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- 2021-06-10 发布
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第五节 综合法、分析法、反证法
[考纲传真] (教师用书独具)1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程和特点;2.了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考过程和特点.
(对应学生用书第101页)
[基础知识填充]
1.综合法、分析法
内容
综合法
分析法
定义
从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演绎推理,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明.我们把这样的思维方法称为综合法
从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件,直到归结为这个命题的条件,或者归结为定义、公理、定理等.我们把这样的思维方法称为分析法
实质
由因导果
执果索因
框图表示
→→…→
→→…→
文字语言
因为……所以……或由……得……
要证……只需证……即证……
2.反证法
(1)反证法的定义:在假定命题结论的反面成立的前提下,经过推理,若推出的结果与定义、公理、定理矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与假定相矛盾,从而说明命题结论的反面不可能成立,由此断定命题结论成立的方法叫反证法.
(2)反证法的证题步骤:
①作出否定结论的假设;②进行推理,导出矛盾;③否定假设,肯定结论.
[基本能力自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.( )
(2)用反证法证明结论“a>b”时,应假设“a<b”.( )
(3)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾.( )
(4)在解决问题时,常用分析法寻找解题的思路与方法,再用综合法展现解决问题的过程.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2.用分析法证明时出现:欲使①A>B,只需②C<D,这里①是②的( )
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
B [由题意可知②⇒①,故①是②的必要条件.]
3.用反证法证明命题:“已知a,b为实数,则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( )
A.方程x2+ax+b=0没有实根
B.方程x2+ax+b=0至多有一个实根
C.方程x2+ax+b=0至多有两个实根
D.方程x2+ax+b=0恰好有两个实根
A [“方程x2+ax+b=0至少有一个实根”的反面是“方程x2+ax+b=0没有实根”,故选A.]
4.设a,b,c都是正数,则a+,b+,c+三个数( )
A.都大于2
B.都小于2
C.至少有一个不大于2
D.至少有一个不小于2
D [∵++
=++≥6,
当且仅当a=b=c时取等号,
∴三个数中至少有一个不小于2.]
5.(教材改编)在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列,a,b,c成等比数列,则△ABC的形状为__________三角形.
等边 [由题意2B=A+C,
又A+B+C=π,∴B=,又b2=ac,
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac,
∴a2+c2-2ac=0,即(a-c)2=0,∴a=c,
∴A=C,∴A=B=C=,
∴△ABC为等边三角形.]
(对应学生用书第102页)
综合法
(2017·江苏高考)对于给定的正整数k,若数列{an}满足:an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan,对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{an}是“P(k)数列”.
(1)证明:等差数列{an}是“P(3)数列”;
(2)若数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{an}是等差数列.
[证明] (1)因为{an}是等差数列,设其公差为d,则
an=a1+(n-1)d,
从而,当n≥4时,
an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d
=2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3,
所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an,
因此等差数列{an}是“P(3)数列”.
(2)数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此,
当n≥3时,an-2+an-1+an+1+an+2=4an,①
当n≥4时,an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an.②
由①知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1),③
an+2+an+3=4an+1-(an-1+an).④
将③④代入②,得an-1+an+1=2an,其中n≥4,
所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d′.
在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d′,
在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d′,
所以数列{an}是等差数列.
[规律方法] 用综合法证题是从已知条件出发,逐步推向结论,常与分析法结合使用,用分析法探路,综合法书写.综合法的适用范围:
(1)定义明确的问题,如证明函数的单调性、奇偶性、求证无条件的等式或不等式;
(2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.
[跟踪训练] 设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.
证明:(1)ab+bc+ac≤;
(2)++≥1.
【导学号:79140209】
[证明] (1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,
得a2+b2+c2≥ab+bc+ca,
由题设得(a+b+c)2=1,
即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.
所以3(ab+bc+ca)≤1,
即ab+bc+ca≤.
(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,
故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),
即++≥a+b+c.
所以++≥1.
分析法
已知函数f(x)=3x-2x,求证:对于任意的x1,x2∈R,均有≥f.
[规律方法] 1.分析法的适用范围
当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,常考虑用分析法.
2.利用分析法证明问题的思路与书写格式
分析法的特点和思路是“执果索因”,逐步寻找结论成立的充分条件,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等,通常采用“欲证—只需证—已知”的格式,在表达中要注意叙述形式的规范性.
[跟踪训练] 已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边分别为a,b,c.
求证:+=.
[证明] 要证+=,
即证+=3,也就是+=1,
只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),
需证c2+a2=ac+b2,
又△ABC三内角A,B,C成等差数列,
故B=60°,
由余弦定理,得
b2=c2+a2-2accos 60°,
即b2=c2+a2-ac,故c2+a2=ac+b2成立.
于是原等式成立.
反证法
设a>0,b>0,且a+b=+.证明:
(1)a+b≥2;
(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.
[证明] 由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1.
(1)由基本不等式及ab=1,
有a+b≥2=2,即a+b≥2.
(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则由a2+a<2及a>0,得0