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- 2021-06-10 发布
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三 反证法与放缩法
1.反证法
(1)反证法证明的定义:先假设要证明的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不成立,从而证明原命题成立.
(2)反证法证明不等式的一般步骤:
①假设命题不成立;
②依据假设推理论证;
③推出矛盾以说明假设不成立,从而断定原命题成立.
2.放缩法
(1)放缩法证明的定义:
证明不等式时,通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的.
(2)放缩法的理论依据有:
①不等式的传递性;
②等量加不等量为不等量;
③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较.
利用反证法证明问题
[例1] 已知f(x)=x2+px+q.
求证:(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2;
(2)|f(1)|,f|(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.
[思路点拨] “至少有一个”的反面是“一个也没有”.
[证明] (1)f(1)+f(3)-2f(2)
=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.
(2)假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于,
则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2.
而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)+f(3)-2f(2)=2矛盾,
∴|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.
(1)反证法适用范围:凡涉及不等式为否定性命题,唯一性命题、存在性命题可考虑反证法.如证明中含“至多”“至少”“不能”等词语的不等式.
(2)注意事项:在对原命题进行否定时,应全面、准确,不能漏掉情况,反证法体现了“正难则反”的策略,在解题时要灵活应用.
1.实数a,b,c不全为0的等价条件为( )
A.a,b,c均不为0
B.a,b,c中至多有一个为0
C.a,b,c中至少有一个为0
D.a,b,c中至少有一个不为0
解析:选D “不全为0”是对“全为0”的否定,与其等价的是“至少有一个不为0”.
2.设a,b,c,d都是小于1的正数,求证:4a(1-b),4b(1-c),4c(1-d),4d(1-a)这四个数不可能都大于1.
证明:假设4a(1-b)>1,4b(1-c)>1,4c(1-d)>1,
4d(1-a)>1,
则有a(1-b)>,b(1-c)>,
c(1-d)>,d(1-a)>.
∴>,>,
>,>.
又∵≤,≤,
≤,≤,
∴>,>,
>,>.
将上面各式相加得2>2,矛盾.
∴4a(1-b),4b(1-c),4c(1-d),4d(1-a)这四个数不可能都大于1.
3.已知函数y=f(x)在R上是增函数,且f(a)+f(-b)b.
当a=b时,-a=-b则有f(a)=f(b),f(-a)=f(-b),于是f(a)+f(-b)=f(b)+f(-a)与已知矛盾.
当a>b时,-a<-b,由函数y=f(x)的单调性可得f(a)>f(b),f(-b)>f(-a),
于是有f(a)+f(-b)>f(b)+f(-a)与已知矛盾.故假设不成立.
故a(x+y+z).
[思路点拨] 解答本题可对根号内的式子进行配方后再用放缩法证明.
[证明] =
≥ =≥x+.
同理可得 ≥y+,
≥z+,
由于x,y,z不全为零,故上述三式中至少有一式取不到等号,所以三式相加得:
++>++=(x+y+z).
(1)利用放缩法证明不等式,要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式),审慎地采取措施,进行恰当地放缩,任何不适宜的放缩都会导致推证的失败.
(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法,利用放缩法证明不等式,就是采取舍掉式中一些正项或负项,或者在分式中放大或缩小分子、分母,或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数,从而达到证明不等式的目的.
4.已知a,b是正实数,且a+b=1,求证:+<.
证明:因为+<+
==,
所以原不等式得证.
5.已知n∈N+,求证:++…+<2.
证明:因为<=,<=,…,
<=,
所以++…+<=n2+n,
又因为n2+n<2,
所以原不等式得证.
1.如果两个正整数之积为偶数,则这两个数( )
A.两个都是偶数
B.一个是奇数,一个是偶数
C.至少一个是偶数
D.恰有一个是偶数
解析:选C 假设这两个数都是奇数,则这两个数的积也是奇数,这与已知矛盾,所以这两个数至少一个为偶数.
2.设x>0,y>0,M=,N=+,则M,N的大小关系为( )
A.M>N B.M<N
C.M=N D.不确定
解析:选B N=+>+==M.
3. 否定“自然数a,b,c中恰有一个为偶数”时正确的反设为( )
A.a,b,c都是奇数
B.a,b,c都是偶数
C.a,b,c中至少有两个偶数
D.a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数
解析:选D 三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种,而自然数a,b,c中恰有一个为偶数包含“二奇一偶”的情况,故反面的情况有3种,只有D项符合.
4.设a,b,c∈(-∞,0),则三数a+,b+,c+的值( )
A.都不大于-2 B.都不小于-2
C.至少有一个不大于-2 D.至少有一个不小于-2
解析:选C 假设都大于-2,
则a++b++c+>-6,
∵a,b,c均小于0,
∴a+≤-2,b+≤-2,c+≤-2,
∴a++b++c+≤-6,
这与假设矛盾,则选C.
5.M=+++…+与1的大小关系为________.
解析:M=+++…+
=+++…+
<+++…+=1,即M<1.
共210项
答案:M<1
6.用反证法证明“已知平面上有n(n≥3)个点,其中任意两点的距离最大为d,距离为d的两点间的线段称为这组点的直径,求证直径的数目最多为n条”时,假设的内容为____________.
解析:对“至多”的否定应当是“至少”,二者之间应该是完全对应的,所以本题中的假设应为“直径的数目至少为n+1条”.
答案:直径的数目至少为n+1条
7.A=1+++…+与(n∈N+)的大小关系是________.
解析:A=+++…+≥++…+= n项
=.
答案:A≥
8.实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,且ac+bd>1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.
证明:假设a,b,c,d都是非负数.
由a+b=c+d=1,知a,b,c,d∈[0,1].
从而ac≤≤,bd≤≤.
∴ac+bd≤=1.即ac+bd≤1.
与已知ac+bd>1矛盾,
∴a,b,c,d中至少有一个是负数.
9.求证:+++…+<2.
证明:因为<=-,
所以+++…+
<1+++…+
=1+++…+
=2-<2.
10.已知α,β∈, 且sin(α+β)=2sin α.求证α<β.
证明:假设α≥β.
①若α=β,由sin(α+β)=2sin α,得sin 2α=2sin α,
从而cos α=1,这与α∈矛盾,故α=β不成立.
②若α>β,则sin αcos β+cos αsin β=2sin α,
所以cos αsin β=(2-cos β)sin α,即=.
因为α>β,且α,β∈,所以sin α>sin β.
从而>1,即cos α>2-cos β,
即cos α+cos β>2,这是不可能的,所以α>β不成立.
由①②可知假设不成立,故原结论成立.