高中数学必修2教案：第三章 3_3_1-3_3_2两点间的距离 9页

‎3．3.1　两条直线的交点坐标 ‎3．3.2　两点间的距离 ‎[学习目标]　1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.3.掌握两点间距离公式并会应用．‎ ‎[知识链接]‎ 直线的方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式，它们的表现形式分别为y－y0＝k(x－x0)、y＝kx＋b、＝、＋＝1及Ax＋By＋C＝0.‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．两条直线的交点 已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.若两直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交；若方程组无解，则两条直线平行．若方程组有无穷多个解，则两条直线重合．‎ ‎2．过定点的直线系方程 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0交于点P(x0，y0)，则方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示过点P的直线系，不包括直线l2.‎ ‎3．两点间的距离 平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式 ‎|P1P2|＝.‎ ‎4．两点间距离的特殊情况 ‎(1)原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.‎ ‎(2)当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|.‎ ‎(3)当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|.‎ 要点一　两直线的交点问题 例1　求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．‎ 解　方法一　由方程组 解得即l1与l2的交点坐标为(－2,2)．‎ ‎∵直线过坐标原点，‎ ‎∴其斜率k＝＝－1.‎ 故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0.‎ 方法二　∵l2不过原点，∴可设l的方程为3x＋4y－2＋‎ λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1，∴直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.‎ 规律方法　1.方法一是解方程组方法，思路自然，但计算量稍大，方法二运用了交点直线系，是待定系数法，计算简单，但要注意判断原点(0,0)不能在直线2x＋y＋2＝0上．否则，会出现λ的取值不确定的情形．‎ ‎2．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系有两种：①λ1(A1x＋B1y＋C1)＋λ2(A2x＋B2y＋C2)＝0可表示过l1、l2交点的所有直线；‎ ‎②A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0不能表示直线l2.‎ 跟踪演练1　求经过直线l1：x＋3y－3＝0，l2：x－y＋1＝0的交点且平行于直线2x＋y－3＝0的直线方程．‎ 解　方法一　由得 ‎∴直线l1与l2的交点坐标为(0,1)，‎ 再设平行于直线2x＋y－3＝0的直线方程为2x＋y＋c＝0，‎ 把(0,1)代入所求的直线方程，得c＝－1，‎ 故所求的直线方程为2x＋y－1＝0.‎ 方法二　设过直线l1、l2交点的直线方程为 x＋3y－3＋λ(x－y＋1)＝0(λ∈R)，‎ 即(λ＋1)x＋(3－λ)y＋λ－3＝0，‎ 由题意可知，＝－2，解得λ＝，‎ 所以所求直线方程为x＋y－＝0，‎ 即2x＋y－1＝0.‎ 要点二　两点间距离公式的应用 例2　已知△ABC三顶点坐标A(－3,1)、B(3，－3)、C(1,7)，试判断△ABC的形状．‎ 解　方法一　∵|AB|＝＝2，‎ ‎|AC|＝＝2，‎ 又|BC|＝＝2，‎ ‎∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，‎ 且|AB|＝|AC|，‎ ‎∴△ABC是等腰直角三角形．‎ 方法二　∵kAC＝＝，kAB＝＝－，‎ 则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.‎ 又|AC|＝＝2，‎ ‎|AB|＝＝2，‎ ‎∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形．‎ 规律方法　1.判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．‎ ‎2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．‎ 跟踪演练2　已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标．‎ 解　设点P的坐标为(x,0)，由|PA|＝10，‎ 得＝10，解得：x＝11或x＝－5.‎ 所以点P的坐标为(－5,0)或(11,0)．‎ 要点三　坐标法的应用 例3　证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．‎ 证明　‎ 如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0,0)．‎ 设B(a,0)，D(b，c)，由平行四边形的性质得点C的坐标为(a＋b，c)，因为|AB|2＝a2，|CD|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2，|BC|2＝b2＋c2，|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(b－a)2＋c2.‎ 所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2(a2＋b2＋c2)，‎ ‎|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2)．‎ 所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝|AC|2＋|BD|2.‎ 规律方法　坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系．坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决．建系的原则主要有两点：‎ ‎(1)让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；‎ ‎(2)如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴．‎ 跟踪演练3　已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.‎ 求证：|AC|＝|BD|.‎ 证明　如图所示，建立直角坐标系，设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)．‎ ‎∴|AC|＝＝，‎ ‎|BD|＝＝.‎ 故|AC|＝|BD|.‎ ‎1．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是(　　)‎ A．(4,1) B．(1,4)‎ C. D. 答案　C 解析　由方程组得 即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是.‎ ‎2．已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于(　　)‎ A．5 B. C. D．4‎ 答案　A 解析　|MN|＝＝5.‎ ‎3．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是(　　)‎ A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0‎ C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0‎ 答案　A 解析　首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0.‎ ‎4．已知两条直线l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若l1与l2相交，则实数a满足的条件是________．‎ 答案　a≠2‎ 解析　l1与l2相交则有：≠，∴a≠2.‎ ‎5．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于________．‎ 答案　2 解析　设A(x,0)，B(0，y)，∵AB中点P(2，－1)，‎ ‎∴＝2，＝－1，‎ ‎∴x＝4，y＝－2，即A(4,0)，B(0，－2)，‎ ‎∴|AB|＝＝2.‎ ‎1.方程组有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2)．‎ ‎2．解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法．‎ ‎3．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ 与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想．‎ 一、基础达标 ‎1．已知A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则的值为(　　)‎ A. B. C．3 D．2‎ 答案　D 解析　由两点间的距离公式，‎ 得|AC|＝＝4，‎ ‎|CB|＝＝2，故＝＝2.‎ ‎2．两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值为(　　)‎ A．－24 B．6‎ C．±6 D．24‎ 答案　C 解析　在2x＋3y－k＝0中，令x＝0得y＝，将代入x－ky＋12＝0，解得k＝±6.‎ ‎3．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三角形是(　　)‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 答案　B 解析　∵|AB|＝，|AC|＝，|BC|＝3，‎ ‎∴三角形为等腰三角形．故选B.‎ ‎4．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m－n＋p为(　　)‎ A．24 B．20‎ C．0 D．－4‎ 答案　B 解析　由垂直性质可得2m－20＝0，m＝10.由垂足可得解得 ‎∴m－n＋p＝20.‎ ‎5．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为________．‎ 答案　1或－5‎ 解析　由题意得＝5，‎ 解得a＝1或a＝－5.‎ ‎6．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则k的取值范围是________．‎ 答案　 解析　由得由于交点在第一象限，故x>0，y>0，解得k>.‎ ‎7．在直线l：3x－y＋1＝0上求一点P，使点P到两点A(1，－1)，B(2,0)的距离相等．‎ 解　方法一　设P点坐标为(x，y)，‎ 由P在l上和点P到A，B的距离相等建立方程组 解得 所以P点坐标为(0,1)．‎ 方法二　设P(x，y)，两点A(1，－1)、B(2,0)连线所得线段的中垂线方程为x＋y－1＝0.①‎ 又3x－y＋1＝0，②‎ 解由①②组成的方程组得 所以所求的点为P(0,1)．‎ 二、能力提升 ‎8．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0，过定点B，由两点间的距离公式，得|AB|＝.‎ ‎9．已知P1(a1，b1)与P2(a2，b2)是直线y＝kx＋1(k为常数)上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是(　　)‎ A．无论k，P1，P2如何，总是无解 B．无论k，P1，P2如何，总有唯一的解 C．存在k，P1，P2，使之恰有两解 D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解 答案　B 解析　由题意，得直线y＝kx＋1一定不过原点O，P1、P2是直线y＝kx＋1上不同的两点，则OP1与OP2不平行，因此a1b2－a2b1≠0，所以二元一次方程组一定有唯一解．‎ ‎10．若动点P的坐标为(x,1－x)，x∈R，则动点P到原点的最小值是________．‎ 答案　 解析　由距离公式得＝＝，∴最小值为＝.‎ ‎11．(1)求过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点且与第一条直线垂直的直线方程；‎ ‎(2)求经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．‎ 解　(1)方法一　由 得即交点为(－1,4)．‎ ‎∵第一条直线的斜率为－3，且两直线垂直，‎ ‎∴所求直线的斜率为.‎ ‎∴由点斜式得y－4＝(x＋1)，‎ 即x－3y＋13＝0.‎ 方法二　设所求的方程为3x＋y－1＋λ(x＋2y－7)＝0，‎ 即(3＋λ)x＋(1＋2λ)y－(1＋7λ)＝0，‎ 由题意得3(3＋λ)＋(1＋2λ)＝0，‎ ‎∴λ＝－2，代入所设方程得x－3y＋13＝0.‎ ‎(2)设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0，‎ 即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0.‎ 令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝.‎ 由＝，得λ＝或λ＝.‎ 故直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0.‎ 三、探究与创新 ‎12．求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标．‎ 解　方法一　对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，令m＝0，得x－3y－11＝0；令m＝1，得x＋4y＋10＝0.‎ 解方程组得两条直线的交点坐标为(2，－3)．‎ 将点(2，－3)代入直线方程，得(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝0.‎ 这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．‎ 方法二　将已知方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0.‎ 由于m取值的任意性，有，‎ 解得 所以不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．‎ ‎13．某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2)，B(4,0)，一条河所在直线方程为l：x＋2y－10＝0，若在河边l上建一座供水站P使之到A，B两镇的管道最省，问供水站P应建在什么地方？此时|PA|＋|PB|为多少？‎ 解　‎ 如图所示，过A作直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，因为若P′(异于P)在直线l上，则|AP′|＋|BP′|＝|A′P′|＋|BP′|>|A′B|.‎ 因此，供水站只能在点P处，才能取得最小值．‎ 设A′(a，b)，则AA′的中点在l上，且AA′⊥l，‎ 即 解得即A′(3,6)．‎ 所以直线A′B的方程为6x＋y－24＝0.‎ 解方程组得 所以P点的坐标为.‎ 故供水站应建在点P处，‎ 此时|PA|＋|PB|＝|A′B|＝＝.‎