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- 2021-06-10 发布
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第47课 椭圆的方程及几何性质
[最新考纲]
内容
要求
A
B
C
中心在坐标原点的椭圆的
标准方程与几何性质
√
1．椭圆的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．
(2)集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
①当2a>F1F2时，M点的轨迹为椭圆；
②当2a＝F1F2时，M点的轨迹为线段F1F2；
③当2ab>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
性
质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率
e＝，且e∈(0,1)
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( )
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( )
(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．(教材改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是________．
＋＝1 [椭圆的焦点在x轴上，c＝1.
又离心率为＝，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，
故椭圆的方程为＋＝1.]
3．(2015·广东高考改编)已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝________.
3 [由左焦点为F1(－4,0)知c＝4.又a＝5，∴25－m2＝16，解得m＝3或－3.又m>0，故m＝3.]
4．(2016·全国卷Ⅰ改编)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为________．
[如图，OB为椭圆中心到l的距离，则OA·OF＝AF·OB，即bc＝a·，所以e
＝＝.]
5．椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是__________．
3 [直线x＝m过右焦点(1,0)时，△FAB的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a＝8，即a＝2，
此时，AB＝2×＝＝3，
∴S△FAB＝×2×3＝3.]
椭圆的定义及应用
(1)如图471所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，
M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是________．
(2)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.
若△PF1F2的面积为9，则b＝__________.
图471
(1)椭圆 (2)3 [(1)由条件知PM＝PF.
∴PO＋PF＝PO＋PM＝OM＝R>OF.
∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．
(2)由定义，PF1＋PF2＝2a，且⊥，
∴PF＋PF＝F1F＝4c2，
∴(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2＝4c2，
∴2PF1·PF2＝4a2－4c2＝4b2，∴PF1·PF2＝2b2.
∴S△PF1F2＝PF1·PF2＝×2b2＝9，因此b＝3.]
[规律方法] (1)利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>F1F2这一条件．
(2)当涉及到焦点三角形有关的计算或证明时，常利用勾股定理、正(余)弦定理、椭圆定义，但一定要注意PF1＋PF2与PF1·PF2的整体代换．
[变式训练1] 与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________. 【导学号：62172260】
＋＝1 [设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有PC1＝r＋1，PC2＝9－r.
所以PC1＋PC2＝10>C1C2，
即P在以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为＋＝1.]
求椭圆的标准方程
(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为____________．
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则椭圆的方程为________．
(1)＋y2＝1或＋＝1 (2)＋＝1 [(1)若焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)，∵椭圆过P(3,0)，
∴＋＝1，即a＝3，
又2a＝3×2b，
∴b＝1，方程为＋y2＝1.
若焦点在y轴上，
设方程为＋＝1(a>b>0)．
∵椭圆过点P(3,0)．∴＋＝1，即b＝3.
又2a＝3×2b，∴a＝9.
∴方程为＋＝1.
∴所求椭圆的方程为＋y2＝1或＋＝1.
(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)．
∵椭圆经过点P1，P2，
∴点P1，P2的坐标适合椭圆方程．
则
①②两式联立，解得
∴所求椭圆方程为＋＝1.]
[规律方法] 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在的位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组，若焦点位置不确定，可把椭圆方程设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)的形式．
[变式训练2] (1)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆标准方程为________．
(2)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是 ________.
图472
(2)椭圆＋＝1上有两个动点P，Q，E(3,0)，EP⊥EQ，则·的最小值为________. 【导学号：62172261】
(1) (2)6 [(1)将y＝代入椭圆的标准方程，得＋＝1，
所以x＝±a，故B，C.
又因为F(c,0)，所以＝，＝.
因为∠BFC＝90°，所以·＝0，
所以＋2＝0，即c2－a2＋b2＝0，将b2＝a2－c2代入并化简，得a2＝c2，所以e2＝＝，所以e＝(负值舍去)．
(2)设P点坐标为(m，n)，则＋＝1，所以PE＝＝＝，因为－6≤m≤6，所以PE的最小值为，
所以·＝·(－)＝－·＝，所以·的最小值为6.]
[规律方法] 1.求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．
2．利用椭圆几何性质求值或范围的思路
求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．
[变式训练3] (1)已知直线x＝t与椭圆＋＝1交于P，Q两点．若点F为该椭圆的左焦点，则使·取得最小值时，t的值为________．
(2)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点，若AF＋BF＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是________．
(1)－ (2) [易知椭圆的左焦点F(－4,0)．根据对称性可设P(t，y0)，Q(
t，－y0)，则＝(t＋4，y0)，＝(t＋4，－y0)，所以·＝(t＋4，y0)·(t＋4，－y0)＝(t＋4)2－y.
又因为y＝9＝9－t2，所以·＝(t＋4)2－y＝t2＋8t＋16－9＋t2＝t2＋8t＋7，所以当t＝－时，·取得最小值．
(2)左焦点F0，连结F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形．
∵AF＋BF＝4，∴AF＋AF0＝4，∴a＝2.
设M(0，b)，则≥，∴1≤b<2.
离心率e＝＝＝＝∈.
[思想与方法]
1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于F1F2，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．
2．求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为＋＝1(m>0，n>0，且m≠n)可以避免讨论和烦琐的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B)，这种形式在解题中更简便．
3．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，常用方法：
(1)求得a，c的值，直接代入公式e＝求得；
(2)列出关于a，b，c的齐次方程(或不等式)，然后根据b2＝a2－c2，消去b，转化成关于e的方程(或不等式)求解．
[易错与防范]
1．判断两种标准方程的方法是比较标准形式中x2与y2的分母大小．
2．注意椭圆的范围，在设椭圆＋＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中用到，也是容易被忽视而导致求最值错误的原因．
3．椭圆上任意一点M到焦点F的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.
课时分层训练(四十七)
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、填空题
1．(2017·徐州模拟)若方程＋＝1表示一个椭圆，则实数m的取值范围为______________．
(2,4)∪(4,6) [由题意可知解得2b>0)，由e＝，即＝，得a＝2c，则b2＝a2－c2＝3c2.
所以椭圆方程可化为＋＝1.
将A(2,3)代入上式，得＋＝1，解得c2＝4，所以椭圆的标准方程为＋＝1.]
3．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是________.
【导学号：62172262】
4 [由椭圆的方程得a＝.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得BA＋BF＝CA＋CF＝2a，所以△ABC的周长为BA＋BC＋CA＝BA＋BF＋CF＋CA
＝(BA＋BF)＋(CF＋CA)＝2a＋2a＝4a＝4.]
4．(2017·泰州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF.若AB＝10，BF＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为________．
[如图，设AF＝x，则cos∠ABF＝＝.
解得x＝6，∴∠AFB＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知AF1＝8，∠FAF1＝∠FAB＋∠FBA＝90°，△FAF1是直角三角形，∴F1F＝10，故2a＝8＋6＝14,2c＝10，∴＝.]
5．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是________．
椭圆 [点P在线段AN的垂直平分线上，
故PA＝PN，又AM是圆的半径，
所以PM＋PN＝PM＋PA＝AM＝6>MN，
由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆．]
6．椭圆＋＝1的左焦点为F1，点P在椭圆上，若线段PF1的中点M在y轴上，则PF1＝________.
[因线段PF1的中点M在y轴上，故可知P，即P，所以PF1＝10－＝.]
7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________. 【导学号：62172263】
(－5,0) [因为圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，
所以圆心坐标为(3,0)，所以c＝3.又b＝4，
所以a＝＝5.因为椭圆的焦点在x
轴上，所以椭圆的左顶点为(－5,0)．]
8．已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m<0)的半径为2，椭圆C：＋＝1的左焦点为F(－c,0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为________．
2 [圆M的方程可化为(x＋m)2＋y2＝3＋m2，
则由题意得m2＋3＝4，即m2＝1(m<0)，所以m＝－1，则圆心M的坐标为(1,0)．由题意知直线l的方程为x＝－c，又因为直线l与圆M相切，所以c＝1，所以a2－3＝1，所以a＝2.]
9．若m≠0，则椭圆＋＝1的离心率的取值范围是________．
[因为椭圆方程中m>0，m2＋1≥2m>m(m>0)，所以a2＝m2＋1，b2＝m，c2＝a2－b2＝m2－m＋1，
e2＝＝＝1－＝1－≥1－＝，所以≤e<1.]
10．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
6 [由题意知，O(0,0)，F(－1,0)，设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋1，y)，∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又∵＋＝1，∴y2＝3－x2，
∴·＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2.
∵－2≤x≤2，∴当x＝2时，·有最大值6.]
二、解答题
11．(2017·苏州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C过点(0,2)，其焦点为F1(－，0)，F2(，0)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点P在椭圆C上，且PF1＝4，求△PF1F2的面积. 【导学号：62172264】
[解] (1)由题意可知，c＝，b＝2，所以a2＝b2＋c2＝9，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)法一：由(1)可知，F1F2＝2，PF1＋PF2＝6，
又PF1＝4，所以PF2＝2，
所以PF＋PF＝F1F，所以PF1⊥PF2，
所以△PF1F2的面积为×PF1·PF2＝4.
法二：由(1)可知e＝，设P(x0，y0)，
因为PF1＝4，所以3＋x0＝4，解得x0＝，
代入方程得＋＝1，解得|y0|＝，
所以△PF1F2的面积为×2×＝4.
12．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(－2,0)，且长轴与短轴长的比是2∶.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当PM最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．
[解] (1)由题意知解得
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)设P(x0，y0)，且＋＝1，所以PM2＝(x0－m)2＋y
＝x－2mx0＋m2＋12＝x－2mx0＋m2＋12
＝(x0－4m)2－3m2＋12(－4≤x0≤4)．
所以PM2为关于x0的二次函数，开口向上，对称轴为x0＝4m.
由题意知，当x0＝4时，PM2最小，所以4m≥4，所以m≥1.
又点M(m,0)在椭圆长轴上，所以1≤m≤4.
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)与－＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率为________．
[因为椭圆＋＝1(a>b>0)与－＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，所以c2＝a2－b2＝m2＋n2，因为c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，所以c2＝am,2n2＝2m2＋c2，
所以m2＝，n2＝＋，所以＋＝c2，化为＝，所以e＝＝.]
2．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则PM＋PF1的最大值为________．
15 [PF1＋PF2＝10，PF1＝10－PF2，PM＋PF1＝10＋PM－PF2，易知M点在椭圆外，连结MF2并延长交椭圆于P点(图略)，此时PM－PF2取最大值MF2，故PM＋PF1的最大值为10＋MF2＝10＋＝15.]
3．已知点M(，)在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)，求△PAB的面积．
[解] (1)由已知得
解得
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为D(x0，y0)．
由消去y，整理得4x2＋6mx＋3m2－12＝0，
则x0＝＝－m，y0＝x0＋m＝m，
即D.
因为AB是等腰三角形PAB的底边，
所以PD⊥AB，即PD的斜率k＝＝－1，解得m＝2.
此时x1＋x2＝－3，x1x2＝0，
则|AB|＝|x1－x2|＝·＝3.
又点P到直线l：x－y＋2＝0的距离为d＝，
所以△PAB的面积为S＝|AB|·d＝.
4．(2017·苏州模拟)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为A，P为C1上任一点，MN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，在y轴上截距为3－的直线l与AF平行且与圆C2相切．
(1)求椭圆C1的离心率；
(2)若椭圆C1的短轴长为8，求·的最大值．
[解] (1)由题意，得F(c,0)，A(0，b)，kAF＝－，
∵在y轴上截距为3－的直线l与AF平行，
∴直线l：y＝－x＋3－，即bx＋cy＋(－3)c＝0.
∵直线l与圆C2相切，∴＝1，＝1，e＝，
(2)∵椭圆C1的短轴长为8，
∴2b＝8，b＝4.
∵a2＝b2＋c2，＝1，∴a＝c,2c2＝b2＋c2，
∴c＝b＝4，a＝4，∴椭圆方程是＋＝1，设P(x，y)，
∴·＝(2＋)·(＋)
＝()2＋·(＋)＋·
＝()2＋·＝x2＋(y－3)2－1＝32＋(y－3)2－1＝－y2－6y＋40＝－(y＋3)2＋49，又y∈[－4,4]，∴·的最大值是49.
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