高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章导数及其应用1.7.2 定积分在物理中的应用 8页

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2021-06-10 发布

高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章导数及其应用1.7.2 定积分在物理中的应用

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1.7.2 定积分在物理中的应用明目标、知重点 1．能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题． 2．通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．变速直线运动做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v＝ v(t)(v(t)≥0)在时间区间 a，b]上的定积分，即ʃb av(t)dt. 变力做功如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F(x)相同的方向从 x＝a 移动到 x＝b(a0，得 t∈(0,1)∪(3,4)．这说明 t∈(1,3)时质点运动方向与 t∈(0,1)∪(3,4)时运动方向相反．故 s＝ʃ4 0|t2－4t＋3|dt ＝ʃ1 0(t2－4t＋3)dt＋ʃ3 1(4t－t2－3)dt＋ʃ4 3(t2－4t＋3)dt＝4. 即在时刻 t＝4 时，该质点运动的路程为 4 m. 探究点二变力做功问题思考恒力 F 沿与 F 相同的方向移动了 s，力 F 做的功为 W＝Fs，那么变力做功问题怎样解决呢？答与求曲边梯形的面积一样，物体在变力 F(x)作用下运动，沿与 F 相同的方向从 x＝a 到 x ＝b(a2 (单位：N)的作用下沿与 F(x)相同的方向，从 x ＝0 处运动到 x＝4(单位：m)处，则力 F(x)做的功为( ) A．44 J B．46 J C．48 J D．50 J 答案 B 解析 W＝ʃ4 0F(x)dx＝ʃ2 010dx＋ʃ4 2(3x＋4)dx ＝10x|2 0＋(3 2 x2＋4x)|4 2＝46(J)． 6．做直线运动的质点在任意位置 x 处，所受的力 F(x)＝1＋ex，则质点沿着与 F(x)相同的方向，从点 x1＝0 处运动到点 x2＝1 处，力 F(x)所做的功是( ) A．1＋e B．e C.1 e D．e－1 答案 B 解析 W＝ʃ1 0F(x)dx＝ʃ1 0(1＋ex)dx＝(x＋ex)|1 0 ＝(1＋e)－1＝e. 二、能力提升 7．若 1 N 的力能使弹簧伸长 2 cm，则使弹簧伸长 12 cm 时克服弹力所做的功为________．答案 0.36 J 解析弹簧的伸长与所受到的拉力成正比，设 F＝kx，求得 k＝50，∴F(x)＝50x. ∴W＝ʃ0.12 0 50xdx＝25x2|0.12 0 ＝0.36 (J)． 8．汽车以每小时 32 km 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度 a＝－1.8 m/s2 刹车，则从开始刹车到停车，汽车所走的路程约为________．(保留小数点后两位) 答案 21.95 m 解析 t＝0 时，v0＝32 km/h＝32×1 000 3 600 m/s＝80 9 m/s.刹车后减速行驶，v(t)＝v0＋at＝80 9 － 1.8 t．停止时，v(t)＝0，则80 9 －1.8 t＝0，得 t＝400 81 s，所以汽车所走的路程 s＝ 400 8 0 v(t)dt＝ 80 9 t－1 2 t2×1.8 | 400 8 0 ≈21.95(m)． 9．把一个带＋q 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点处，形成一个电场，已知在该电场中，距离坐标原点为 r 处的单位电荷受到的电场力由公式 F＝kq r2(其中 k 为常数)确定．在该电场中，一个单位正电荷在电场力的作用下，沿着 r 轴的方向从 r＝a 处移动到 r＝b(a0)．当 x＝0 时，t＝0；当 x＝a 时，t＝(a b )1 3 . 所以阻力所做的功为 W 阻＝ʃa 0F 阻 dx＝ 1 3( ) 0 a b kv2·vdt ＝ 1 3( ) 0 a b 9kb2t4·3bt2dt＝ 1 3( ) 0 a b 27kb3t6dt ＝27 7 kb3t7| 1 3( ) 0 a b ＝27 7 k 2 3b · 7 3a . 故物体由 x＝0 运动到 x＝a 时，阻力所做的功为 27 7 k 2 3b · 7 3a . 12．物体 A 以速度 vA＝3t2＋1(米/秒)在一直线上运动，同时物体 B 也以速度 vB＝10t(米/秒) 在同一直线上与物体 A 同方向运动，问多长时间物体 A 比 B 多运动 5 米，此时，物体 A，B 运动的距离各是多少？解依题意知物体 A，B 均作变速直线运动，所以可借助变速直线运动的路程公式求解．设 a 秒后物体 A 比 B 多运动 5 米，则 A 从开始到 a 秒末所走的路程为 sA＝ʃa 0vAdt＝ʃa 0(3t2＋1)dt＝a3＋a； B 从开始到 a 秒末所走的路程为 sB＝ʃa 0vBdt＝ʃa 010tdt＝5a2. 由题意得 sA＝sB＋5，即 a3＋a＝5a2＋5，得 a＝5. 此时 sA＝53＋5＝130(米)，sB＝5×52＝125(米)．故 5 秒后物体 A 比 B 多运动 5 米，此时，物体 A，B 运动的距离分别是 130 米和 125 米．三、探究与拓展 13．有一动点 P 沿 x 轴运动，在时间 t 时的速度为 v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与 x 轴正方向一致)．求 (1)P 从原点出发，当 t＝6 时，求点 P 离开原点的路程和位移； (2)P 从原点出发，经过时间 t 后又返回原点时的 t 值．解 (1)由 v(t)＝8t－2t2≥0 得 0≤t≤4，即当 0≤t≤4 时，P 点向 x 轴正方向运动，当 t>4 时，P 点向 x 轴负方向运动．故 t＝6 时，点 P 离开原点的路程 s1＝ʃ4 0(8t－2t2)dt－ʃ6 4(8t－2t2)dt ＝(4t2－2 3 t3)|4 0－(4t2－2 3 t3)|6 4＝128 3 . 当 t＝6 时，点 P 的位移为ʃ6 0(8t－2t2)dt ＝(4t2－2 3 t3)|6 0＝0. (2)依题意知ʃt 0(8t－2t2)dt＝0，即 4t2－2 3 t3＝0，解得 t＝0 或 t＝6， t＝0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况，t＝6 是所求的值．所以，t＝6.

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