【数学】2019届一轮复习北师大版 集合与常用逻辑用语 学案 11页

第1节　集　合 最新考纲　1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；‎ ‎3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.‎ 知 识 梳 理 ‎1.元素与集合 ‎(1)集合中元素的三个特性 确定性、互异性、无序性.‎ ‎(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.‎ ‎(3)集合的三种表示方法 列举法、描述法、图示法.‎ ‎2.集合间的基本关系 ‎ 表示 关系 文字语言 符号语言 集合间的基本关系 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 A中任意一个元素均为B中的元素 A⊆B 真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 AB 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ‎3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形表示 集合表示 ‎{x|x∈A，或x∈B}‎ ‎{x|x∈A，且x∈B}‎ ‎{x|x∈U，且x∉A}‎ ‎4.集合的运算性质 ‎(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.‎ ‎(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.‎ ‎(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.‎ ‎2.子集的传递性 A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.‎ ‎3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.‎ ‎4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(　　)‎ ‎(2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.(　　)‎ ‎(3)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.(　　)‎ ‎(4)含有n个元素的集合有2n个真子集.(　　)‎ 解析　(1)错误.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是抛物线y＝x2＋1上的点集.‎ ‎(2)错误.当x＝1时，不满足互异性.‎ ‎(3)正确.(A∩B)⊆A⊆(A∪B).‎ ‎(4)错误.含有n个元素的集合有2n－1个真子集.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2.(教材练习改编)若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，则下列结论正确的是(　　)‎ A.{a}⊆A B.a⊆A C.{a}∈A D.a∉A 解析　因为a＝2不是自然数，而集合A是不大于的自然数构成的集合，所以a∉A.‎ 答案　D ‎3.(2017·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则(　　)‎ A.A∩B＝ B.A∩B＝∅‎ C.A∪B＝ D.A∪B＝R 解析　因为B＝{x|3－2x>0}＝，A＝{x|x<2}，所以A∩B＝，A∪B＝{x|x<2}.‎ 答案　A ‎4.(2018·河北“五个一”名校联盟质检)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，7}，B＝{x|x＝log2(a＋1)，a∈A}，则(∁UA)∩(∁UB)＝(　　)‎ A.{1，3} B.{5，6} C.{4，5，6} D.{4，5，6，7}‎ 解析　A＝{1，3，7}，B＝{x|x＝log2(a＋1)，a∈A}＝{1，2，3}，又U＝{1，2，3，4，5，6，7}，∴∁UA＝{2，4，5，6}，∁UB＝{4，5，6，7}，∴(∁UA)∩(∁UB)＝{4，5，6}.‎ 答案　C ‎5.(2017·全国Ⅲ卷改编)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________.‎ 解析　集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线y＝x，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素.‎ 答案　2‎ 考点一　集合的基本概念 ‎【例1】 (1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)‎ A.1 B.3 C.5 D.9‎ ‎(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)‎ A. B. C.0 D.0或 解析　(1)当x＝0，y＝0，1，2时，x－y＝0，－1，－2；‎ 当x＝1，y＝0，1，2时，x－y＝1，0，－1；‎ 当x＝2，y＝0，1，2时，x－y＝2，1，0.‎ 根据集合中元素的互异性可知，B的元素为－2，－1，0，1，2，共5个.‎ ‎(2)若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根.‎ 当a＝0时，x＝，符合题意；‎ 当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝，‎ 所以a的取值为0或.‎ 答案　(1)C　(2)D 规律方法　1.第(1)题易忽视集合中元素的互异性误选D.第(2)题集合A中只有一个元素，要分a＝0与a≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a＝0的情形.‎ ‎2.用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合.‎ ‎【训练1】 (1)若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是(　　)‎ A.1 B.3 C.7 D.31‎ ‎(2)设集合A＝{x|(x－a)2<1}，且2∈A，3∉A, 则实数a的取值范围为________.‎ 解析　(1)具有伙伴关系的元素组是－1，，2，所以具有伙伴关系的集合有3个 {－1}，，.‎ ‎(2)由题意得解得 所以17}，其它条件不变，则m的取值范围是________.‎ 解析　(1)因为M＝{－1，0，1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M，且a≠b}，所以N＝‎ ‎{－1，0}，于是NM.‎ ‎(2)当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.‎ 当B≠∅时，若B⊆A，‎ 则或 解之得m≥6.‎ 综上可知，实数m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞).‎ 答案　(1)B　(2)(－∞，2]∪[6，＋∞)‎ 考点三　集合的基本运算 ‎【例3】 (1)(2018·安徽江南十校联考)设集合A＝{x∈ ||x|≤2}，B＝，则A∩B＝(　　)‎ A.{1，2} B.{－1，2}‎ C.{－2，－1，2} D.{－2，－1，0，2}‎ ‎(2)(2018·河南百校联盟联考)若集合A＝{x|y＝lg(3x－x2)}，B＝，则A∩(∁RB)等于(　　)‎ A.(0，2] B.(2，3) C.(3，5) D.(－2，－1)‎ 解析　(1)易知A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝，所以A∩B＝{－2，－1，2}.‎ ‎(2)由3x－x2>0，得01} D.A∩B＝∅‎ 解析　A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}＝{x|x<0}，∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}.‎ 答案　A ‎5.(2018·宝鸡质检)已知集合A＝{x|2x2－7x＋3<0}，B＝{x∈ |lg <1}，则阴影部分所表示的集合的元素个数为(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 解析　∵A＝{x|2x2－7x＋3<0}＝，B＝{x∈ |lg <1}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，∴阴影部分表示的集合是A∩B＝{1，2}，有2个元素.‎ 答案　B ‎6.(2018·江西百校联盟联考)已知集合A＝{x|－5＋21x－4x2<0}，B＝{x∈ |‎ ‎－30}，则(∁RS)∩T＝(　　)‎ A.[2，3] B.(－∞，－2)∪[3，＋∞)‎ C.(2，3) D.(0，＋∞)‎ 解析　易知S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，∴∁RS＝(2，3)，‎ 因此(∁RS)∩T＝(2，3).‎ 答案　C ‎8.设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是(　　)‎ A.0 B.1 C.2 D.3 ‎ 解析　由得 ‎∴A∩B＝{(2，－1)}.‎ 由M⊆(A∩B)，知M＝∅或M＝{(2，－1)}.‎ 答案　C 二、填空题 ‎9.(2017·江苏卷)已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为________.‎ 解析　由A∩B＝{1}知，1∈B，又a2＋3≥3，则a＝1.‎ 答案　1‎ ‎10.集合A＝{x|x<0}，B＝{x|y＝lg[x(x＋1)]}，若A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，则A－B＝________.‎ 解析　由x(x＋1)>0，得x<－1或x>0，‎ ‎∴B＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，‎ ‎∴A－B＝[－1，0).‎ 答案　[－1，0)‎ ‎11.(2018·上饶检测)已知集合A＝{x|x2－2 018x－2 019≤0}，B＝{x|x2 019，则m>2 018.‎ 答案　(2 018，＋∞)‎ ‎12.(2017·山东卷改编)设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，全集U＝R，则∁U(A∩B)＝________.‎ 解析　∵4－x2≥0，∴－2≤x≤2，∴A＝[－2，2].‎ ‎∵1－x＞0，∴x＜1，∴B＝(－∞，1)，‎ 因此A∩B＝[－2，1)，‎ 于是∁U(A∩B)＝(－∞，－2)∪[1，＋∞).‎ 答案　(－∞，－2)∪[1，＋∞)‎ 能力提升题组 ‎(建议用时 10分钟)‎ ‎13.(2018·日照调研)集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分所表示的集合是(　　)‎ A.{x|x≥1}　　　　 B.{x|1≤x<2}‎ C.{x|0