【数学】2018届一轮复习北师大版平面几何与解三角形教案 4页

透视全国高考　揭秘命题规律(二)‎ ‎——‎ 平面几何与解三角形(方程思想的应用)‎ ‎ (2015·高考全国卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD的面积是△ADC面积的2倍．‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．‎ ‎【解】　(1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，‎ S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.‎ 因为S△ABD＝2S△ADC ，∠BAD＝∠CAD，‎ 所以AB＝‎2AC.‎ 由正弦定理可得＝＝.‎ ‎(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝.‎ 在△ABD和△ADC中，由余弦定理知 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，‎ AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.‎ 故AB2＋‎2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6.‎ 由(1)知AB＝‎2AC，所以AC＝1.‎ 第一步：作出示意图、并适当标注已知元素．‎ 第二步：将条件和结论相结合进行对照，视其关系选择相关定理列式．(要特别关注两三角形公共边(角)或邻角(邻补角)的关系，列方程(组)求解)‎ 第三步：求解过程中应注意三角形所固有的性质(例如：内角和定理，边角大小对应关系，两边之和(差)与第三边的关系等)．‎ 附：三角形中四个可引用定理公式 ‎1．射影定理：acos B＋bcos A＝c，acos C＋ccosA＝b，bcos C＋ccos B＝a.‎ ‎2．内角平分线定理：△ABC内角A的平分线交BC于D，则＝.‎ ‎3．中线长公式：△ABC三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则BC边上的中线长Ma ‎＝ .‎ ‎4．海伦面积公式：△ABC三内角A、B、C的对边分别为a，b，c，则S△＝.‎ 三角函数的性质与解三角形 ‎ 设f(x)＝sin xcos x－cos2.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．‎ ‎【解】　(1)由题意知f(x)＝－ ‎＝－＝sin 2x－.‎ 由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；‎ 由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)；‎ 单调递减区间是(k∈Z)．‎ ‎(2)由f()＝sin A－＝0，得sin A＝，‎ 由题意知A为锐角，所以cos A＝.‎ 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ 可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，‎ 即bc≤2＋，且当b＝c时等号成立．因此bcsin A≤.所以△ABC面积的最大值为.‎ 第一步：标准化 已知解析式f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B.‎ 第二步：根据△ABC内角解三角函数关系，求出相应的角．‎ 第三步：根据解三角形的原理和方法求解三角形．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　三角恒等变换与解三角形 满分展示 ‎ (满分12分)(2016·高考全国卷乙)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.‎ ‎(1)求C；‎ ‎(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎[联想破译]‎ 联想因果：△ABC的内角角C，面积、周长．‎ 联想路线：(1)由正弦定理进行边角互化求角C.‎ ‎(2)由三角形的面积公式得ab，再由余弦定理联立方程求出△ABC的周长．‎ ‎[标准答案] ‎ 第(1)问得分点说明：‎ 利用正弦定理转化边为角得1分；‎ 利用三角恒等变换化简得2分；‎ 求出C的余弦值得2分；‎ 求出角C的弧度数得1分 ‎(1)由已知及正弦定理得，‎ (1分)‎ (3分)‎ (5分)‎ (6分)‎ ‎(2)由已知，absin C＝.(7分)‎ 又C＝，所以(8分)‎ 由已知及余弦定理得，‎ (9分)‎ 故a2＋b2＝13，从而 ‎(11分)‎ 所以(12分) ‎ 第(2)问得分点说明：‎ 列出面积关系式得1分；‎ 求出ab得1分；‎ 利用余弦定理列出关系式，得1分；‎ 求出(a＋b)2得2分；‎ 求出三角形的周长得1分 ‎[解题程序]‎ 第一步：利用正弦定理将已知的边角关系式转化为角的关系式；‎ 第二步：利用三角恒等变换化简关系式；‎ 第三步：求C的余弦值；‎ 第四步：求C的值；‎ 第五步：利用三角形的面积为，求出ab的值；‎ 第六步：根据c＝，利用余弦定理列出a，b的关系式；‎ 第七步：求(a＋b)2的值；‎ 第八步：求周长．‎ ‎[满分心得]‎ ‎(1)写全得分步骤 对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全，如第(1)问，利用正弦定理转化为角的关系就得分，第(2)问，利用面积公式和余弦定理列出关系式就各得1分．‎ ‎(2)写明得分关键 对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中，如果没有cos C＝，直接给出C＝，则不给分；第(2)问直接给出ab的值不给分，只有通过面积公式求出ab才得分，直接给出a＋b不得分，只有通过余弦定理算出才给分．‎