【数学】2018届一轮复习北师大版第一章集合与常用逻辑用语第三节简单的逻辑联结词全称量词与存在量词教案 9页

第三节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 ‎☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆‎ 考纲要求 真题举例 命题角度 ‎1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；‎ ‎2.理解全称量词与存在量词的意义；‎ ‎3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定。‎ ‎2016，浙江卷，4,5分(含有一个量词命题的否定)‎ ‎2015，全国卷Ⅰ，3,5分(含有一个量词命题的否定)‎ ‎2015，山东卷，12,5分(全称量词的应用)‎ ‎2014，辽宁卷，5,5分(简单的逻辑联结词)‎ ‎2014，重庆卷，6,5分(简单的逻辑联结词)‎ ‎1.含有逻辑联结词的命题的真假判断；‎ ‎2.判断全称命题、特称命题的真假；全称命题、特称命题的否定；已知全称(特称)命题真假，求参数取值范围。‎ 微知识　小题练 自|主|排|查 ‎1．简单的逻辑联结词 ‎(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词。‎ ‎(2)命题p∧q、p∨q、綈p的真假判定 p q p∧q p∨q 綈p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 ‎2．量词及含有一个量词的命题的否定 ‎(1)全称量词和存在量词 ‎①全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示。‎ ‎②含有全称量词的命题，叫做全称命题。“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)。‎ ‎③含有存在量词的命题，叫做特称命题。“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)。‎ ‎(2)含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ‎∀x∈M，p(x)‎ ‎∃x0∈M，綈p(x0)‎ ‎∃x0∈M，p(x0)‎ ‎∀x∈M，綈p(x)‎ 微点提醒 ‎1．逻辑联结词“或”“且”“非”对应着集合运算中的“并”“交”“补”。因此，可以借助集合的“并、交、补”的意义来求解“或、且、非”三个逻辑联结词构成的命题问题。‎ ‎2．含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q见真即真，p∧q见假即假，p与綈p真假相反。‎ ‎3．全称命题(特称命题)的否定是特称命题(全称命题)。其真假性与原命题相反。要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”。‎ 小|题|快|练 一 、走进教材 ‎1．(选修1－1P‎26A组T3改编)命题∀x∈R，x2＋x≥0的否定是(　　)‎ A．∃x0∈R，x＋x0≤0‎ B．∃x0∈R，x＋x0<0‎ C．∀x∈R，x2＋x≤0‎ D．∀x∈R，x2＋x<0‎ ‎【解析】　由全称命题的否定是特称命题知命题B正确。故选B。‎ ‎【答案】　B ‎2．(选修1－1P‎18A组T1(3)改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨‎ q，p∧q中真命题的个数为(　　)‎ A．1　　　　 B．‎2　‎　　　‎ C．3　　　　 D．4‎ ‎【解析】　p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题。故选B。‎ ‎【答案】　B 二、双基查验 ‎1．已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则綈p为(　　)‎ A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1‎ B．∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1‎ C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1‎ D．∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1‎ ‎【解析】　全称命题的否定规律是“改变量词、否定结论”，“∀x>0，总有(x＋1)ex>‎1”‎的否定是“∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1。”故选B。‎ ‎【答案】　B ‎2．命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是(　　)‎ A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝x C．∃x0∉R，x≠x D．∃x0∈R，x＝x0‎ ‎【解析】　全称命题“∀x∈R，x2≠x”的否定为特称命题，“∃x0∈R，x＝x‎0”‎。故选D。‎ ‎【答案】　D ‎3．已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>‎1”‎是“x>‎2”‎的充分不必要条件。则下列命题为真命题的是(　　)‎ A．p∧q B．綈p∧綈q C．綈p∧q D．p∧綈q ‎【解析】　因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q，綈p为假命题，綈q为真命题，綈p∧綈q，綈p∧q为假命题，p∧綈q为真命题。故选D。‎ ‎【答案】　D ‎4．命题“任意两个等边三角形都相似”的否定为________________ ____________________。‎ ‎【答案】　存在两个等边三角形，它们不相似 ‎5．命题“存在实数x0，y0，使得x0＋y0>‎1”‎，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________(填“真”或“假”)命题。‎ ‎【答案】　∃x0，y0∈R，x0＋y0>1　∀x，y∈R，x＋y≤1　假 微考点　大课堂 考点一 ‎ 含逻辑联结词命题的真假判断 ‎【典例1】　(1)已知命题p：若x＞y，则－x＜－y；命题q：若x＞y，则x2＞y2。在命题：①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是(　　)‎ A．①③　　　　　　　　 B．①④‎ C．②③ D．②④‎ ‎(2)若命题“p∧q”为假命题，且“綈p”为假命题，则(　　)‎ A．“p或q”为假 B．q假 C．q真 D．p假 ‎【解析】　(1)由不等式的性质，得p真，q假。由“或、且、非”的真假判断得到①假，②真，③真，④假。故选C。‎ ‎(2)由“綈p”为假，知“p”为真，又“p∧q”为假命题，从而q为假命题。故选B。‎ ‎【答案】　(1)C　(2)B ‎【变式训练】　已知命题p：函数y＝2－ax＋1(a＞0且a≠1)恒过(1,2)点；命题q：若函数f(x－1)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝1对称，则下列命题为真命题的是(　　)‎ A．p∨q B．p∧q C．(綈p)∧q D．p∨(綈q)‎ ‎【解析】　函数y＝2－ax＋1恒过定点(－1,1)，故命题p是假命题，綈p是真命题；函数f(x)的图象是由函数f(x－1)的图象向左平移一个单位得到的，所以函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，因此q为假命题，綈q为真命题，从而p∨(綈q)为真命题。故选D。‎ ‎【答案】　D 考点二 ‎ 含有一个量词的命题……多维探究 角度一：全称命题、特称命题的真假判断 ‎【典例2】　(1)下列命题中的假命题是(　　)‎ A．∀x∈R,2x－1>0‎ B．∀x∈N*，(x－1)2>0‎ C．∃x0∈R，lnx0<1‎ D．∃x0∈R，tanx0＝2‎ ‎(2)已知命题p：∀x>0，x＋≥4；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，2x0＝，则下列判断正确的是(　　)‎ A．p是假命题 B．q是真命题 C．p∧(綈q)是真命题 D．(綈p)∧q是真命题 ‎【解析】　(1)因为2x－1>0，对∀x∈R恒成立，所以A是真命题；当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B是假命题；存在00时，x＋≥2 ＝4，p是真命题；当x>0时，2x>1，q是假命题，所以p∧(綈q)是真命题，(綈p)∧q是假命题。故选C。‎ ‎【答案】　(1)B　(2)C 角度二：全称命题、特称命题的否定 ‎【典例3】　(1)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为(　　)‎ A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n ‎(2)(2016·大连模拟)命题“对任意x∈R，都有x2≥ln‎2”‎的否定为(　　)‎ A．对任意x∈R，都有x22n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”。故选C。‎ ‎(2)按照“任意”改“存在”，结论变否定的模式，应该为存在x0∈R，使得xx＋1‎ C．∃x∈(－∞，0)，2x<3x D．∀x∈(0，π)，sinx>cosx ‎(2)写出下列命题的否定并判断其真假：‎ ‎①p：不论m取何实数值，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；‎ ‎②p：有的三角形的三条边相等；‎ ‎③p：菱形的对角线互相垂直；‎ ‎④p：∃x∈N，x2－2x＋1≤0。‎ ‎【解析】　(1)因为sinx＋cosx＝sin≤<，故A错误；当x<0时，y＝2x的图象在y＝3x的图象上方，故C错误；因为x∈时有sinx0恒成立，故綈p为假命题。‎ ‎②綈p：所有的三角形的三条边不全相等。显然綈p为假命题。‎ ‎③綈p：有的菱形的对角线不垂直。显然綈p为假命题。‎ ‎④綈p：∀x∈N，x2－2x＋1>0。‎ 显然当x＝1时，x2－2x＋1>0不成立，故綈p是假命题。‎ ‎【答案】　(1)B　(2)见解析 考点三 ‎ 由命题的真假求参数的范围……母题发散 ‎【典例4】　已知p：∃x∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为(　　)‎ A．m≥2 B．m≤－2‎ C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2‎ ‎【解析】　依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，綈p为真，则有mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；‎ 当q是真命题时，则有Δ＝m2－4<0，－20，‎ ‎∴m>2或m<－2。‎ 由得0≤m≤2，‎ ‎∴m的取值范围是[0,2]。‎ ‎【答案】　[0,2]‎ 反思归纳　根据命题真假求参数的步骤 ‎1．先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；‎ ‎2．然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；‎ ‎3．最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围。‎ 微考场　新提升 ‎1．命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　)‎ A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞n B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞n C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)＞n0‎ D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n0‎ 解析　全称命题的否定为特称命题，因此命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是“∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n‎0”‎。故选D。‎ 答案　D ‎2．(2016·浙江高考)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x‎2”‎的否定形式是(　　)‎ A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n