2020_2021学年新教材高中数学第6章幂函数指数函数和对数函数6 9页

第2课时　指数函数的图象与性质的应用 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1．能掌握指数函数的图象和性质，会用指数函数的图象和性质解决相关的问题．(重点、难点)‎ ‎2．能应用指数函数及其性质解决实际应用题．(难点)‎ 通过学习本节内容，培养学生的逻辑推理核心素养，提升学生的数学运算核心素养．‎ 请画出y＝2x，y＝图象，归纳出函数y＝ax，y＝a－x的图象与它们具有哪些相同的特征？‎ 指数型函数 形如y＝kax(k∈R，且k≠0，a>0且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型．‎ 设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．‎ 李明于去年元旦到银行申请住房商业贷款a万元，银行贷款利率为月息p，银行按照复利计算(每期的计息是以上期的本金和利息和作为基数)，则李明计划今年9月1日一次性还款时，连本带利共需要还款金额为　　　　万元．‎ a(1＋p)20　[一个月后a(1＋p)，二个月后a(1＋p)(1＋p)＝a(1＋p)2，…‎ 今年9月1日还款时共20个月，则连本带利共需要还款金额为a(1＋p)20万元．]‎ 求函数的定义域、值域 ‎【例1】　求下列函数的定义域和值域：‎ ‎(1)y＝2；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝4x＋2x＋2－3．‎ ‎[思路点拨]‎ - 9 -‎ ‎　使式子的每个部分有意义，即可求得各自的定义域，求值域时要把函数予以分解，求指数的范围，再求整个函数的值域．‎ ‎[解]　(1)由x－4≠0，得x≠4，‎ 故y＝2的定义域为{x|x≠4}．‎ 又≠0，即2≠1，‎ 故y＝2的值域为{y|y>0，且y≠1}．‎ ‎(2)由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0，‎ ‎∴y＝的定义域为(－∞，0]．‎ 由0<2x≤1，得－1≤－2x<0，‎ ‎∴0≤1－2x<1，‎ ‎∴y＝的值域为[0,1)．‎ ‎(3)y＝的定义域为R．‎ ‎∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，‎ ‎∴≤＝16．‎ 又∵ >0，‎ 故函数y＝的值域为(0,16]．‎ ‎(4)函数 y＝4x＋2x＋2－3的定义域为R．‎ 设t＝2x，则t>0．所以y＝t2＋4t－3＝(t＋2)2－7，t>0．‎ 因为函数y＝t2＋4t－3＝(t＋2)2－7在(0，＋∞)为增函数，‎ 所以y>－3，即函数的值域为(－3，＋∞)．‎ ‎1．对于y＝af(x)这类函数 ‎(1)定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围．‎ ‎(2)值域问题，应分以下两步求解：‎ ‎①由定义域求出u＝f(x)的值域；‎ ‎②利用指数函数y＝au的单调性或利用图象求得函数的值域．‎ ‎2．对于y＝m(ax)2＋n(ax)＋p(m≠0)这类函数值域问题，利用换元法，借助二次函数求解．‎ - 9 -‎ ‎1．(1)函数f(x)＝＋的定义域为　　　　．‎ ‎(2)求函数y＝4－x－21－x＋1在x∈[－3,2]上的最大值和最小值．‎ ‎(1)(－3,0]　[由得－3k－2t2，∴3t2－2t－k>0恒成立，‎ ‎∴Δ＝(－2)2＋12k<0，解得k<－，‎ ‎∴k的取值范围为．‎ ‎(3)由(2)知f(x)在R上单调递减，‎ ‎∴f(x)在[－1,2]上单调递减，‎ ‎∴f(x)max＝f(－1)＝－＋＝，f(x)min＝f(2)＝－＋＝－，‎ ‎∴f(x)的值域为．‎ 与指数函数有关的综合应用问题往往涉及到指数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值(值域)等问题，求解时可充分借助已学的知识逐项求解.‎ ‎3．设a>0，函数f(x)＝＋是定义域为R的偶函数．‎ ‎(1)求实数a的值；‎ ‎(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．‎ ‎[解]　(1)由f(x)＝f(－x)‎ 得＋＝＋，‎ 即4x＋＝0，‎ 所以＝0，‎ 根据题意，可得－a＝0，‎ - 9 -‎ 又a>0，所以a＝1．‎ ‎(2)由(1)可知f(x)＝4x＋，‎ 设任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x10，‎ 所以4 >1，‎ 所以f(x1)－f(x2)<0，‎ 即f(x1)g(x2)，即u1>u2，‎ 又f(x)单调递减，∴f(u1)0，且a≠1)，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．其单调性由两点决定，一是底数a>1还是0c且c>bn，则am>bn．‎ ‎2．指数型函数单调性的应用 ‎(1)形如y＝af(x)的单调性：令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，则函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数．‎ ‎(2)形如ax>ay的不等式，当a>1时，ax>ay⇔x>y；当0ay⇔x200，化简得 ‎(n－2 016)lg1．12>lg 2－lg 1．3，即n－2 016>＝3．8，取n＝2 020，即开始超过200万元的年份为2020年．]‎ ‎3．函数y＝3的单调递减区间是　　　　．‎ ‎[0，＋∞)　[令y＝3u，u＝2－2x2，因为y＝3u在R上单调递增，u＝2－2x2在[0，＋∞)上单调递减，所以y＝3的单调递减区间是[0，＋∞)．]‎ ‎4．设0≤x≤2，y＝4－3×2x＋5，试求该函数的最值．‎ - 9 -‎ ‎[解]　令t＝2x，0≤x≤2，‎ ‎∴1≤t≤4．‎ 则y＝22x－1－3×2x＋5＝t2－3t＋5．‎ 又y＝(t－3)2＋，t∈[1,4]，‎ ‎∴y＝(t－3)2＋在[1,3]上是减函数，在[3,4]上是增函数，‎ ‎∴当t＝3时，ymin＝；‎ 当t＝1时，ymax＝．‎ 故函数的最大值为，最小值为．‎ - 9 -‎