2009年全国统一高考数学试卷Ⅱ（文科）【word版本、可编辑、附详细答案和解释】 10页

‎2009年全国统一高考数学试卷Ⅱ（文科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1. 已知全集U＝‎{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}‎，M＝‎{1, 3, 5, 7}‎，N＝‎{5, 6, 7}‎，则‎∁‎U‎(M∪N)‎＝（ ）‎ A.‎{5, 7}‎ B.‎{2, 4}‎ C.‎{2, 4, 8}‎ D.‎‎{1, 3, 5, 6, 7}‎ ‎2. 函数y=‎-x(x≤0)‎的反函数是（ ）‎ A.y=x‎2‎(x≥0)‎ B.y=-x‎2‎(x≥0)‎ C.y=x‎2‎(x≤0)‎ D.‎y=-x‎2‎(x≤0)‎ ‎3. 函数y＝log‎2‎‎2-x‎2+x的图象（ ）‎ A.关于直线y＝‎-x对称 B.关于原点对称 C.关于y轴对称 D.关于直线y＝x对称 ‎4. 已知‎△ABC中，cotA=-‎‎12‎‎5‎，则cosA=(‎ ‎‎)‎ A.‎12‎‎13‎ B.‎5‎‎13‎ C.‎-‎‎5‎‎13‎ D.‎‎-‎‎12‎‎13‎ ‎5. 已知正四棱柱ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中，AA‎1‎=2AB=2‎，E为AA‎1‎中点，则异面直线BE与CD‎1‎所成角的余弦值为（ ）‎ A.‎10‎‎10‎ B.‎1‎‎5‎ C.‎3‎‎10‎‎10‎ D.‎‎3‎‎5‎ ‎6. 已知向量a‎→‎‎=(2, 1)‎，a‎→‎‎⋅b‎→‎=10‎，‎|a‎→‎+b‎→‎|=5‎‎2‎，则‎|b‎→‎|‎＝（ ）‎ A.‎5‎ B.‎10‎ C.‎5‎ D.‎‎25‎ ‎7. 设a=lge，b=(lge‎)‎‎2‎，c=lge，则(        )‎ A.a>b>c B.c>a>b C.a>c>b D.‎c>b>a ‎8. 双曲线x‎2‎‎6‎‎-y‎2‎‎3‎=1‎的渐近线与圆‎(x-3‎)‎‎2‎+y‎2‎=r‎2‎(r>0)‎相切，则r=(‎ ‎‎)‎ A.‎3‎ B.‎2‎ C.‎3‎ D.‎‎6‎ ‎9. 若将函数y＝tan(ωx+π‎4‎)(ω>0)‎的图象向右平移π‎6‎个单位长度后，与函数y＝tan(ωx+π‎6‎)‎的图象重合，则ω的最小值为（ ）‎ A.‎1‎‎6‎ B.‎1‎‎4‎ C.‎1‎‎3‎ D.‎‎1‎‎2‎ ‎10. 甲、乙两人从‎4‎门课程中各选修‎2‎门，则甲、乙所选的课程中恰有‎1‎门相同的选法有（ ）‎ A.‎6‎种 B.‎12‎种 C.‎24‎种 D.‎30‎种 ‎11. 已知直线y=k(x+2)(k>0)‎与抛物线C:y‎2‎=8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若‎|FA|=2|FB|‎，则k=‎(        )‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎2‎‎3‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎2‎‎2‎‎3‎ ‎12. 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“‎△‎”的面的方位（ ）‎ A.南 B.北 C.西 D.下 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13. 设等比数列‎{an}‎的前n项和为Sn．若a‎1‎＝‎1‎，S‎6‎＝‎4‎S‎3‎，则a‎4‎＝________．‎ ‎14. ‎(xy-yx‎)‎‎4‎的展开式中x‎3‎y‎3‎的系数为________．‎ ‎15. 已知圆O:x‎2‎+y‎2‎=5‎和点A(1, 2)‎，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积‎=‎________．‎ ‎16. 设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成‎45‎‎∘‎角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于‎7π‎4‎，则球O的表面积等于________．‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17. 已知等差数列‎{an}‎中，a‎3‎a‎7‎‎=-16‎，a‎4‎‎+a‎6‎=0‎，求‎{an}‎前n项和Sn．‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎18. 设‎△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos(A-C)+cosB=‎‎3‎‎2‎，b‎2‎‎=ac，求B．‎ ‎19. 如图，直三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中，AB⊥AC，D，E分别为AA‎1‎，B‎1‎C的中点，DE⊥‎平面BCC‎1‎．‎ ‎(1)‎求证：AB=AC；‎ ‎(2)‎设二面角A-BD-C的大小为‎60‎‎∘‎，求B‎1‎C与平面BCD所成角的大小．‎ ‎20. 某车间甲组有‎10‎名工人，其中有‎4‎名女工人；乙组有‎10‎名工人，其中有‎6‎名女工人．现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取‎4‎名工人进行技术考核．‎ ‎（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；‎ ‎（2）求从甲组抽取的工人中恰有‎1‎名女工人的概率；‎ ‎（3）求抽取的‎4‎名工人中恰有‎2‎名男工人的概率．‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎21. 设函数f(x)=‎1‎‎3‎x‎3‎-(1+a)x‎2‎+4ax+24a，其中常数a>1‎，‎ ‎(I)‎讨论f(x)‎的单调性；‎ ‎(II)‎若当x≥0‎时，f(x)>0‎恒成立，求a的取值范围．‎ ‎22. 已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的离心率为‎3‎‎3‎，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为‎1‎时，坐标原点O到l的距离为‎2‎‎2‎，‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎求a，b的值；‎ ‎(‎Ⅱ‎)C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OP‎→‎‎=OA‎→‎+‎OB‎→‎成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 参考答案与试题解析 ‎2009年全国统一高考数学试卷Ⅱ（文科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1.C ‎【分析】‎ ‎∵ M＝‎{1, 3, 5, 7}‎，N＝‎{5, 6, 7}‎，‎ ‎∴ M∪N＝‎{1, 3, 5, 6, 7}‎，‎ ‎∵ U＝‎{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}‎，‎ ‎∴ ‎∁‎U‎(M∪N)‎＝‎‎{2, 4, 8}‎ ‎2.B ‎【分析】‎ 解：由原函数定义域x≤0‎可知A、C错，‎ 原函数的值域y≥0‎可知D错，‎ 故选B．‎ ‎3.B ‎【分析】‎ 由于定义域为‎(-2, 2)‎关于原点对称，‎ 又f(-x)=log‎2‎‎2+x‎2-x=-log‎2‎‎2-x‎2+x=-f(x)‎，故函数为奇函数，‎ 图象关于原点对称，‎ ‎4.D ‎【分析】‎ 解：∵ ‎cotA=-‎‎12‎‎5‎ ‎∴ A为钝角，cosA<0‎排除A和B，‎ 再由cotA=cosAsinA=-‎‎12‎‎5‎，和sin‎2‎A+cos‎2‎A=1‎求得cosA=-‎‎12‎‎13‎，‎ 故选D．‎ ‎5.C ‎【分析】‎ 解：如图连接A‎1‎B，则有A‎1‎B // CD‎1‎，‎ ‎∠A‎1‎BE就是异面直线BE与CD‎1‎所成角，‎ 设AB=1‎，‎ 则A‎1‎E=AE=1‎，∴ BE=‎‎2‎，A‎1‎B=‎‎5‎．‎ 由余弦定理可知：cos∠A‎1‎BE=‎2+5-1‎‎2‎2‎⋅‎‎5‎=‎‎3‎‎10‎‎10‎．‎ 故选C．‎ ‎6.C ‎【分析】‎ ‎∵ ‎|a‎→‎+b‎→‎|=5‎‎2‎，‎‎|a‎→‎|=‎‎5‎ ‎∴ ‎(a‎→‎+b‎→‎‎)‎‎2‎=a‎→‎‎2‎+b‎→‎‎2‎+2a‎→‎⋅b‎→‎=50‎，‎ 得‎|b‎→‎|‎＝‎‎5‎ ‎7.C ‎【分析】‎ 解：∵ ‎1‎1‎‎2‎lge>(lge‎)‎‎2‎，‎ ‎∴ a>c>b．‎ 故选C．‎ ‎8.A 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎【分析】‎ 解：双曲线的渐近线方程为y=±‎1‎‎2‎x，即x±‎2‎y=0‎，‎ 圆心‎(3, 0)‎到直线的距离d=‎|3|‎‎(‎2‎‎)‎‎2‎+1‎=‎‎3‎，‎ ‎∴ r=‎‎3‎．‎ 故选A．‎ ‎9.D ‎【分析】‎ y‎＝tan(ωx+π‎4‎)‎，向右平移π‎6‎个单位可得：y＝tan[ω(x-π‎6‎)+π‎4‎]‎＝‎tan(ωx+π‎6‎)‎ ‎∴ ‎π‎4‎‎-π‎6‎ω+kπ=‎π‎6‎ ‎∴ ω＝k+‎1‎‎2‎(k∈Z)‎，‎ 又∵ ‎ω>0‎ ‎∴ ωmin‎=‎‎1‎‎2‎．‎ ‎10.C ‎【分析】‎ 根据题意，分两步，‎ ‎①由题意可得，所有两人各选修‎2‎门的种数C‎4‎‎2‎C‎4‎‎2‎＝‎36‎，‎ ‎②两人所选两门都相同的有为C‎4‎‎2‎＝‎6‎种，都不同的种数为C‎4‎‎2‎＝‎6‎，‎ ‎11.D ‎【分析】‎ 解：设抛物线C:y‎2‎=8x的准线为l:x=-2‎，‎ 直线y=k(x+2)(k>0)‎恒过定点P(-2, 0)‎，‎ 如图过A，B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，‎ 由‎|FA|=2|FB|‎，则‎|AM|=2|BN|‎，‎ 点B为AP的中点、连接OB，‎ 则‎|OB|=‎1‎‎2‎|AF|‎，‎ ‎∴ ‎|OB|=|BF|‎，点B的横坐标为‎1‎，‎ 故点B的坐标为‎(1,2‎2‎)∴ k=‎2‎2‎-0‎‎1-(-2)‎=‎‎2‎‎2‎‎3‎，‎ 故选D.‎ ‎12.B ‎【分析】‎ 解：如图所示．‎ 故选B 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13.‎‎3‎ ‎【分析】‎ 设等比数列的公比为q，则由S‎6‎＝‎4‎S‎3‎知q≠1‎，‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎∴ S‎6‎‎=‎1-‎q‎6‎‎1-q=‎‎4(1-q‎3‎)‎‎1-q．‎ ‎∴ q‎3‎＝‎3‎．∴ a‎1‎q‎3‎＝‎3‎．‎ ‎14.‎‎6‎ ‎【分析】‎ 解：‎(xy-yx‎)‎‎4‎=x‎2‎y‎2‎(x-‎y‎)‎‎4‎，‎ 只需求‎(x-‎y‎)‎‎4‎展开式中的含xy项的系数．‎ ‎∵ ‎(x-y)‎‎4‎的展开式的通项为Tr+1‎‎=‎C‎4‎r‎(x)‎‎4-r‎(-y)‎r，‎ 令‎4-r=2,‎r=2,‎‎ ‎得r=2‎，‎ ‎∴ 展开式中x‎3‎y‎3‎的系数为C‎4‎‎2‎‎=6‎.‎ 故答案为：‎6‎.‎ ‎15.‎‎25‎‎4‎ ‎【分析】‎ 解：由题意知，点A在圆上，切线斜率为‎-1‎KOA‎=‎-1‎‎2‎‎1‎=-‎‎1‎‎2‎，‎ 用点斜式可直接求出切线方程为：y-2=-‎1‎‎2‎(x-1)‎，‎ 即x+2y-5=0‎，从而求出在两坐标轴上的截距分别是‎5‎和‎5‎‎2‎，‎ 所以，所求面积为‎1‎‎2‎‎×‎5‎‎2‎×5=‎‎25‎‎4‎．‎ 故答案为：‎25‎‎4‎.‎ ‎16.‎‎8π ‎【分析】‎ 解：设球半径为R，圆C的半径为r，‎ 由πr‎2‎=‎7π‎4‎，得r‎2‎=‎‎7‎‎4‎‎．‎ 因为OC=‎2‎‎2‎⋅R‎2‎=‎2‎‎4‎R．‎ 由R‎2‎‎=(‎2‎‎4‎R‎)‎‎2‎+r‎2‎=‎1‎‎8‎R‎2‎+‎‎7‎‎4‎得R‎2‎‎=2‎ 故球O的表面积等于‎8π 故答案为：‎8π，‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17.解：设‎{an}‎的公差为d，则‎(a‎1‎+2d)(a‎1‎+6d)=-16‎a‎1‎‎+3d+a‎1‎+5d=0‎，‎ 即a‎1‎‎2‎‎+8da‎1‎+12d‎2‎=-16‎a‎1‎‎=-4d，‎ 解得a‎1‎‎=-8‎d=2‎或a‎1‎‎=8‎d=-2‎，‎ 因此Sn‎=-8n+n(n-1)=n(n-9)‎，或Sn‎=8n-n(n-1)=-n(n-9)‎．‎ ‎【分析】‎ 解：设‎{an}‎的公差为d，则‎(a‎1‎+2d)(a‎1‎+6d)=-16‎a‎1‎‎+3d+a‎1‎+5d=0‎，‎ 即a‎1‎‎2‎‎+8da‎1‎+12d‎2‎=-16‎a‎1‎‎=-4d，‎ 解得a‎1‎‎=-8‎d=2‎或a‎1‎‎=8‎d=-2‎，‎ 因此Sn‎=-8n+n(n-1)=n(n-9)‎，或Sn‎=8n-n(n-1)=-n(n-9)‎．‎ ‎18.由cos(A-C)+cosB=‎‎3‎‎2‎及B=π-(A+C)‎得 cos(A-C)-cos(A+C)=‎‎3‎‎2‎‎，‎ ‎∴ cosAcosC+sinAsinC-(cosAcosC-sinAsinC)=‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∴ sinAsinC=‎‎3‎‎4‎．‎ 又由b‎2‎‎=ac及正弦定理得sin‎2‎B=sinAsinC，‎ 故sin‎2‎B=‎‎3‎‎4‎，‎ ‎∴ sinB=‎‎3‎‎2‎或sinB=-‎‎3‎‎2‎（舍去），‎ 于是B=‎π‎3‎或B=‎‎2π‎3‎．‎ 又由b‎2‎‎=ac 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 知b≤a或b≤c 所以B=‎π‎3‎．‎ ‎【分析】‎ 由cos(A-C)+cosB=‎‎3‎‎2‎及B=π-(A+C)‎得 cos(A-C)-cos(A+C)=‎‎3‎‎2‎‎，‎ ‎∴ cosAcosC+sinAsinC-(cosAcosC-sinAsinC)=‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∴ sinAsinC=‎‎3‎‎4‎．‎ 又由b‎2‎‎=ac及正弦定理得sin‎2‎B=sinAsinC，‎ 故sin‎2‎B=‎‎3‎‎4‎，‎ ‎∴ sinB=‎‎3‎‎2‎或sinB=-‎‎3‎‎2‎（舍去），‎ 于是B=‎π‎3‎或B=‎‎2π‎3‎．‎ 又由b‎2‎‎=ac 知b≤a或b≤c 所以B=‎π‎3‎．‎ ‎19.解：‎(1)‎取BC中点F,连接EF，则EF//B‎1‎B，‎ EF=‎1‎‎2‎B‎1‎B‎，从而EF//DA且EF=DA.‎ 连接AF,则ADEF为平行四边形，‎ 从而AF//DE.‎ 又DE⊥‎平面BCC‎1‎，‎ 故AF⊥‎平面BCC‎1‎，‎ 从而AF⊥BC，‎ 即AF为BC的垂直平分线，‎ 所以AB=AC.‎ ‎(2)‎作AG⊥BD，垂足为G，连接CG，‎ 由三垂线定理知CG⊥BD，‎ 故‎∠AGC为二面角A-BD-C的平面角，‎ 由题设知，‎∠AGC=‎‎60‎‎∘‎，‎ 设AC=2‎，则AG=‎‎2‎‎3‎.‎ 又AB=2，BC=2‎‎2‎，‎ 故AF=‎‎2‎，‎ 由AB⋅AD=AG⋅BD得，‎ ‎2AD=‎2‎‎3‎⋅‎AD‎2‎+‎‎2‎‎2‎‎，‎ 解得AD=‎‎2‎.‎ 故AD=AF，‎ 又AD⊥AF,‎ 所以四边形ADEF为正方形.‎ 因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，‎ 故BC⊥‎平面DEF,‎ 因此平面BCD⊥‎平面DEF,‎ 连接AE，DF，设AE∩DF=H，则 EH⊥DF，EH⊥‎平面BCD.‎ 连接CH，则 ‎∠ECH为B‎1‎C与平面BCD所成的角.‎ 因为四边形ADEF为正方形，AD=‎‎2‎，‎ 故EH=1‎，‎ 又EC=‎1‎‎2‎B‎1‎C=2‎，‎ 所以‎∠ECH=‎‎30‎‎∘‎，‎ 即B‎1‎C与平面BCD所成的角为‎30‎‎∘‎.‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎【分析】‎ 解：‎(1)‎取BC中点F,连接EF，则EF//B‎1‎B，‎ EF=‎1‎‎2‎B‎1‎B‎，从而EF//DA且EF=DA.‎ 连接AF,则ADEF为平行四边形，‎ 从而AF//DE.‎ 又DE⊥‎平面BCC‎1‎，‎ 故AF⊥‎平面BCC‎1‎，‎ 从而AF⊥BC，‎ 即AF为BC的垂直平分线，‎ 所以AB=AC.‎ ‎(2)‎作AG⊥BD，垂足为G，连接CG，‎ 由三垂线定理知CG⊥BD，‎ 故‎∠AGC为二面角A-BD-C的平面角，‎ 由题设知，‎∠AGC=‎‎60‎‎∘‎，‎ 设AC=2‎，则AG=‎‎2‎‎3‎.‎ 又AB=2，BC=2‎‎2‎，‎ 故AF=‎‎2‎，‎ 由AB⋅AD=AG⋅BD得，‎ ‎2AD=‎2‎‎3‎⋅‎AD‎2‎+‎‎2‎‎2‎‎，‎ 解得AD=‎‎2‎.‎ 故AD=AF，‎ 又AD⊥AF,‎ 所以四边形ADEF为正方形.‎ 因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，‎ 故BC⊥‎平面DEF,‎ 因此平面BCD⊥‎平面DEF,‎ 连接AE，DF，设AE∩DF=H，则 EH⊥DF，EH⊥‎平面BCD.‎ 连接CH，则 ‎∠ECH为B‎1‎C与平面BCD所成的角.‎ 因为四边形ADEF为正方形，AD=‎‎2‎，‎ 故EH=1‎，‎ 又EC=‎1‎‎2‎B‎1‎C=2‎，‎ 所以‎∠ECH=‎‎30‎‎∘‎，‎ 即B‎1‎C与平面BCD所成的角为‎30‎‎∘‎.‎ ‎20.解：（1）由于甲、乙两组各有‎10‎名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取‎4‎名工人进行技术考核，则从每组各抽取‎2‎名工人．‎ ‎（2）记A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有‎1‎名女工人，则P(A)=C‎4‎‎1‎C‎6‎‎1‎C‎10‎‎2‎=‎‎8‎‎15‎ ‎（3）Ai表示事件：从甲组抽取的‎2‎名工人中恰有i名男工人，i=0‎，‎1‎，‎‎2‎ B表示事件：从乙组抽取的‎2‎名工人中恰有j名男工人，j=0‎，‎1‎，‎‎2‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 B表示事件：抽取的‎4‎名工人中恰有‎2‎名男工人．‎ Ai与Bj独立，i，j=0‎，‎1‎，‎2‎，且B=A‎0‎⋅B‎2‎+A‎1‎⋅B‎1‎+A‎2‎⋅‎B‎0‎ 故P(B)=P(A‎0‎⋅B‎2‎+A‎1‎⋅B‎1‎+A‎2‎⋅B‎0‎)=P(A‎0‎)⋅P(B‎2‎)+P(A‎1‎)⋅P(B‎1‎)+P(A‎2‎)⋅P(B‎0‎)‎ ‎=C‎6‎‎2‎C‎6‎‎2‎‎+C‎6‎‎1‎C‎4‎‎1‎C‎6‎‎1‎C‎4‎‎1‎+‎C‎4‎‎2‎C‎4‎‎2‎c‎10‎‎2‎C‎10‎‎2‎=‎‎31‎‎75‎ ‎【分析】‎ 解：（1）由于甲、乙两组各有‎10‎名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取‎4‎名工人进行技术考核，则从每组各抽取‎2‎名工人．‎ ‎（2）记A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有‎1‎名女工人，则P(A)=C‎4‎‎1‎C‎6‎‎1‎C‎10‎‎2‎=‎‎8‎‎15‎ ‎（3）Ai表示事件：从甲组抽取的‎2‎名工人中恰有i名男工人，i=0‎，‎1‎，‎‎2‎ B表示事件：从乙组抽取的‎2‎名工人中恰有j名男工人，j=0‎，‎1‎，‎‎2‎ B表示事件：抽取的‎4‎名工人中恰有‎2‎名男工人．‎ Ai与Bj独立，i，j=0‎，‎1‎，‎2‎，且B=A‎0‎⋅B‎2‎+A‎1‎⋅B‎1‎+A‎2‎⋅‎B‎0‎ 故P(B)=P(A‎0‎⋅B‎2‎+A‎1‎⋅B‎1‎+A‎2‎⋅B‎0‎)=P(A‎0‎)⋅P(B‎2‎)+P(A‎1‎)⋅P(B‎1‎)+P(A‎2‎)⋅P(B‎0‎)‎ ‎=C‎6‎‎2‎C‎6‎‎2‎‎+C‎6‎‎1‎C‎4‎‎1‎C‎6‎‎1‎C‎4‎‎1‎+‎C‎4‎‎2‎C‎4‎‎2‎c‎10‎‎2‎C‎10‎‎2‎=‎‎31‎‎75‎ ‎21.解：‎‎(1)f‎'‎(x)=x‎2‎-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a)‎ 由a>1‎知，当x<2‎时，f‎'‎‎(x)>0‎，‎ 故f(x)‎在区间‎(-∞, 2)‎是增函数；‎ 当‎22a时，f‎'‎‎(x)>0‎，‎ 故f(x)‎在区间‎(2a, +∞)‎是增函数．‎ 综上，当a>1‎时，f(x)‎在区间‎(-∞, 2)‎和‎(2a, +∞)‎是增函数，‎ 在区间‎(2, 2a)‎是减函数．‎ ‎(2)‎由‎(1)‎知，当x≥0‎时，f(x)‎在x=2a或x=0‎处取得最小值．‎ f(2a)=‎1‎‎3‎(2a‎)‎‎3‎-(1+a)(2a‎)‎‎2‎+4a⋅2a+24a=-‎4‎‎3‎a‎3‎+4a‎2‎+24a‎，‎f(0)=24a 由假设知a>1‎f(2a)>0‎f(0)>0‎ 即a>1‎‎-‎4‎‎3‎a(a+3)(a-6)>0‎‎24a>0.‎解得‎11‎知，当x<2‎时，f‎'‎‎(x)>0‎，‎ 故f(x)‎在区间‎(-∞, 2)‎是增函数；‎ 当‎22a时，f‎'‎‎(x)>0‎，‎ 故f(x)‎在区间‎(2a, +∞)‎是增函数．‎ 综上，当a>1‎时，f(x)‎在区间‎(-∞, 2)‎和‎(2a, +∞)‎是增函数，‎ 在区间‎(2, 2a)‎是减函数．‎ ‎(2)‎由‎(1)‎知，当x≥0‎时，f(x)‎在x=2a或x=0‎处取得最小值．‎ f(2a)=‎1‎‎3‎(2a‎)‎‎3‎-(1+a)(2a‎)‎‎2‎+4a⋅2a+24a=-‎4‎‎3‎a‎3‎+4a‎2‎+24a‎，‎f(0)=24a 由假设知a>1‎f(2a)>0‎f(0)>0‎ 即a>1‎‎-‎4‎‎3‎a(a+3)(a-6)>0‎‎24a>0.‎解得‎10‎．‎ 由韦达定理有：y‎1‎‎+y‎2‎=-‎‎4m‎2m‎2‎+3‎，y‎1‎y‎2‎‎=-‎‎4‎‎2m‎2‎+3‎，①‎ 假设存在点P，使OP‎→‎‎=OA‎→‎+‎OB‎→‎成立，则其充要条件为：‎ 点P的坐标为‎(x‎1‎+x‎2‎, y‎1‎+y‎2‎)‎，‎ 点P在椭圆上，即‎(x‎1‎+x‎2‎)‎‎2‎‎3‎‎+‎(y‎1‎+y‎2‎)‎‎2‎‎2‎=1‎．‎ 整理得‎2x‎1‎‎2‎+3y‎1‎‎2‎+2x‎2‎‎2‎+3y‎2‎‎2‎+4x‎1‎x‎2‎+6‎y‎1‎y‎2‎＝‎6‎．‎ 又A、B在椭圆上，即‎2x‎1‎‎2‎+3‎y‎1‎‎2‎＝‎6‎，‎2x‎2‎‎2‎+3‎y‎2‎‎2‎＝‎6‎、‎ 故‎2x‎1‎x‎2‎+3y‎1‎y‎2‎+3‎＝‎0‎②‎ 将x‎1‎x‎2‎＝‎(my‎1‎+1)(my‎2‎+1)‎＝m‎2‎y‎1‎y‎2‎‎+m(y‎1‎+y‎2‎)+1‎及①代入②解得m‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎ ‎∴ y‎1‎‎+y‎2‎=‎2‎‎2‎-‎‎2‎‎2‎，‎ x‎1‎‎+x‎2‎=-‎4‎m‎2‎‎2m‎2‎+3‎+2=‎‎3‎‎2‎‎，即P(‎3‎‎2‎,±‎2‎‎2‎)‎ 当m=‎2‎‎2‎,P(‎3‎‎2‎,-‎2‎‎2‎),l:x=‎2‎‎2‎y+1‎；‎ 当m=-‎2‎‎2‎,P(‎3‎‎2‎,‎2‎‎2‎),l:x=-‎2‎‎2‎y+1‎ ‎【分析】‎ ‎（I）设F(c, 0)‎，直线l:x-y-c＝‎0‎，‎ 由坐标原点O到l的距离为‎2‎‎2‎ 则‎|0-0-c|‎‎2‎‎=‎‎2‎‎2‎，解得c＝‎‎1‎ 又e=ca=‎‎3‎‎3‎，∴ ‎a=‎3‎,b=‎‎2‎ ‎(II)‎由‎(I)‎知椭圆的方程为C:x‎2‎‎3‎+y‎2‎‎2‎=1‎ 设A(x‎1‎, y‎1‎)‎、‎B(x‎2‎, y‎2‎)‎ 由题意知l的斜率为一定不为‎0‎，故不妨设l:x＝‎my+1‎ 代入椭圆的方程中整理得‎(2m‎2‎+3)y‎2‎+4my-4‎＝‎0‎，显然‎△>0‎．‎ 由韦达定理有：y‎1‎‎+y‎2‎=-‎‎4m‎2m‎2‎+3‎，y‎1‎y‎2‎‎=-‎‎4‎‎2m‎2‎+3‎，①‎ 假设存在点P，使OP‎→‎‎=OA‎→‎+‎OB‎→‎成立，则其充要条件为：‎ 点P的坐标为‎(x‎1‎+x‎2‎, y‎1‎+y‎2‎)‎，‎ 点P在椭圆上，即‎(x‎1‎+x‎2‎)‎‎2‎‎3‎‎+‎(y‎1‎+y‎2‎)‎‎2‎‎2‎=1‎．‎ 整理得‎2x‎1‎‎2‎+3y‎1‎‎2‎+2x‎2‎‎2‎+3y‎2‎‎2‎+4x‎1‎x‎2‎+6‎y‎1‎y‎2‎＝‎6‎．‎ 又A、B在椭圆上，即‎2x‎1‎‎2‎+3‎y‎1‎‎2‎＝‎6‎，‎2x‎2‎‎2‎+3‎y‎2‎‎2‎＝‎6‎、‎ 故‎2x‎1‎x‎2‎+3y‎1‎y‎2‎+3‎＝‎0‎②‎ 将x‎1‎x‎2‎＝‎(my‎1‎+1)(my‎2‎+1)‎＝m‎2‎y‎1‎y‎2‎‎+m(y‎1‎+y‎2‎)+1‎及①代入②解得m‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎ ‎∴ y‎1‎‎+y‎2‎=‎2‎‎2‎-‎‎2‎‎2‎，‎ x‎1‎‎+x‎2‎=-‎4‎m‎2‎‎2m‎2‎+3‎+2=‎‎3‎‎2‎‎，即P(‎3‎‎2‎,±‎2‎‎2‎)‎ 当m=‎2‎‎2‎,P(‎3‎‎2‎,-‎2‎‎2‎),l:x=‎2‎‎2‎y+1‎；‎ 当m=-‎2‎‎2‎,P(‎3‎‎2‎,‎2‎‎2‎),l:x=-‎2‎‎2‎y+1‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页