2013年数学高考广东卷（文） 10页

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）‎ 数学（文科）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合，，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．函数的定义域是 A． B． C． D．‎ ‎3．若，，则复数的模是 ‎ A．2 B．‎3 C．4 D．5‎ ‎4．已知，那么 A． B． C． D．‎ ‎5．执行如图1所示的程序框图，若输入的值为3，则输出的值是 ‎ A．1 B．‎2 C．4 D．7‎ ‎6．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．垂直于直线且与圆相切于第一象限的直线方程是 ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8．设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎9．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为，离心率等于，则C的方程是 A． B． C． D．‎ ‎10．设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：‎ ‎①给定向量，总存在向量，使；‎ ‎②给定向量和，总存在实数和，使；‎ ‎③给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；‎ ‎④给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使；‎ 上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ 二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． ‎ ‎（一）必做题（11～13题）‎ ‎11．设数列是首项为，公比为的等比数列，则 ‎ ‎12．若曲线在点处的切线平行于轴，则 ．‎ ‎13．已知变量满足约束条件，则的最大值是 ．‎ ‎（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14．（坐标系与参数方程选做题）‎ 已知曲线的极坐标方程为．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线的参数方程为 ．‎ ‎15．（几何证明选讲选做题）‎ 如图3，在矩形中，，，垂足为，则 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎(1) 求的值；‎ ‎(2) 若，求．‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：‎ 分组（重量）‎ 频数（个）‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在的频率；‎ ‎(2) 用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？‎ ‎(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在和中各有1个的概率．‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 如图4，在边长为1的等边三角形中，分别是边上的点，，是的中点，与交于点，将沿折起，得到如图5所示的三棱锥，其中．‎ ‎ (1) 证明：//平面；‎ ‎(2) 证明：平面；‎ ‎(3) 当时，求三棱锥的体积．‎ ‎ ‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 设各项均为正数的数列的前项和为，满足且构成等比数列．‎ ‎(1) 证明：；‎ ‎(2) 求数列的通项公式；‎ ‎(3) 证明：对一切正整数，有．‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．‎ ‎(1) 求抛物线的方程；‎ ‎(2) 当点为直线上的定点时，求直线的方程；‎ ‎(3) 当点在直线上移动时，求的最小值．‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 设函数 ．‎ ‎(1) 当时,求函数的单调区间；‎ ‎(2) 当时,求函数在上的最小值和最大值,‎ ‎参考答案 一、选择题 ‎1．A ‎ ‎2．C ‎ ‎3．D ‎ ‎4．C ‎ ‎5．C ‎6．B ‎ ‎7．A ‎ ‎8．B ‎ ‎9．D ‎ ‎10．B ‎ ‎11． ‎ ‎12． ‎ ‎13． ‎ ‎14．（为参数） ‎ ‎15． ‎ ‎16． (1)‎ ‎（2），，‎ ‎．‎ ‎17．（1）重量在的频率；‎ ‎（2）若采用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，则重量在的个数；‎ ‎（3）设在中抽取的一个苹果为，在中抽取的三个苹果分别为，从抽出的个苹果中，任取个共有种情况，其中符合“重量在和中各有一个”的情况共有种；设“抽出的个苹果中，任取个，求重量在和中各有一个”为事件，则事件的概率；‎ ‎18．（1）在等边三角形中， ‎ ‎,在折叠后的三棱锥中 也成立， ,平面，‎ 平面，平面；‎ ‎（2）在等边三角形中，是的中点，所以①，.‎ ‎ 在三棱锥中，，②‎ ‎；‎ ‎（3）由（1）可知，结合（2）可得.‎ ‎19．（1）当时，， ‎ ‎（2）当时，，‎ ‎,‎ 当时，是公差的等差数列.‎ 构成等比数列，，，解得,‎ 由（1）可知，‎ ‎ 是首项,公差的等差数列.‎ ‎ 数列的通项公式为.‎ ‎（3）‎ ‎20．（1）依题意，解得（负根舍去）‎ 抛物线的方程为；‎ ‎（2）设点,，，‎ 由,即得. ‎ ‎∴抛物线在点处的切线的方程为，‎ 即. ‎ ‎∵， ∴ .‎ ‎∵点在切线上, ∴. ①‎ 同理， . ②‎ 综合①、②得，点的坐标都满足方程 . ‎ ‎∵经过两点的直线是唯一的，‎ ‎∴直线 的方程为，即；‎ ‎（3）由抛物线的定义可知，‎ 所以 联立，消去得，‎ ‎ ‎ 当时，取得最小值为 ‎ ‎21．(1)当时 ‎ ‎,在上单调递增.‎ ‎（2）当时，，其开口向上，对称轴 ，且过 ‎ ‎-k k ‎ k ‎（i）当，即 时，，在上单调递增，‎ 从而当时， 取得最小值 ,‎ 当时， 取得最大值.‎ ‎（ii）当，即时，令 解得：,注意到,‎ ‎(注：可用韦达定理判断，,从而；或者由对称结合图像判断)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的最小值,‎ 的最大值 综上所述，当时，的最小值,最大值 解法2（2）当时，对，都有，故 故，而 ，‎ 所以 ，‎ （1） 解法3：因为，；‎ ① 当时，即时，，在上单调递增，此时无最小值和最大值；‎ ② 当时，即时，令，解得或；令，解得或；令，解得；因为，‎ 作的最值表如下：‎ 极大值 极小值 则，；‎ 因为 ‎；‎ ‎，所以；‎ 因为 ‎；‎ ‎；‎ 所以；‎ 综上所述，所以，。‎