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- 2021-06-09 发布
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限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)
A级 基础夯实练
1.(2018·石家庄模拟)已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
解析:选A.已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则c=4,a=2,b2=12,即双曲线方程为-=1,故选A.
2.(2018·辽宁抚顺模拟)当双曲线M:-=1(-2≤m<0)的焦距取得最小值时,双曲线M的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±2x D.y=±x
解析:选C.由题意可得c2=m2+2m+6=(m+1)2+5,当m=-1时,c2取得最小值,即焦距2c取得最小值,此时双曲线M的方程为x2-=1,所以渐近线方程为y=±2x.故选C.
3.(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为( )
A. B.
C. D.
解析:选D.解法一:由题可知,双曲线的右焦点为F(2,0),当x=2时,代入双曲线C的方程,得4-=1,解得y=±3,不妨取点P(2,3),因为点A(1,3),所以AP∥x轴,又PF⊥x轴,所以AP⊥PF,所以S△APF=|PF|·|AP|=×3×1=.故选D.
解法二:由题可知,双曲线的右焦点为F(2,0),当x=2时,代入双曲线C的方程,得4-=1,解得y=±3,不妨取点P(2,3),因为点A(1,3),所以=(1,0),=(0,-3),所以·=0,所以AP⊥PF,所以S△APF=|PF|·|AP|=×3×1=.故选D.
4.(2018·武汉市武昌区调研考试)已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且|PF1|>|PF2|,线段PF1的垂直平分线过F2,若椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则+的最小值为( )
A.6 B.3
C. D.
解析:选A.设椭圆的长半轴长为a,双曲线的半实轴长为a′,半焦距为c,依题意知,2a=2a′+4c,所以+=+=+=++4≥2+4=6,当且仅当c=2a′时取“=”,故选A.
5.(2018·河南新乡模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点B是虚轴的一个端点,线段BF与双曲线C的右支交于点A,若=2,且||=4,则双曲线C的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
解析:选D.不妨设B(0,b),由=2,F(c,0),可得A,代入双曲线C的方程可得×-=1,即·=,所以=,①
又||==4,c2=a2+b2,
所以a2+2b2=16,②
由①②可得,a2=4,b2=6,
所以双曲线C的方程为-=1,故选D.
6.已知点P,A,B在双曲线-=1(a>0,b>0)上,直线AB过坐标原点,且直线PA,PB的斜率之积为,则双曲线的离心率为( )
A. B.
C.2 D.
解析:选A.根据双曲线的对称性可知点A,B关于原点对称,
设A(x1,y1),B(-x1,-y1),P(x,y),所以-=1,-=1,两式相减得=,即=,因为直线PA,PB的斜率之积为,所以kPA·kPB=·===,所以双曲线的离心率为e===.故选A.
7.已知双曲线-=1的一个焦点是(0,2),椭圆-=1的焦距等于4,则n=________.
解析:因为双曲线的焦点是(0,2),所以焦点在y轴上,所以双曲线的方程为-=1,即a2=-3m,b2=-m,所以c2=-3m-m=-4m=4,解得m=-1.所以椭圆方程为+x2=1,且n>0,椭圆的焦距为4,所以c2=n-1=4或1-n=4,解得n=5或-3(舍去).
答案:5
8.(2018·四川绵阳模拟)设F1,F2分别为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点,M,N是双曲线C的一条渐近线上的两点,四边形MF1NF2为矩形,A为双曲线的一个顶点,若△AMN的面积为c2,则该双曲线的离心率为________.
解析:设M,根据矩形的性质,
得|MO|=|OF1|=|OF2|=c,
即x2+=c2,
则x=a,所以M(a,b).
因为△AMN的面积为c2,
所以2××a×b=c2,
所以4a2(c2-a2)=c4,
所以e4-4e2+4=0,所以e=.
答案:
9.设P为双曲线x2-=1上的一点,F1,F2是该双曲线的左、右焦点,若△PF1F2的面积为12,则∠F1PF2=________.
解析:由题意可知,F1(-,0),F2(,0),|F1F2|=2.设P(x0,y0),则△PF1F2的面积为×2|y0|=12.故y=,将P点坐标代入双曲线方程得x=,不妨设点P,则=(,),=,可得·=0,即PF1⊥PF2,故∠F1PF2=.
答案:
10.(2018·河北石家庄质检)已知F为双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点,过原点的直线l与双曲线交于M,N两点,且·=0,△MNF的面积为ab,则该双曲线的离心率为________.
解析:因为·=0,所以⊥.设双曲线的左焦点为F′,则由双曲线的对称性知四边形F′MFN为矩形,则有|MF|=|NF′|,|MN|=2c.不妨设点N在双曲线右支上,由双曲线的定义知,|NF′|-|NF|=2a,所以|MF|-|NF|=2a.因为S△MNF=|MF|·|NF|=ab,所以|MF|·|NF|=2ab.在Rt△MNF中,|MF|2+|NF|2=|MN|2,即(|MF|-|NF|)2+2|MF||NF|=|MN|2,所以(2a)2+2·2ab=(2c)2,把c2=a2+b2代入,并整理,得=1,所以e== =.
答案:
B级 能力提升练
11.(2018·江西宜春调研)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦距为2c,直线l过点且与双曲线C的一条渐近线垂直,以双曲线C的右焦点为圆心,半焦距为半径的圆Ω与直线l交于M,N两点,若|MN|=c,则双曲线C的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±2x D.y=±4x
解析:选B.由题意得,双曲线的渐近线方程为y=±x,设垂直于直线l的渐近线方程为y=x,则直线l的斜率k1=-,直线l的方程为y=-,整理可得,ax+by-a2=0,焦点(c,0)到直线l的距离d
==,则|MN|=2=2=c,整理可得c4-9a2c2+12a3c-4a4=0,即e4-9e2+12e-4=0,即(e-1)(e-2)(e2+3e-2)=0,又双曲线的离心率e>1,所以e==2,所以b=a,故双曲线C的渐近线方程为y=±x,故选B.
12.(2018·甘肃兰州模拟)已知F1,F2为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,以F1F2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P,PF1与双曲线相交于点Q,且|PQ|=2|QF1|,则该双曲线的离心率为( )
A. B.2
C. D.
解析:选A.如图,连接PF2,QF2.由|PQ|=2|QF1|,可设|QF1|=m,则|PQ|=2m,|PF1|=3m;由|PF1|-|PF2|=2a,得|PF2|=|PF1|-2a=3m-2a;由|QF2|-|QF1|=2a,得|QF2|=|QF1|+2a=m+2a.∵点P在以F1F2为直径的圆上,∴PF1⊥PF2,
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
|PQ|2+|PF2|2=|QF2|2.由|PQ|2+|PF2|2=|QF2|2,得(2m)2+(3m-2a)2=(m+2a)2,解得m=a,∴|PF1|=3m=4a,|PF2|=3m-2a=
2a.∵|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,|F1F2|=2c,∴(4a)2+(2a)2=(2c)2,化简得c2=5a2,∴双曲线的离心率e==,故选A.
13.已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=6,P是双曲线E右支上一点,PF1与y轴交于点A,△PAF2的内切圆与AF2相切于点Q.若|AQ|=,则双曲线E的离心率是( )
A.2 B.
C. D.
解析:选C.如图,设△PAF2的内切圆与PF2相切于点M.依题意知,|AF1|=|AF2|,根据双曲线的定义,以及P是双曲线E右支上一点,得2a=|PF1|-|PF2|,根据三角形内切圆的性质,得|PF1|=|AF1|+|PA|=|AF1|+(|PM|+|AQ|),|PF2|=|PM|+|MF2|=|PM|+|QF2|=|PM|+(|AF2|-|AQ|).所以2a=2|AO|=2,即a=.因为|F1F2|=6,所以c=3,所以双曲线E的离心率是e===,故选C.
14.(2018·江西吉安一模)已知抛物线C1:y2=8ax(a>0),直线l的倾斜角是45°且过抛物线C1的焦点,直线l被抛物线C1截得的线段长是16,双曲线C2:-=1(a>0,b>0)的一个焦点在抛物线C1的准线上,则直线l与y轴的交点P到双曲线C2的一条渐近线的距离是( )
A.2 B.
C. D.1
解析:选D.抛物线C1的焦点为(2a,0),由弦长计算公式有=16a=16,a=1,所以抛物线C1的标准方程为y2=8x,准线方程为x=-2,故双曲线C2的一个焦点坐标为(-2,0),即c=2,所以b===,渐近线方程为y=±x,直线l的方程为y=x-2,所以点P(0,-2),点P到双曲线C2的一条渐近线的距离为=1,选D.
15.已知双曲线-=1,过双曲线的上焦点F1作圆O:x2+y2=25的一条切线,切点为M,交双曲线的下支于点N,T为NF1的中点,则△MOT的外接圆的周长为________.
解析:如图,∵F1M为圆的切线,∴OM⊥F1M,在直角三角形OMF1中,|OM|=5.设双曲线的下焦点为F2,连接NF2,∴OT为△F1F2N的中位线,∴2|OT|=|NF2|.设|OT|=x,则|NF2|=2x,又|NF1|-|NF2|=10,∴|NF1|=|NF2|+10=2x+10,∴|TF1|=x+5.由勾股定理得|F1M|2=|OF1|2-|OM|2=132-52=144,|F1M|=12,∴|MT|=|x-7|,在直角三角形OMT中,|OT|2-|MT|2=|OM|2,即x2-(x-7)2=52,∴x=.又△OMT是直角三角形,故其外接圆的直径为|OT|=,∴△MOT的外接圆的周长为π.
答案:π
16.(2018·江西上饶质检)如图,双曲线的中心在坐标原点O,
A,C分别是双曲线虚轴的上、下端点,B是双曲线的左顶点,F为双曲线的左焦点,直线AB与FC相交于点D.若双曲线的离心率为2,则∠BDF的余弦值是________.
解析:设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),由e==2知,c=2a,又c2=a2+b2,故b=a,所以A(0,a),C(0,-a),B(-a,0),F(-2a,0),则=(a,a),=(-2a,a),结合题图可知,
cos∠BDF=cos〈,〉===.
答案: