2020_2021学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1 49页

1.5 　全称量词与存在量词 1.5.1 　全称量词与存在量词 必备知识 · 自主学习 1. 全称量词与存在量词 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 __ __ ∀ ∃ 【 思考 】 常见的全称量词、存在量词还有哪些？ 提示： 常见的全称量词还有 “ 一切 ”“ 每一个 ”“ 任给 ”“ 凡是 ” 等 . 常见的存在量词还有 “ 有些 ”“ 有一个 ”“ 对某些 ”“ 有的 ” 等 . 2. 全称量词命题与存在量词命题 (1) 定义和表示方法 全称量词命题 存在量词命题 定义 含有 _________ 的命题，叫做 全称量词命题 . 含有 _________ 的命题，叫做 存在量词命题 . 表示 全称量词命题“对 M 中任意一 个 x ， p(x) 成立”可用符号简 记为： _____________. 存在量词命题“存在 M 中的元 素 x ， p(x) 成立”可用符号简 记为： _____________ 全称量词 ∀x∈M ， p(x) 存在量词 ∃x∈M ， p(x) (2) 本质：全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性” . (3) 应用：全称量词、存在量词是数学和日常生活中使用频率很高的一种逻辑用语，数学中存在大量的全称量词命题和存在量词命题 . 【 思考 】 全称量词命题中的“ x ， M 与 p(x)” 表达的含义分别是什么？ 提示： 元素 x 可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合 M 是这些元素的某一特定的范围， p(x) 表示集合 M 的所有元素满足的性质，也可以用 q(x) ， r(x) 等符号表示 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”，错的打“ ×”) (1) 全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题 .( 　　 ) (2) 存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的 命题 . ( 　　 ) (3) 全称量词命题一定含有全称量词 . ( 　　 ) 提示： (1)√. 全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调 “ 整体、全部 ” . (2)√. 存在量词命题中的存在量词表明给定范围内的对象有例外，强调 “ 个别、部分 ” . (3)×. 有些命题虽然没有写出全称量词，但其意义具备 “ 任意性 ” ，这类命题也是全称量词命题，如 “ 正数大于 0 ” 即 “ 所有正数都大于 0 ” ，故 (3) 说法是错误的 . 2. 给出下列命题： (1) 所有一次函数的图象都是直线； (2) 对顶角相等； (3)∃x∈R ， x 2 -4x+4≤0 ； (4) 对任意的整数 x ， 5x-1 是整数 . 其中全称量词命题是 _______ ，存在量词命题是 _______.( 填序号 )  【 解析 】 (1) 含有全称量词 “ 所有 ” ，是全称量词命题； (2) 省略了全称量词 “ 所有 ” ，是全称量词命题； (3) 含有存在量词符号 “ ∃ ” ，是存在量词命题； (4) 含有全称量词 “ 任意 ” ，是全称量词命题 . 答案： (1)(2)(4) 　 (3) 3.( 教材二次开发：练习改编 ) 判断下列全称量词命题或存在量词命题的真假： (1)∃x∈Q ，方程 x-2=0 有解 . (2) 至少有一个 x∈R ，使 x 能被 5 和 8 整除 . (3) 对于任意一个 x∈Z ， 2x 都是偶数 . 【 解析 】 (1) 方程 x-2=0 的解为 x= ∈Q ，所以此命题是假命题 . (2) 因为 40 能被 5 和 8 整除，所以此命题是真命题 . (3) 对于任意一个 x∈Z ， 2x 一定能被 2 整除，一定是偶数，所以此命题是真命题 . 关键能力 · 合作学习 类型一　全称量词命题与存在量词命题的识别 ( 数学抽象 ) 【 题组训练 】 1. 下列命题： ①至少有一个 x ，使 x 2 +2x+1=0 成立 . ② 对任意的 x ，都有 x 2 +2x+1=0 成立 . ③ 对任意的 x ，都有 x 2 +2x+1=0 不成立 . ④ 存在 x ，使 x 2 +2x+1=0 不成立 . 其中是全称量词命题的个数为 ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 2. 下列命题：①有的平行四边形是菱形；②任何一个实数乘以 0 都等于 0 ； ③有一个角 α ，使 sin α= ；④凸多边形的外角和等于 360° ；⑤所有正数都是实数 . 其中是全称量词命题的为 _______ ，是存在量词命题的为 _____.( 填序号 )  3. 用量词符号“∀”“∃”表述下列命题 . (1) 所有实数 x 都能使 x 2 +x+1>0 成立 . (2) 对所有实数 a ， b ，方程 ax+b=0 恰有一个解 . (3) 一定有整数 x ， y ，使得 3x-2y=10 成立 . (4) 所有的有理数 x 都能使 x 2 + x+1 是有理数 . 【 解析 】 1. 选 B. 只有②③含有全称量词，是全称量词命题 . 2.① 含有存在量词 “ 有的 ” ，故为存在量词命题； ②含有全称量词 “ 任何一个 ” ，故为全称量词命题； ③含有存在量词 “ 有一个 ” ，故为存在量词命题； ④可以改写为 “ 所有的凸多边形的外角和等于 360° ” ，含有全称量词 “ 所有 ” ，故为全称量词命题； ⑤含有全称量词 “ 所有 ” ，故为全称量词命题 . 答案： ②④⑤　①③ 3.(1)∀x∈R ， x 2 +x+1>0. (2)∀a ， b∈R ， ax+b=0 恰有一解 . (3)∃x ， y∈Z ， 3x-2y=10. (4)∀x∈Q ， x 2 + x+1 是有理数 . 【 解题策略 】 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 【 补偿训练 】 1. 下列命题中为全称量词命题的是 ( 　　 ) A. 有些实数没有倒数 B. 矩形都有外接圆 C. 过直线外一点有一条直线和已知直线平行 D.∃x∈R ， x 2 +x≤2 【 解析 】 选 B.A 、 C 、 D 是存在量词命题， B 可改写为 “ 所有矩形都有外接圆 ” ，是全称量词命题 . 2. 下列命题中为存在量词命题的是 ( 　　 ) A. 存在实数 x>1 ，使 x 2 >1 B. 全等的三角形必相似 C. 相似三角形必全等 D.∀x∈N * ， (x-2) 2 >0 【 解析 】 选 A.A 是存在量词命题， B 、 C 、 D 是全称量词命题 . 3. 判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题 . (1) 对任意的 n∈Z ， 2n+1 是奇数 . (2) 有些三角形不是等腰三角形 . (3) 有的实数是无限不循环小数 . (4) 所有的正方形都是矩形 . 【 解析 】 (1) 含有全称量词 “ 任意 ” ，故为全称量词命题 . (2) 含有存在量词 “ 有些 ” ，故为存在量词命题 . (3) 含有存在量词 “ 有的 ” ，故为存在量词命题 . (4) 含有全称量词 “ 所有 ” ，故为全称量词命题 . 类型二　全称量词命题与存在量词命题的真假判断 ( 逻辑推理 ) 【 典例 】 1.(2020· 淄博高一检测 ) 下列各命题中，真命题是 ( 　　 ) A.∀x∈R ， 1-x 2 <0 B.∀x∈N ， x 2 ≥1 C.∃x∈Z ， x 3 <1 D.∃x∈Q ， x 2 =2 2. 以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是 ( 　　 ) A. 锐角三角形的内角是锐角或钝角 B. 至少有一个实数 x ，使 x 2 ≤0 C. 两个无理数的和必是无理数 D. 存在一个负数 x ，使 >2 3. 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题， 并判断真假 . (1) 有的集合中存在两个相同的元素 . (2)∀a ， b∈R ， (a+b)(a 2 -ab+b 2 )=a 3 +b 3 . (3) 存在一个 x∈R ，使 =0. (4) 对任意直角三角形的两个锐角 A ， B ，都有 sin A=cos B. 【 思路导引 】 1. 弄清 R ， N ， Z ， Q 的含义，对于全称量词命题 ( 选项 A ， B) ，每个元素都满足条件，才是真命题；对于存在量词命题 ( 选项 C ， D) ，存在一个元素满足条件，就是真命题 . 2. 对于存在量词命题，只要存在一个元素满足条件，就是真命题 . 3. 对于全称量词命题，必须每个元素都满足条件，才是真命题；对于存在量词命题，只要存在一个元素满足条件，就是真命题 . 【 解析 】 1. 选 C.A 是假命题，例如当 x=0∈R 时， 1-x 2 =1>0 ； B 是假命题，例如当 x=0∈N 时， x 2 =0<1 ； C 是真命题，例如当 x=0∈Z 时， x 3 =0<1 ； D 是假命题， x 2 =2 解得 x=± ∉Q. 2. 选 B.A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题； B 中 x=0 时， x 2 =0 ，所以 B 既是存在量词命题又是真命题； C 中因为 +(- )=0 ， 所以 C 是假命题； D 中对于任意一个负数 x ，都有 <0 ，所以 D 是假命题 . 3.(1) 是存在量词命题，由集合中元素的互异性可知，此命题是假命题 . (2) 是全称量词命题，∀ a ， b∈R ， (a+b)(a 2 -ab+b 2 )=a 3 -a 2 b+ab 2 +a 2 b-ab 2 +b 3 =a 3 +b 3 是真命题 . (3) 是存在量词命题 . 因为不存在 x∈R ，使 =0 成立，所以该命题是假命题 . (4) 是全称量词命题，根据锐角三角函数的定义可知，对任意直角三角形的两 个锐角 A ， B ，都有 sin A=cos B ，是真命题 . 【 解题策略 】 全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧 (1) 全称量词命题的真假判断 . 要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合 M 中的每个元素 x 验证 p(x) 成立；要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合 M 中的一个 x=x 0 ，使得 p(x 0 ) 不成立即可 ( 这就是通常所说的“举出一个反例” ). (2) 存在量词命题的真假判断 . 要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合 M 中，找到一个 x ，使 p(x) 成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题 . 【 题组训练 】 1. 给出下列四个命题： (1)∀x∈N * ， (x-1) 2 >0. (2)∃x∈R ， x+2 019<1. (3) 有一个锐角 α ，使 sin α= . (4) 对任意非正数 c ，若 a≤b+c ，则 a≤b. 其中的真命题的个数是 ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 【 解析 】 选 C.(1) 为假命题，因为当 x=1 时， (x-1) 2 =0. (2) 为真命题，当 x=-2 019 时， x+2 019=0<1. (3) 为真命题，当 α=30° 时， sin α= . (4) 为真命题，对任意非正数 c ，总有 b+c≤b ，所以由 a≤b+c ，可得 a≤b. 2. 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假 . (1) 存在两个正实数 x ， y ，使 x 2 +y 2 =0. (2) 所有有两个角是 45° 的三角形是等腰直角三角形 . (3) 能被 5 整除的整数末位数是 0. (4) 所有的二次函数的图象都是开口向上的抛物线 . 【 解析 】 (1) 是存在量词命题，因为当 x 2 +y 2 =0 时， x=y=0 ，所以不存在 x ， y 为正实数，使 x 2 +y 2 =0 ，故此命题是假命题 . (2) 是全称量词命题，有两个角是 45° 的三角形，第三个角必是直角，所以此三角形是等腰直角三角形，故此命题是真命题 . (3) 是全称量词命题，因为 25 能被 5 整除，但末位数不是 0 ，因此该命题是假命题 . (4) 是全称量词命题，有的二次函数的图象是开口向下的抛物线，所以该命题是假命题 . 【 补偿训练 】 　　指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假 . (1) 在平面直角坐标系中，任意有序实数对 (x ， y) 都对应一点 . (2) 存在一个实数，它的绝对值不是正数 . (3) 任何数的 0 次方都等于 1. 【 解析 】 (1) 全称量词命题 . 在平面直角坐标系中，任意有序实数对 (x ， y) 与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题 . (2) 存在量词命题 . 存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题 . (3) 全称量词命题 .0 的 0 次方无意义，所以该命题是假命题 . 类型三　根据含有量词的命题的真假求参数的取值范围 ( 数学抽象、逻辑推理 ) 【 典例 】 1. 已知集合 A={x|1≤x≤2} ，若命题“∀ x∈A ，一次函数 y=x+m 的图象在 x 轴上方”是真命题，则实数 m 的取值范围是 _______.  2. 若命题“∃ x∈R ，使得方程 ax 2 +2x-1=0 成立”是真命题，求实数 a 的取值范围 . 【 思路导引 】 1. 先求出 x+m 的取值范围，根据题意求实数 m 的取值范围 . 2. 根据关于 x 的方程 ax 2 +2x-1=0 有实数根，求实数 a 的取值范围 . 【 解析 】 1. 当 1≤x≤2 时， 1+m≤x+m≤2+m ， 因为一次函数 y=x+m 的图象在 x 轴上方， 所以 1+m>0 ，即 m>-1 ，所以实数 m 的取值范围是 {m|m>-1}. 答案： {m|m>-1} 2. 由题意得，关于 x 的方程 ax 2 +2x-1=0 有实数根，当 a=0 时，方程为 2x-1=0 ，显然有实数根，满足题意；当 a≠0 时， Δ=4+4a≥0 ，解得 a≥-1 ，且 a≠0. 综上知，实数 a 的取值范围是 {a|a≥-1}. 【 变式探究 】 将本例 2 的方程改为“ x 2 +2x+2=m” ，求实数 m 的取值范围 . 【 解析 】 依题意，方程 x 2 +2x+2-m=0 有实数解， 所以 Δ=4-4(2-m)≥0 ， 解得 m≥1. 【 变式探究 】 利用含量词的命题的真假求参数的取值范围 (1) 含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式 ( 如 x 2 ≥0) ，确定参数的取值范围 . (2) 含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决 . 【 变式探究 】 1. 已知命题 p ：“∀ x∈R ， mx 2 ≥0” 是真命题，则实数 m 的取值范围是 _______ 　 .  【 解析 】 当 x∈R 时， x 2 ≥0 ，若 “ ∀ x∈R ， mx 2 ≥0 ” 是真命题，则有 m≥0. 答案： m≥0 2. 若“存在 x∈{x|3≤x≤5} ， x≥m” 是真命题，则实数 m 的取值范围是 _______.  【 解析 】 当 m≤5 时， “ 存在 x∈{x|3≤x≤5} ， x≥m ” 是真命题 . 答案： m≤5 【 补偿训练 】 　　　已知命题 p ：“∀ x≥3 ，使得 2x-1≥m” 是真命题，则实数 m 的取值范围是 _______ 　 .  【 解析 】 因为当 x≥3 时， 2x-1≥5 ， 所以若 “ ∀ x≥3 ，使得 2x-1≥m ” 是真命题， 则 m≤5. 答案： m≤5 课堂检测 · 素养达标 1. 下列命题不是“∃ x∈R ， x 2 >3” 的表述方法的是 ( 　　 ) A. 有一个 x∈R ，使得 x 2 >3 成立 B. 对有些 x∈R ，使得 x 2 >3 成立 C. 任选一个 x∈R ，使得 x 2 >3 成立 D. 至少有一个 x∈R ，使得 x 2 >3 成立 【 解析 】 选 C. 原命题是存在量词命题，而选项 C 中的命题是全称量词命题 . 2. 下列命题中全称量词命题的个数是 ( 　　 ) ①∀x∈R ， x 2 >0 ； ②∃ x∈R ， x 2 ≤0 ； ③平行四边形的对边平行； ④矩形的任一组对边相等 . 　　 A.1 B.2 C.3 D.4 【 解析 】 选 C.① 含有全称量词符号 “ ∀ ” ，为全称量词命题， ②含有存在量词符号 “ ∃ ” ，为存在量词命题， ③隐含着全称量词 “ 所有 ” ，为全称量词命题， ④隐含着全称量词 “ 所有 ” ，为全称量词命题 . 3. 下列存在量词命题中，是假命题的是 ( 　　 ) A.∃x∈Z ， x 2 -2x-3=0 B. 至少有一个 x∈Z ，使 x 能同时被 2 和 3 整除 C. 有的三角形没有外接圆 D.∃x∈R ， =x 【 解析 】 选 C.A 中， x=-1 满足题意，是真命题； B 中， x=6 满足题意，是真命题； C 中，所有的三角形都有外接圆，是假命题 .D 中，当 x=0 或 1 时， =x ，是真命题 . 4. 命题“自然数的平方大于零”是 _______ 量词命题 ( 填“全称”或“存在” ) ，其省略的量词是 _______.  【 解析 】 自然数的平方大于零意思是说所有自然数的平方都大于零，故该命题是全称量词命题，其省略的量词是 “ 所有 ” . 答案： 全称　所有 5.( 教材二次开发：练习改编 ) 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假 . (1) 对某些实数 x ，有 2x+1>0. (2)∀x∈{3 ， 5 ， 7} ， 3x+1 是偶数 . (3) 存在实数 x ， =-x. 【 解析 】 (1) 命题中含有存在量词 “ 某些 ” ，因此是存在量词命题，是真命题 . (2) 命题中含有全称量词的符号 “ ∀ ” ，因此是全称量词命题 . 把 3 ， 5 ， 7 分别代入 3x+1 ，得 10 ， 16 ， 22 ，都是偶数，因此，该命题是真命题 . (3) 存在量词命题 . 当 x<0 时， =-x ，所以该命题为真命题 . 全称量词与存在量词 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 全称量 词命题 存在量 词命题 逻辑推理：通过具体命题真假的判断，培养逻辑推理的核心素养 （1）注意全称 量词 命题和 存在量词 命题的自然语言与符号语言的转化 （2）注意省略量词的命题的真假判断 （ 3 ）对于“至多”“至少” 型 的命题，多采用逆向思维的方法处理 判断全称、存在量词命题真假的方法 : （ 1 ）若全称量词命题为真，则给定集 合中每一个元素 x 使 p(x) 为真，若为假命题，则只需举一反例即可 . （ 2 ）若存在量词命题为真，则给定集 合中只要有一个元素 x 使 p(x) 为真即可，否则为假命题 . 否定 否定结论