2021版高考数学一轮复习核心素养测评四十一空间中的垂直关系新人教B版 0 8页

核心素养测评四十一 空间中的垂直关系 ‎(30分钟　60分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.α,β,γ为不同的平面,m,n,l为不同的直线,则m⊥β的一个充分条件 是 (　　)‎ A.n⊥α,n⊥β,m⊥α　 ‎ B.α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ C.α⊥γ,β⊥γ,m⊥α　 ‎ D.α⊥β,α∩β=l,m⊥l ‎【解析】选A.由n⊥α,n⊥β知α∥β,又m⊥α,所以m⊥β.所以A正确.‎ ‎2.如图所示,b,c在平面α内,a∩c=B,b∩c=A,且a⊥b,a⊥c,b⊥c,若C∈a,‎ D∈b,则△ACD是 (　　)‎ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 ‎【解析】选B.因为a⊥b,b⊥c,a∩c=B,所以b⊥平面ABC,所以AD⊥AC,故△ACD为直角三角形.‎ ‎3.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下面结论正确的是 (　　)‎ A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面ABC ‎【解析】选D.在平面图形中CD⊥BD,折起后仍有CD⊥BD,由于平面ABD⊥平面BCD,故CD⊥‎ 8‎ 平面ABD,所以CD⊥AB,又AB⊥AD,AD∩CD=D,故AB⊥平面ADC,又因为AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ADC.‎ ‎4.如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点(不同于A、B)且PA=AC,则二面角P-BC-A的大小为 (　　)‎ A.60° B.30° C.45° D.15°‎ ‎【解析】选C.由条件得PA⊥BC,AC⊥BC,又PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.在Rt△PAC中,由PA=AC得∠PCA=45°.‎ ‎5.如图,正三角形PAD所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直,O为正方形ABCD的中心,M为正方形ABCD内一点,且满足MP=MC,则点M的轨迹为 (　　)‎ ‎【解析】选A.取AD的中点E,连接PE,PC,CE.‎ 由PE⊥AD知PE⊥平面ABCD,‎ 从而平面PEC⊥平面ABCD,取PC,AB的中点F,G,连接DF,DG,FG,‎ 由PD=DC知DF⊥PC,由DG⊥EC知,DG⊥平面PEC,又PC⊂平面PEC,‎ 所以DG⊥PC,DF∩DG=D,所以PC⊥平面DFG,又点F是PC的中点,‎ 因此,线段DG上的点满足MP=MC.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则AC1与平面A1B1C1D1‎ 8‎ 所成角的正弦值为________. ‎ ‎【解析】连接A1C1,则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角.‎ 因为AB=BC=2,所以A1C1=AC=2,‎ 又AA1=1,所以AC1=3,‎ 所以sin∠AC1A1==.‎ 答案:‎ ‎7.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)  ‎ ‎【解析】因为PA⊥底面ABCD,所以BD⊥PA,连接AC,则BD⊥AC,且PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC,所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.‎ 答案:DM⊥PC(答案不唯一)‎ ‎8.设α,β是空间两个不同的平面,m,n是平面α及β外的两条不同直线.从“①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:________(用代号表示).  ‎ ‎【解析】逐一判断.若①②③成立,则m与α的位置关系不确定,故①②③⇒④错误;同理①②④⇒③也错误;①③④⇒②与②③④⇒①均正确.‎ 答案:①③④⇒②(或②③④⇒①)‎ 8‎ 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎9.如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD. ‎ ‎(1)求证:CD⊥平面ABD. ‎ ‎(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A-MBC的体积.‎ ‎【解析】(1)因为AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,‎ 所以AB⊥CD.‎ 又因为CD⊥BD,AB∩BD=B,‎ 所以CD⊥平面ABD.‎ ‎(2)由AB⊥平面BCD,得AB⊥BD.‎ 又AB=BD=1,所以S△ABD=×12=.‎ 因为M是AD的中点,‎ 所以S△ABM=S△ABD=.‎ 根据(1)知,CD⊥平面ABD,‎ 则三棱锥C