2020届高三普通高等学校招生全国统一考试伯乐马模拟考试（三）文科数学试题 Word版含解析 23页

绝密★启用前 ‎2020年普通高等学校招生伯乐马模拟考试（三）‎ 文科数学 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.‎ ‎3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 一、选择题：本题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 若复数满足，，则复数的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先从中表示出，然后利用复数的运算法则化简计算.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 得，虚部为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查复数的四则运算，考查学生的基本运算能力，属于基础题.‎ ‎2. 若集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将集合和集合分别具体表示出来，其中集合表示函数 - 23 -‎ 的定义域，集合表示函数的值域，再利用集合的运算法则即可求出.‎ ‎【详解】题中集合表示函数的定义域，集合表示函数的值域，‎ 在函数中，满足，解得，或 ，‎ 或，‎ 在函数中，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查对数型函数的定义域，指数型函数的值域，以及集合间的基本运算，是一道综合题.‎ ‎3. 记等差数列的前项和为.若，，则（ ）‎ A. 28 B. 31 C. 38 D. 41‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题意得到，再解方程组即可得到答案.‎ 详解】由题知：，解得.‎ 所以.‎ 故选：C - 23 -‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的性质，属于简单题.‎ ‎4. 已知，，，则向量，夹角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 首先根据题意求出，的坐标，再代入公式计算即可.‎ ‎【详解】，，‎ 则.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查平面向量夹角的坐标公式，同时考查学生的计算能力，属于简单题.‎ ‎5. 曲线在处的切线与直线相互垂直，则（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导，可得曲线在处的切线斜率为，再根据直线垂直关系可得结果.‎ ‎【详解】‎ 曲线在处的切线斜率为 由切线与直线相互垂直 可得 解得 故选：A ‎【点睛】本题考查导数几何意义以及直线垂直关系，属于基础题.‎ ‎6. 我们将 - 23 -‎ 称为黄金分割数，亦可简称为黄金数，将离心率等于黄金数的倒数的双曲线叫做黄金双曲线，则（ ）‎ A. 黄金双曲线的虚轴是实轴与焦距的等比中项 B. 黄金双曲线的虚轴是实轴与焦距的等差中项 C. 黄金双曲线的焦距是实轴与虚轴的等比中项 D. 黄金双曲线的焦距是实轴与虚轴的等差中项 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件分别将每个选项的条件转化为双曲线中的关系，即可判断是否正确.‎ ‎【详解】若双曲线为黄金双曲线，则满足，即 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即虚轴是实轴与焦距的等比中项.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题由黄金双曲线引入双曲线中实轴、虚轴、焦距之间的关系，只需要转化为之间的数量关系即可，是一道较易题.‎ ‎7. 运行如图所示的程序框图，若输入的的值为3，输出的的值为129，则判断框中可以填（ ）‎ - 23 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次执行循环体，看满足什么条件时结束循环体.‎ ‎【详解】第一次执行循环体，，不满足判断框的条件；‎ 第二次执行循环体，，不满足判断框的条件；‎ 第三次执行循环体，，不满足判断框的条件；‎ 第四次执行循环体，，不满足判断框的条件；‎ 第五次执行循环体，，不满足判断框的条件；‎ 第六次执行循环体，，此时满足判断框的条件；‎ 此时，满足，‎ 所以判断框的条件应该是.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查补全程序框图，属于较易题，需要注意在执行循环体的过程中，顺序非常重要.‎ ‎8. ‎ - 23 -‎ 高斯函数属于初等函数，以大数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名，其图形在形状上像一个倒悬着的钟，高斯函数应用范围很广，在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都能看到它的身影，设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.则函数的值域为（ ）‎ A. {0，1} B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的值域，再根据题干中要求即可得出的值域.‎ ‎【详解】‎ 即函数的值域为 由高斯函数定义可知 函数的值域为 故选：D ‎【点睛】本题主要考查求函数值域，属于基础题.‎ ‎9. 如图，矩形中心为，，现将沿着对角线翻折成，记，二面角的平面角为，直线和所成角为，则（ ）‎ - 23 -‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出二面角的平面角，根据最小角定理，判断出正确选项.‎ ‎【详解】解：‎ 从特殊情况入手，如图，当二面角的平面角为时，过点作于，链接，过点作于，因为，所以垂足在上，因为，，所以，所以，所以.连接，因为，所以，所以.易知平面，所以，所以，所以，所以，所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间中直线与直线所成的角及二面角的大小，考查考生的空间想象能力及分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象.‎ ‎10. 已知函数，.若函数只有一个极大值和一个极小值，则的取值范围为（ ）‎ - 23 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，根据的范围，表示出的范围，则问题等价于在上只有一个极大值和一个极小值，即可得到不等式组，解得即可，‎ ‎【详解】解：令，因为，所以则问题转化为在上只有一个极大值和一个极小值，‎ 因为函数只有一个极大值和一个极小值，则，即，又，所以，所以 则解得故 故选：C ‎【点睛】本题考查正弦函数的性质的应用，属于中档题.‎ ‎11. 已知定义域为的奇函数满足，且当时，.则（ ）‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由是奇函数且满足，可以得出是一个以3‎ - 23 -‎ 为周期的函数，则原式的所有函数值都可以化为给定区间的值求解.‎ ‎【详解】是奇函数且满足，‎ ‎，‎ ‎，‎ 是以3为周期的函数，且，‎ ‎.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和周期性的综合运用，解决本题的关键是根据奇函数的性质以及给定关系式得出函数的周期，是一道综合题.‎ ‎12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，顺次连接上的四个点，，，，可以得到一个正方形，若，不落在正方形外侧，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，设出第一象限内点的坐标，根据其坐标满足椭圆方程，结合，求解不等式即可.‎ ‎【详解】根据题意，不妨设点是椭圆在第一象限内的点，‎ 根据椭圆和正方形的对称性，故可设其坐标为，‎ 则，解得；‎ 又，不落在正方形外侧，‎ - 23 -‎ 故，即，代入，‎ 可得，‎ 不等式两边同除以，可整理化简为：‎ ‎，‎ 解得，又，故可得.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆利用齐次式求离心率，属基础题.‎ 二、填空题：本题共4小题.‎ ‎13. 已知实数，满足，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题意画出可行域，再根据的几何意义即可得到答案.‎ ‎【详解】不等式组表示的可行域如图所示：‎ - 23 -‎ 联立，解得，.‎ 目标函数转化为，‎ 因为的几何意义表示：直线的轴截距的倍.‎ 所以当直线过时，取得最小值.‎ 故.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划，同时考查数形结合的思想，属于简单题.‎ ‎14. 记数列的前项和为，若，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知原数列为等比数列，先利用求出，然后再求.‎ ‎【详解】由得，，则数列为公比为的等比数列，‎ 所以，得，‎ 故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的前项和问题，只需要灵活运用公式即可，属于基础题.‎ ‎15. 为了调查学校高三年级800名学生对学校课程安排的满意程度，将这些学生编号为1，2，3，…，800，从这些学生中利用系统抽样的方法随机抽取50人作出调查，若28号学生被抽到，则在[320，336）内，被抽到的学生为______号.‎ ‎【答案】‎ - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据系统抽样的特征可知，抽取的号码可以组成第二项为，公差为的等差数列，即可求出其通项公式，再解不等式即可求出．‎ ‎【详解】根据系统抽样的特征可知，将这些学生分组，每一组人，抽取的号码可以组成第二项为，公差为的等差数列，所以其通项公式为，，．由，解得 ‎．故在[320，336）内，被抽到的学生为号．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查系统抽样的特征的理解以及其应用，意在考查学生的的数学运算能力，属于基础题．‎ ‎16. 三棱锥对棱相等，且，，，点，分别是线段，的中点，直线平面，且与平面、平面、平面、平面均有交线，若这些交线围成一个平面区域，则的面积的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据旋转的性质可得AC=CD，∠CED=∠B，再判断出△ACD是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出∠CAD=45°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．‎ ‎【详解】解：∵Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC， ∴AC=CD，∠CED=∠B=55°， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴∠CAD=45°， 由三角形的外角性质得，∠ADE=∠CED-∠CAD=55°-45°=10°． 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查旋转性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，解题关键是熟记各性质并准确识图．‎ - 23 -‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：‎ ‎17. 已知中，角，，所对的边分别为，，，且，.‎ ‎（1）若，求的面积；‎ ‎（2）若点是线段上靠近的三等分点，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先根据同角三角函数的基本关系求出，再由正弦定理求出，再由勾股定理求出，从而求出三角形的面积；‎ ‎（2）设，则，由诱导公式可得，利用余弦定理得到方程求出，即可得解；‎ ‎【详解】解：（1）依题意，，又，‎ 解得，‎ 由正弦定理，即，所以，所以 所以 所以 ‎（2）设，则，因为，所以 - 23 -‎ 由 所以 解得，则 ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，以及同角三角函数基本关系的应用，属于中档题.‎ ‎18. 将某产品2014~2018的年投资金额（万元）与年利润（万元）统计如下表所示，通过散点图可知，可用线性回归模型拟合与的关系.‎ 年份 ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 年投资金额（万元）‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎11‎ 年利润（万元）‎ ‎1‎ ‎11.5‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎16.5‎ ‎（1）求关于的线性回归方程；‎ ‎（2）若2019年公司投资的金额为20万元，根据（1）中结果预测2019年的年利润.‎ ‎【答案】（1）；（2）万元.‎ ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先计算的平均数，再根据回归直线方程系数的计算公式，即可求得结果；‎ ‎（2）根据（1）中所求，令，即可估算结果.‎ ‎【详解】（1）由表格中数据可得；‎ ‎，‎ 又；‎ ‎.‎ 故可得，‎ 则.‎ 故可得回归直线方程为：.‎ ‎（2）由（1）可得：.‎ 令，故可得.‎ 故2019年公司投资的金额为20万元时，年利润预计为万元.‎ ‎【点睛】本题考查线性回归直线方程的求解，以及利用回归方程进行预测，属综合基础题.‎ ‎19. 如图，在三棱锥中，，，，，点是线段的中点，连接，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，求三棱锥的体积.‎ - 23 -‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先可证，即可得到，从而得到，，根据线面垂直的判定定理可得面，从而得证；‎ ‎（2）首先根据同角三角函数的基本关系求出，设，表示出、，在中由余弦定理，即可求出，从而求得，最后根据计算可得；‎ ‎【详解】解：（1）因为，，所以 因为，，所以，‎ 又 所以，所以，又因为点是线段的中点，‎ 所以，，又面，面，‎ 所以面，因为面，所以 ‎（2）因为，所以，又，所以，设，因为则，，，，在中由余弦定理，即解得 所以 所以 ‎【点睛】本题考查线面垂直的证明，以及锥体的体积计算，属于中档题.‎ ‎20. 已知抛物线与过点的直线交于两点.‎ - 23 -‎ ‎（1）若，求直线的方程；‎ ‎（2）若，轴，垂足为，探究：以为直径的圆是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）或；（2）过定点，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用根与系数的关系及弦长公式计算即可；‎ ‎（2）设以为直径的圆经过点，，，利用得，令解方程组即可.‎ ‎【详解】（1）由题可知，直线的斜率不为0，设其方程为，‎ 将代入，消去可得，‎ 显然，设，，则，，‎ 所以，‎ 因为，所以，解得，‎ 所以直线的方程为或.‎ ‎（2）因为，所以是线段的中点，‎ 设，则由（1）可得，，‎ 所以，又轴，垂足为，所以，‎ 设以为直径的圆经过点，则，，‎ - 23 -‎ 所以，即，‎ 化简可得①，‎ 令，可得，‎ 所以当，时，对任意的，①式恒成立，‎ 所以以为直径的圆过定点，该定点的坐标为.‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线中的定点问题，考查学生的计算能力，是一道中档题.‎ ‎21. 已知函数 ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若函数存在3个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）单调性见详解；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得，对参数进行分类讨论，利用导数即可求得不同情况下函数的单调性；‎ ‎（2）求得，要满足题意，只需有2个不为2的零点即可，分离参数，利用导数即可求得参数范围.‎ ‎【详解】（1）因为，故可得，‎ 当时，令，解得，又单调递增，恒成立，‎ 令，解得；令，解得，‎ 故在单调递减，在单调递增.‎ 当时，令，解得，‎ 当时，，‎ - 23 -‎ 令，解得；令，解得，‎ 故在单调递增，在单调递减；‎ 当时，，‎ 此时恒成立，即在上单调递增；‎ 当时，，‎ 令，解得；令，解得，‎ 故在单调递减，在单调递增.‎ 综上所述：当时，在单调递减，在单调递增；‎ 当时，在单调递增，在单调递减；‎ 当时，在上单调递增；‎ 当时，在单调递减，在单调递增.‎ ‎（2）根据题意可得，‎ 显然是的一个零点，‎ 故要满足题意，只需存在不是2的两个零点即可.‎ 又不是的零点，‎ 故令，可解得，‎ 令，则，‎ 令，解得；令，解得，‎ - 23 -‎ 故在单调递增；在单调递减.‎ 又当时，，，‎ 且当时，；时，；时，，‎ 故要满足题意，只需，且 解得且.‎ 综上所述，.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究含参函数单调性的求解，以及利用导数由函数零点个数求参数范围，涉及分离参数，属综合中档题.‎ ‎（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎[选修4—4：坐标系与参数方程]‎ ‎22. 平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出曲线的参数方程以及直线的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于，两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）；.（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据曲线的极坐标方程为，利用，求得直角坐标方程，再求参数方程；根据直线的参数方程，先得到直角坐标方程，再利用求极坐标方程. ‎ ‎（2）联立直线方程和圆的方程，解得点M,N的坐标，然后利用平面向量的夹角公式求解.‎ ‎【详解】（1）因为曲线的极坐标方程为，‎ - 23 -‎ 所以，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以圆的参数方程为：.‎ 因为直线的参数方程为，‎ 所以其直角坐标方程为，‎ 所以直线极坐标方程为：，‎ 即.‎ ‎（2）联立直线方程和圆的方程得：，‎ 解得或，‎ 所以,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程和直角坐标方程的转化以及夹角的求法以及向量法求夹角，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23. 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式的解集为，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依题意可得，再利用零点分段法解不等式即可；‎ ‎（2）将函数写成分段函数形式，根据的解集为，即可得到，从而得解；‎ ‎【详解】解：（1）依题意，‎ 当时，原式化为，即，故无解；‎ 当时，原式化为，即，故；‎ 若时，原式化为，即 综上所述，不等式的解集为 ‎（2）‎ 函数图象如下 - 23 -‎ 由的解集为，所以，即 ‎【点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式，以及不等式恒成立问题，属于中档题.‎ - 23 -‎