高考卷 06届 普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ 11页

‎2006年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。‎ ‎2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。‎ ‎3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 参考公式：‎ 如果时间A、B互斥，那么 如果时间A、B相互独立，那么 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 球的表面积公式，其中R表示球的半径 球的体积公式，其中R表示球的半径 一、选择题 ⑴、设集合，，则 A． B．‎ C． D．‎ ⑵、已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则 A． B．‎ C． D．‎ ⑶、双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则 A． B． C． D．‎ ⑷、如果复数是实数，则实数 A． B． C． D．‎ ⑸、函数的单调增区间为 A． B．‎ C． D．‎ ⑹、的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则 A． B． C． D．‎ ⑺、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A． B． C． D．‎ ⑻、抛物线上的点到直线距离的最小值是 A． B． C． D．‎ ⑼、设平面向量、、的和。如果向量、、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则 A． B．‎ C． D．‎ ⑽、设是公差为正数的等差数列，若，，则 A． B． C． D．‎ ⑾、用长度分别为2、3、4、5、6（单位：）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 A． B． C． D．‎ ⑿、设集合。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有 A． B． C． D．‎ ‎2006年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。‎ ‎2．第Ⅱ卷共2页，请用黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。‎ ‎3．本卷共10小题，共90分。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上。‎ ⒀、已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于_______________。‎ ⒁、设，式中变量满足下列条件 则z的最大值为_____________。‎ ⒂、安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有__________种。（用数字作答）‎ ⒃、设函数。若是奇函数，则__________。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ⒄、（本小题满分12分）‎ 的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。‎ ⒅、（本小题满分12分）‎ A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为。‎ ‎（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；‎ ‎（Ⅱ）观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望。‎ ⒆、（本小题满分12分）‎ 如图，、是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在上，C在上，。‎ ‎（Ⅰ）证明⊥；‎ ‎（Ⅱ）若，求与平面ABC所成角的余弦值。‎ ⒇、（本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量。求：‎ ‎（Ⅰ）点M的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）的最小值。‎ ‎（21）、（本小题满分14分）‎ 已知函数。‎ ‎（Ⅰ）设，讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围。‎ ‎（22）、（本小题满分12分）‎ 设数列的前项的和 ‎，‎ ‎（Ⅰ）求首项与通项；‎ ‎（Ⅱ）设，，证明：‎ 一、选择题: 1.B 2.D 3.A 4.B 5.C 6.B 7.C 8.A 9.D 10.B 11.B 12.B 二、填空题: 13. 14. 11 15. 2400 16. 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D A B C B C A D B B B ‎1．解：=，=，‎ ‎∴ ，选B.‎ ‎2．解：函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以是的反函数，即=，∴ ，选D.‎ ‎3．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m<0，且双曲线方程为，∴ m=，选A.‎ ‎4．复数=(m2－m)+(1+m3)i是实数，∴ 1+m3=0，m=－1，选B.‎ ‎5．函数的单调增区间满足，‎ ‎ ∴ 单调增区间为，选C.‎ ‎6．中，a、b、c成等比数列，且，则b=a，‎ ‎=，选B.‎ ‎7．正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为2，∴ 球的半径为，球的表面积是，选C.‎ ‎8．设抛物线上一点为(m，－m2)，该点到直线的距离为，当m=时，取得最小值为，选A.‎ ‎9．向量、、的和。向量、、顺时针旋转后与、、同向，且，∴ ，选D.‎ ‎10．是公差为正数的等差数列，若，，则，，∴ d=3，，，选B.‎ ‎11．用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为7组成三角形，此三角形面积最大，面积为，选B.‎ ‎12．若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有=5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有=1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有=10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个个元素，则选法种数有=5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有=1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有=5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有=1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有 ‎=1种；总计有，选B.‎ 解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，‎ 从5个元素中选出2个元素，有=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；‎ 从5个元素中选出3个元素，有=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；‎ 从5个元素中选出4个元素，有=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；‎ 从5个元素中选出5个元素，有=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1=4种方法；‎ 总计为10+20+15+4=49种方法。选B.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上。‎ ‎13. 14. 11 15. 2400 16. ‎13．正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=, ∴ 二面角等于。‎ ‎14．，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A(0，1)，B(7，1)，C(3，7)，在△ABC中满足的最大值是点C，代入得最大值等于11.‎ ‎15．先安排甲、乙两人在后5天值班，有=20种排法，其余5人再进行排列，有=120种排法，所以共有20×120=2400种安排方法。‎ ‎16．，‎ 则=‎ ‎，为奇函数，∴ φ=.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17.解: 由A+B+C=π, 得 = － , 所以有cos =sin .‎ cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin2 + 2sin ‎ ‎=－2(sin － )2+ ‎ 当sin = , 即A=时, cosA+2cos取得最大值为 ‎18.解: (1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,‎ Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只" , i=0,1,2, ‎ 依题意有: P(A1)=2×× = , P(A2)= × = . P(B0)= × = , ‎ P(B1)=2× × = , 所求概率为: P=P(B0·A1)+P(B0·A2)+P(B1·A2)‎ ‎= × + × + × = ‎ ‎(Ⅱ)ξ的可能值为0,1,2,3且ξ~B(3,) . P(ξ=0)=()3= , P(ξ=1)=C31××()2= ‎, P(ξ=2)=C32×()2× = , P(ξ=3)=( )3= ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ξ的分布列为: ‎ 数学期望: Eξ=3× = .‎ ‎19.解法一: (Ⅰ)由已知l2⊥MN, l2⊥l1 , MN∩l1 =M, 可得l2⊥平面ABN.由已知MN⊥l1 , AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB. 又AN为AC在平面ABN内的射影.‎ A B M N C l2‎ l1‎ H ‎∴AC⊥NB ‎ ‎（Ⅱ）∵Rt△CAN≌Rt△CNB, ∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC为正三角形.‎ ‎∵Rt△ANB≌Rt△CNB, ∴NC=NA=NB,因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心,连结BH,∠NBH为NB与平面ABC所成的角.‎ A B M N C l2‎ l1‎ H x y z 在Rt△NHB中,cos∠NBH= = = .‎ 解法二: 如图,建立空间直角坐标系M－xyz.令MN=1, 则有A(－1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),‎ ‎(Ⅰ)∵MN是 l1、l2的公垂线, l1⊥l2, ∴l2⊥平面ABN. l2平行于z轴. 故可设C(0,1,m).于是 =(1,1,m), =(1,－1,0). ∴·=1+(－1)+0=0 ∴AC⊥NB.‎ ‎(Ⅱ)∵ =(1,1,m), =(－1,1,m), ∴||=||, 又已知∠ACB=60°,∴△ABC为正三角形,AC=BC=AB=2. 在Rt△CNB中,NB=, 可得NC=,故C(0,1, ).‎ 连结MC,作NH⊥MC于H,设H(0,λ, λ) (λ>0). ∴=(0,1－λ,－λ), ‎ =(0,1, ). · = 1－λ－2λ=0, ∴λ= ,‎ ‎∴H(0, , ), 可得=(0,, － ), 连结BH,则=(－1,, ),‎ ‎∵·=0+ － =0, ∴⊥, 又MC∩BH=H,∴HN⊥平面ABC,‎ ‎∠NBH为NB与平面ABC所成的角.又=(－1,1,0),‎ ‎∴cos∠NBH= = = ‎20.解: 椭圆方程可写为: + =1 式中a>b>0 , 且 得a2=4,b2‎ ‎=1,所以曲线C的方程为: x2+ =1 (x>0,y>0). y=2(01,y>2) ‎ ‎(Ⅱ)| |2= x2+y2, y2= =4+ , ‎ ‎∴| |2= x2－1++5≥4+5=9.且当x2－1= ,即x=>1时,上式取等号.‎ 故||的最小值为3.‎ ‎21.解(Ⅰ)f(x)的定义域为(－∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得 f '(x)= e－ax. ‎ ‎(ⅰ)当a=2时, f '(x)= e－2x, f '(x)在(－∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(－∞,1), (1,+∞).为增函数.‎ ‎(ⅱ)当00, f(x)在(－∞,1), (1,+∞)为增函数. ‎ ‎(ⅲ)当a>2时, 0<<1, 令f '(x)=0 ,解得x1= － , x2= .‎ 当x变化时, f '(x)和f(x)的变化情况如下表: ‎ x ‎(－∞, －)‎ ‎(－,)‎ ‎(,1)‎ ‎(1,+∞)‎ f '(x)‎ ‎＋‎ ‎－‎ ‎＋‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎↗‎ ‎↗‎ f(x)在(－∞, －), (,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(－,)为减函数.‎ ‎(Ⅱ)(ⅰ)当0f(0)=1.‎ ‎(ⅱ)当a>2时, 取x0= ∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x0)1且e－ax≥1,得 ‎ f(x)= e－ax≥ >1. 综上当且仅当a∈(－∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1.‎ ‎22.解: (Ⅰ)由 Sn=an－×2n+1+, n=1,2,3，… , ① 得 a1=S1= a1－×4+ 所以a1=2.‎ 再由①有 Sn－1=an－1－×2n+, n=2,3，4,…‎ 将①和②相减得: an=Sn－Sn－1= (an－an－1)－×(2n+1－2n),n=2,3, …‎ 整理得: an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3, … , 因而数列{ an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=4×4n－1= 4n, n=1,2,3, …, 因而an=4n－2n, n=1,2,3, …,‎ ‎(Ⅱ)将an=4n－2n代入①得 Sn= ×(4n－2n)－×2n+1 + = ×(2n+1－1)(2n+1－2)‎ ‎ = ×(2n+1－1)(2n－1) ‎ ‎ Tn= = × = ×( － )‎ 所以, = － ) = ×( － ) <