【数学】2019届理科一轮复习北师大版专题探究课3数列中的高考热点问题教案 7页

(三)　数列中的高考热点问题 ‎(对应学生用书第90页)‎ ‎[命题解读]　数列在中学数学中既具有独立性，又具有较强的综合性，是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，从近五年全国卷高考试题来看，本专题的热点题型有：一是等差、等比数列的综合问题；二是数列的通项与求和；三是数列与函数、不等式的交汇，难度中等．‎ 等差、等比数列的综合问题 解决等差、等比数列的综合问题，关键是理清两种数列的项之间的关系，并注重方程思想的应用，等差(比)数列共涉及五个量a1，an，Sn，d(q)，n，“知三求二”．‎ ‎　已知等差数列{an}，公差d＝2，S1，S2，S4成等比数列．‎ ‎(1)求an；‎ ‎(2)令bn＝(－1)n，求{bn}的前n项和Tn.‎ ‎[解]　(1)∵S1，S2，S4成等比数列．‎ ‎∴S＝S1S4，‎ ‎∴(2a1＋2)2＝a1 解得a1＝1，‎ ‎∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.‎ ‎(2)bn＝(－1)n· ‎＝(－1)n· ‎＝(－1)n.‎ ‎∴当n为偶数时，{bn}的前n项和Tn＝－＋－…＋ ‎＝－1＋＝，‎ 当n为奇数时，{bn}的前n项和Tn＝－＋－…－ ‎＝－1－＝－.‎ 故Tn＝ ‎ [规律方法]　1.若{an}是等差数列，则{ban}(b>0，且b≠1)是等比数列；若{an}是正项等比数列，则{logban}(b>0，且b≠1)是等差数列.‎ ‎2.对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实现等差、等比数列之间的相互转化.‎ ‎[跟踪训练]　已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ>0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设a1>0，λ＝100.当n为何值时，数列的前n项和最大？‎ ‎[解]　(1)取n＝1，得λa＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝0.‎ 若a1＝0，则Sn＝0.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0，‎ 所以an＝0(n≥1)．‎ 若a1≠0，则a1＝.‎ 当n≥2时，2an＝＋Sn,2an－1＝＋Sn－1，‎ 两式相减得2an－2an－1＝an，‎ 所以an＝2an－1(n≥2)，从而数列{an}是等比数列，‎ 所以an＝a1·2n－1＝·2n－1＝.‎ 综上，当a1＝0时，an＝0；当a1≠0时，an＝.‎ ‎(2)当a1>0，且λ＝100时，令bn＝lg，‎ 由(1)知，bn＝lg＝2－nlg 2.‎ 所以数列{bn}是单调递减的等差数列，公差为－lg 2.‎ b1>b2>…>b6＝lg＝lg>lg 1＝0，‎ 当n≥7时，bn≤b7＝lg＝lg＝＝，‎ 所以Tn>×××…×＝.‎ 综上可得，对任意的n∈N＋，均有Tn≥.‎