+B∈(0,π),‎ 所以A+B=,‎ 则C=,cos C=.]‎ ‎ (1)逆用公式的关键是准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式,同时,要注意公式成立的条件和角之间的关系.‎ ‎(2)tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一,且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题.‎ ‎(3)重视sin αcos β,cos αsin β,cos αcos β,sin αsin β的整体应用.‎ ‎ 公式的变形用 ‎ (1)化简=________.‎ ‎(2)化简sin2+sin2-sin2α的结果是________.‎ ‎(1)-1 (2) [(1)===-1.‎ ‎(2)原式=+-sin2α ‎=1--sin2α ‎=1-cos 2α·cos -sin2α ‎=1--=.]‎ ‎ 注意特殊角的应用,当式子中出现,1,,等这些数值时,一定要考虑引入特殊角,把“值变角”构造适合公式的形式.‎ ‎ 1.设a=cos 50°cos 127°+cos 40°cos 37°,b=(sin 56°-cos 56°),c=,则a,b,c的大小关系是(  )‎ A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.a>c>b D [由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式,可得a=cos 50°cos 127°+cos 40°cos 37°=cos 50°cos 127°+sin 50°sin 127°=cos(50°-127°)=cos(-77°)=cos 77°=sin 13°,b=(sin 56°-cos 56°)=sin 56°-cos 56°=sin(56°-45°)=sin 11°,c= ‎==cos239°-sin239°=cos 78°=sin 12°.因为函数y=sin x,x∈为增函数,所以sin 13°>sin 12°>sin 11°,所以a>c>b.]‎ ‎2.cos 15°-4sin215°cos 15°=(  )‎ A. B. C.1 D. D [法一:cos 15°-4sin215°cos 15°=cos 15°-2sin 15°·2sin 15°cos 15°=cos 15°-2sin 15°·sin 30°=cos 15°-sin 15°=2cos (15°+30°)=2cos 45°=.故选D.‎ 法二:因为cos 15°=,sin 15°=,所以cos 15°-4sin215°·cos 15°=×-4×2×=×(-2+)=×(2-2)=.故选D.]‎ ‎3.已知α+β=,则(1+tan α)(1+tan β)=________.‎ ‎2 [(1+tan α)(1+tan β)=tan α+tan β+tan αtan β+1‎ ‎=tan(α+β)(1-tan αtan β)+tan αtan β+1‎ ‎=1-tan αtan β+tan αtan β+1‎ ‎=2.]‎ ‎4.已知sin αcos β=,则cos αsin β的取值范围________.‎  [由题知sin αcos β=,①‎ 设cos αsin β=t,②‎ ‎①+②得sin αcos β+cos αsin β=+t,‎ 即sin(α+β)=+t,‎ ‎①-②得sin αcos β-cos αsin β=-t,‎ 即sin(α-β)=-t.‎ ‎∵-1≤sin(α±β)≤1,‎ ‎∴ ‎∴-≤t≤.]‎ 考点3 公式的灵活运用 ‎ 三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路 ‎(1)角的变换:发现各个角之间的关系:拆角、凑角、互余、倍半、互利(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角),熟悉角的变换技巧及半角与倍角的相互转化,如:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β=(α-β)+β,40°=60°-20°,+=,=2×等.‎ ‎(2)名的变换:明确各个三角函数名称之间的联系,常常用到同角关系、诱导公式,把正弦、余弦化为正切,或者把正切化为正弦、余弦.‎ ‎ 三角公式中角的变换 ‎ (1)设α,β都是锐角,且cos α=,sin(α+β)=,则cos β=________.‎ ‎(2)已知cos(75°+α)=,则cos(30°-2α)的值为________.‎ ‎(1) (2) [(1)依题意得sin α==,‎ 因为sin(α+β)=<sin α且α+β>α,‎ 所以α+β∈,所以cos(α+β)=-.‎ 于是cos β=cos[(α+β)-α]‎ ‎=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α ‎=-×+×=.‎ ‎(2)cos(75°+α)=sin(15°-α)=,‎ 所以cos(30°-2α)=1-2sin2(15°-α)=1-=.]‎ ‎ (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系.‎ ‎(2)常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=-,α=+,=-等.‎ ‎ 三角公式中名的变换 ‎ (1)化简:(0<θ<π);‎ ‎(2)求值:-sin 10°.‎ ‎[解] (1)由θ∈(0,π),得0<<,∴cos >0,‎ ‎∴==2cos .‎ 又(1+sin θ+cos θ) ‎= ‎=2cos ‎=-2cos cos θ.‎ 故原式==-cos θ.‎ ‎(2)原式=-sin 10° ‎=-sin 10°· ‎=-sin 10°· ‎=-2cos 10°= ‎= ‎= ‎==.‎ ‎ 1.(2019·石家庄模拟)已知tan θ+=4,则cos2=(  )‎ A. B. C. D. C [由tan θ+=4,得+=4,即=4,∴sin θcos θ= ‎,∴cos2=====.]‎ ‎2.已知α∈,β∈,且cos α=,cos(α+β)=-,则sin β=________.‎  [由已知可得sin α=,sin(α+β)=,‎ ‎∴sin β=sin[(α+β)-α]‎ ‎=sin(α+β)·cos α-cos(α+β)sin α ‎=×-×=.]‎ ‎3.=________.(用数字作答)‎  [= ‎===.]‎