2020年高中数学第六章间接证明：反证法 4页

‎6.2.2　‎间接证明：反证法 一、基础达标 ‎1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是 ‎(　　)‎ ‎①与已知条件矛盾　②与假设矛盾　③与定义、公理、定理矛盾　④与事实矛盾 A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④‎ 答案　D ‎2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为 ‎(　　)‎ A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 答案　C 解析　假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.‎ ‎3．有下列叙述：①“a>b”的反面是“ay或x0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2，…)，试证“数列{xn}对任意的正整数n都满足xn>xn＋‎1”‎，当此题用反证法否定结论时应为 ‎(　　)‎ A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1‎ B．存在正整数n，使xn＝xn＋1‎ C．存在正整数n，使xn≥xn＋1‎ D．存在正整数n，使xn≤xn＋1‎ 答案　D 解析　“任意”的反语是“存在一个”．‎ ‎9．设a，b，c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋ ‎(　　)‎ A．都大于2‎ B．至少有一个大于2‎ C．至少有一个不小于2‎ D．至少有一个不大于2‎ 答案　C 解析　假设a＋<2，b＋<2，c＋<2，‎ 4‎ 则＋＋<6.‎ 又＋＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.‎ ‎10．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－‎2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是________．‎ 答案　a≤－2或a≥－1‎ 解析　若两方程均无实根，则Δ1＝(a－1)2－‎4a2＝(‎3a－1)(－a－1)<0，‎ ‎∴a<－1或a>.Δ2＝(‎2a)2＋‎8a＝‎4a(a＋2)<0，∴－20，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证a>0，b>0，c>0.‎ 证明　用反证法：‎ 假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，‎ 不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0，‎ 可得c>－(a＋b)，‎ 又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)‎ ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab 即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2‎ ‎∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0，‎ 这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假设不成立．‎ 因此a>0，b>0，c>0成立．‎ ‎12．已知a，b，c∈(0,1)，求证(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能都大于.‎ 证明　假设三个式子同时大于，‎ 即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，‎ 三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c>，‎ ‎①‎ 又因为0