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- 2021-06-10 发布
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A组 专项基础训练
(时间:35分钟)
1.在下列命题中,不是公理的是( )
A.平行于同一个平面的两个平面相互平行
B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内
D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
【解析】 选项A是面面平行的性质定理,是由公理推证出来的,而公理是不需要证明的.
【答案】 A
2.(2017·安徽合肥一模)如图,已知四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD且PD=AD,则下列结论中错误的是( )
A.过BD且与PC平行的平面交PA于点M,则M为PA的中点
B.过AC且与PB垂直的平面交PB于点N,则N为PB的中点
C.过AD且与PC垂直的平面交PC于点H,则H为PC的中点
D.过P,B,C的平面与平面PAD的交线为直线l,则l∥AD
【解析】 设AC∩BD=O,∵ABCD是正方形,∴O是AC的中点.
∵过BD且与PC平行的平面交PA于M点,∴OM∥PC,∴M是PA的中点,故A正确.
设N为PB的中点,连接AN,∵PA与AB不相等,∴AN与PB不垂直,∴过AC且与PB垂直的平面交PB于N点,则N一定不是PB的中点,故B错误.
∵四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD且PD=AD,∴PA=AC,PD=DC,∴过AD且与PC垂直的平面交PC于H点,则H为PC的中点,故C正确.
∵AD∥BC,平面PAD与平面PCB有公共点P,
∴l∥AD∥BC,故D正确.故选B.
【答案】 B
3.(2016·浙江)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则( )
A.m∥l B.m∥n
C.n⊥l D.m⊥n
【解析】 由题意知,直线m与l以及直线m与n的位置关系不能确定,故A,B,D不正确.又n⊥β且l⊂β,则n⊥l.故选C.
【答案】 C
4.(2017·江西南昌模拟)设a,b是平面α内两条不同的直线,l是平面α外的一条直线,则“l⊥a,l⊥b”是“l⊥α”的( )
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】 a,b是平面α内两条不同的直线,l是平面α外的一条直线,l⊥a,l⊥b,若a∥b,l可以与平面α斜交,推不出l⊥α;若l⊥α,a,b是平面α内两条不同的直线,由线面垂直的性质定理,得l⊥a,l⊥b,∴“l⊥a,l⊥b”是“l⊥α”的必要而不充分条件.故选C.
【答案】 C
5.(2017·湖南衡阳模拟)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是( )
A.MN与CC1垂直
B.MN与AC垂直
C.MN与BD平行
D.MN与A1B1平行
【解析】 如图,连接C1D,BD,AC,在三角形C1DB中,MN∥BD,故C正确;
∵CC1⊥平面ABCD,∴CC1⊥BD,∴MN与CC1垂直,故A正确;∵AC⊥BD,MN∥BD,∴MN与AC垂直,故B正确;∵A1B1与BD不平行,MN∥BD,∴MN与A1B1不平行,故D错误.故选D.
【答案】 D
6.(2016·课标全国Ⅱ)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:
①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.
②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.
③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.
④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号)
【解析】 ①不正确.由m⊥n,m⊥α,可知n∥α或n⊂α.
又n∥β,∴α∥β或α∩β=l(但不一定垂直).
②正确.n∥α,则存在n′⊂α,n∥n′,又m⊥α,则必有m⊥n′,
∴m⊥n.
③正确.α∥β,则α内任一直线均与β平行,又m⊂α,∴m∥β.
④正确.m∥n,∴m,n与α所成的角相等.又α∥β,∴n与α,β所成的角相等.∴m与α所成的角和n与β所成的角相等.
故答案为②③④.
【答案】 ②③④
7.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.
【解析】 EF与正方体左、右两侧面均平行.所以与EF相交的侧面有4个.
【答案】 4
8.(2015·浙江)如图,三棱锥ABCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别是AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是________.
【解析】 如图所示,连接DN,取线段DN的中点K,连接MK,CK.
∵M为AD的中点,
∴MK∥AN,
∴∠KMC为异面直线AN,CM所成的角.
∵AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,
N为BC的中点,
由勾股定理求得AN=DN=CM=2,
∴MK=.
在Rt△CKN中,CK==.
在△CKM中,由余弦定理,得
cos∠KMC==.
【答案】
9.(2015·四川高考改编)如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,则异面直线AP与BD所成的角为________.
【解析】 如图,将原图补成正方体ABCDQGHP,
连接GP,则GP∥BD,所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角,在△AGP中AG=GP=AP,所以∠APG=.
【答案】
10.如图,空间四边形ABCD中,E,F,G分别在AB,BC,CD上,且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过E,F,G的平面交AD于点H.
(1)求AH∶HD;
(2)求证:EH,FG,BD三线共点.
【解析】 (1)∵==2,∴EF∥AC,
∴EF∥平面ACD,而EF⊂平面EFGH,
平面EFGH∩平面ACD=GH,
∴EF∥GH,∴AC∥GH.
∴==3,∴AH∶HD=3∶1.
(2)证明 ∵EF∥GH,且=,=,
∴EF≠GH,∴四边形EFGH为梯形.
令EH∩FG=P,则P∈EH,而EH⊂平面ABD,
又P∈FG,FG⊂平面BCD,
平面ABD∩平面BCD=BD,
∴P∈BD.∴EH,FG,BD三线共点.
B组 专项能力提升
(时间:30分钟)
11.(2016·上海闵行区期末调研)已知A,B,C,D是空间四点,命题甲:A,B,C,D四点不共面,命题乙:直线AC和BD不相交,则甲是乙成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】 若A,B,C,D四点不共面,则直线AC和BD不共面,所以AC和BD不相交;若直线AC和BD不相交,若直线AC和BD平行时,A,B,C,D四点共面,所以甲是乙成立的充分不必要条件.
【答案】 A
12.(2017·郑州第二次质量预测)如图,矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点,则在△ADE翻折过程中,下面四个命题中不正确的是( )
A.|BM|是定值
B.点M在某个球面上运动
C.存在某个位置,使DE⊥A1C
D.存在某个位置,使MB∥平面A1DE
【解析】 取DC中点F,连接MF,BF,MF∥A1D且MF=A1D,FB∥ED且FB=ED,所以∠MFB=∠A1DE.由余弦定理可得MB2=MF2+FB2-2MF·FB·cos∠MFB是定值,所以M是在以B为圆心,MB为半径的球上,可得A、B正确.由MF∥A1D与FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE,可得D正确;A1C在平面ABCD中的射影与AC重合,AC与DE不垂直,可得C不正确.
【答案】 C
13.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,
①GH与EF平行;
②BD与MN为异面直线;
③GH与MN成60°角;
④DE与MN垂直.
以上四个命题中,正确命题的序号是________.
【解析】 还原成正四面体知GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN成60°角,DE⊥MN.
【答案】 ②③④
14.已知A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.
(1)求证:直线EF与BD是异面直线;
(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.
【解析】 (1)证明 假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A,B,C,D在同一平面内,这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.
(2)取CD的中点G,连接EG,FG,则EG∥BD,所以相交直线EF与EG所成的角,即为异面直线EF与BD所成的角.
在Rt△EGF中 ,由EG=FG=AC,求得∠FEG=45°,
即异面直线EF与BD所成的角为45°.
15.如图,在三棱锥PABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点.已知∠BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.求:
(1)三棱锥PABC的体积;
(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.
【解析】 (1)S△ABC=×2×2=2,三棱锥PABC的体积为V=S△ABC·PA=×2×2=.
(2)如图,取PB的中点E,连接DE,AE,则ED∥BC,所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角.
在△ADE中,DE=2,AE=,AD=2,
cos∠ADE==.
故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.