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  • 2021-06-10 发布

2013年数学高考广东卷(文)

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‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)‎ 数学(文科)‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合,,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.函数的定义域是 A. B. C. D.‎ ‎3.若,,则复数的模是 ‎ A.2 B.‎3 C.4 D.5‎ ‎4.已知,那么 A. B. C. D.‎ ‎5.执行如图1所示的程序框图,若输入的值为3,则输出的值是 ‎ A.1 B.‎2 C.4 D.7‎ ‎6.某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.垂直于直线且与圆相切于第一象限的直线方程是 ‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎8.设为直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是 A.若,,则 B.若,,则 C.若,,则 D.若,,则 ‎9.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为,离心率等于,则C的方程是 A. B. C. D.‎ ‎10.设是已知的平面向量且,关于向量的分解,有如下四个命题:‎ ‎①给定向量,总存在向量,使;‎ ‎②给定向量和,总存在实数和,使;‎ ‎③给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使;‎ ‎④给定正数和,总存在单位向量和单位向量,使;‎ 上述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是 A.1 B.‎2 ‎C.3 D.4‎ 二、填空题:本大题共5小题.考生作答4小题.每小题5分,满分20分. ‎ ‎(一)必做题(11~13题)‎ ‎11.设数列是首项为,公比为的等比数列,则 ‎ ‎12.若曲线在点处的切线平行于轴,则 .‎ ‎13.已知变量满足约束条件,则的最大值是 .‎ ‎(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)‎ ‎14.(坐标系与参数方程选做题)‎ 已知曲线的极坐标方程为.以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线的参数方程为 .‎ ‎15.(几何证明选讲选做题)‎ 如图3,在矩形中,,,垂足为,则 .‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎16.(本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎(1) 求的值;‎ ‎(2) 若,求.‎ ‎17.(本小题满分13分)‎ 从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:‎ 分组(重量)‎ 频数(个)‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在的频率;‎ ‎(2) 用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个,其中重量在的有几个?‎ ‎(3) 在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在和中各有1个的概率.‎ ‎18.(本小题满分13分)‎ 如图4,在边长为1的等边三角形中,分别是边上的点,,是的中点,与交于点,将沿折起,得到如图5所示的三棱锥,其中.‎ ‎ (1) 证明://平面;‎ ‎(2) 证明:平面;‎ ‎(3) 当时,求三棱锥的体积.‎ ‎ ‎ ‎19.(本小题满分14分)‎ 设各项均为正数的数列的前项和为,满足且构成等比数列.‎ ‎(1) 证明:;‎ ‎(2) 求数列的通项公式;‎ ‎(3) 证明:对一切正整数,有.‎ ‎20.(本小题满分14分)‎ 已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.‎ ‎(1) 求抛物线的方程;‎ ‎(2) 当点为直线上的定点时,求直线的方程;‎ ‎(3) 当点在直线上移动时,求的最小值.‎ ‎21.(本小题满分14分)‎ 设函数 .‎ ‎(1) 当时,求函数的单调区间;‎ ‎(2) 当时,求函数在上的最小值和最大值,‎ ‎参考答案 一、选择题 ‎1.A ‎ ‎2.C ‎ ‎3.D ‎ ‎4.C ‎ ‎5.C ‎6.B ‎ ‎7.A ‎ ‎8.B ‎ ‎9.D ‎ ‎10.B ‎ ‎11. ‎ ‎12. ‎ ‎13. ‎ ‎14.(为参数) ‎ ‎15. ‎ ‎16. (1)‎ ‎(2),,‎ ‎.‎ ‎17.(1)重量在的频率;‎ ‎(2)若采用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个,则重量在的个数;‎ ‎(3)设在中抽取的一个苹果为,在中抽取的三个苹果分别为,从抽出的个苹果中,任取个共有种情况,其中符合“重量在和中各有一个”的情况共有种;设“抽出的个苹果中,任取个,求重量在和中各有一个”为事件,则事件的概率;‎ ‎18.(1)在等边三角形中, ‎ ‎,在折叠后的三棱锥中 也成立, ,平面,‎ 平面,平面;‎ ‎(2)在等边三角形中,是的中点,所以①,.‎ ‎ 在三棱锥中,,②‎ ‎;‎ ‎(3)由(1)可知,结合(2)可得.‎ ‎19.(1)当时,, ‎ ‎(2)当时,,‎ ‎,‎ 当时,是公差的等差数列.‎ 构成等比数列,,,解得,‎ 由(1)可知,‎ ‎ 是首项,公差的等差数列.‎ ‎ 数列的通项公式为.‎ ‎(3)‎ ‎20.(1)依题意,解得(负根舍去)‎ 抛物线的方程为;‎ ‎(2)设点,,,‎ 由,即得. ‎ ‎∴抛物线在点处的切线的方程为,‎ 即. ‎ ‎∵, ∴ .‎ ‎∵点在切线上, ∴. ①‎ 同理, . ②‎ 综合①、②得,点的坐标都满足方程 . ‎ ‎∵经过两点的直线是唯一的,‎ ‎∴直线 的方程为,即;‎ ‎(3)由抛物线的定义可知,‎ 所以 联立,消去得,‎ ‎ ‎ 当时,取得最小值为 ‎ ‎21.(1)当时 ‎ ‎,在上单调递增.‎ ‎(2)当时,,其开口向上,对称轴 ,且过 ‎ ‎-k k ‎ k ‎(i)当,即 时,,在上单调递增,‎ 从而当时, 取得最小值 ,‎ 当时, 取得最大值.‎ ‎(ii)当,即时,令 解得:,注意到,‎ ‎(注:可用韦达定理判断,,从而;或者由对称结合图像判断)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的最小值,‎ 的最大值 综上所述,当时,的最小值,最大值 解法2(2)当时,对,都有,故 故,而 ,‎ 所以 ,‎ (1) 解法3:因为,;‎ ① 当时,即时,,在上单调递增,此时无最小值和最大值;‎ ② 当时,即时,令,解得或;令,解得或;令,解得;因为,‎ 作的最值表如下:‎ 极大值 极小值 则,;‎ 因为 ‎;‎ ‎,所以;‎ 因为 ‎;‎ ‎;‎ 所以;‎ 综上所述,所以,。‎