高考数学专题复习教案： 直线与双曲线的位置关系备考策略 2页

直线与双曲线的位置关系备考策略 主标题：直线与双曲线的位置关系备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：直线与双曲线的位置关系，知识总结备考策略 难度：5‎ 重要程度：5‎ 内容：研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．‎ 思维规律解题：‎ 考点一：直线与双曲线的位置关系 例1.(2014·江西高考)如图，已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的右焦点F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)．‎ ‎(1)求双曲线C的方程；‎ ‎(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．‎ 解：(1)设F(c,0)，因为b＝1，‎ 所以c＝，‎ 直线OB的方程为y＝－x，直线BF的方程为y＝(x－c)，‎ 解得B.‎ 又直线OA的方程为y＝x，‎ 则A，kAB＝＝.‎ 又因为AB⊥OB，所以·＝－1，解得a2＝3，‎ 故双曲线C的方程为－y2＝1.‎ ‎(2)证明：由(1)知a＝，‎ 则直线l的方程为－y0y＝1(y0≠0)，即y＝.‎ 因为直线AF的方程为x＝2，‎ 所以直线l与AF的交点M；‎ 直线l与直线x＝的交点为N.‎ 则＝＝ ‎＝·，‎ 因为P(x0，y0)是C上一点，则－y＝1，代入上式得 ＝· ‎＝·＝.‎ 所求定值为＝＝.‎ 备考策略：直线与双曲线的位置关系的判断与应用和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似，但是联立直线方程与双曲线方程消元后，注意二次项系数是否为0的判断．对于中点弦问题常用“点差法”．‎