【数学】2018届一轮复习北师大版离散型随机变量的分布列、均值与方差学案 19页

第6讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 ‎)‎ ‎1．离散型随机变量的分布列 ‎(1)定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn 称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．‎ ‎(2)性质 ‎①pi≥0(i＝1，2，…，n)；‎ ‎②pi＝1．‎ ‎2．离散型随机变量X的均值与方差 均值(数学期望)‎ 方差 计算公式 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn D(X)＝_(xi－E(X))2pi 作用 反映了离散型随机变量取值的平均水平 刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度 标准差 方差的算术平方根为随机变量X的标准差 ‎3.均值与方差的性质 ‎(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b为常数)．‎ ‎(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．‎ ‎1．辨明三个易误点 ‎(1)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．‎ ‎(2)对于分布列易忽视其性质p1＋p2＋…＋pn＝1及pi≥0(i＝1，2，…，n)，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．‎ ‎(3)均值E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值平均状态．‎ ‎2．求离散型随机变量均值、方差的基本方法 ‎(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；‎ ‎(2)已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差和标准差，可直接用X的均值、方差的性质求解；‎ ‎(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．‎ ‎1．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”事件的是(　　)‎ A．X＝4　　　　　　　　　　 B．X＝5‎ C．X＝6 D．X≤5‎ ‎　C　 事件“放回5个红球”表示前5次摸到黑球，且第6次摸到红球，故X＝6.‎ ‎2. 设随机变量X的分布列如下表所示，则p4的值是(　　)‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P p4‎ A.1　　 B． C. D． ‎　D　 由分布列的性质，得＋＋＋p4＝1，所以p4＝.‎ ‎3．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝2，4，6，8，10)，则D(X)等于(　　)‎ A．5　　 B．8‎ C．10 D．16‎ ‎　B　 因为E(X)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6，‎ 所以D(X)＝＝8.‎ ‎4．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，5，则P＝________．‎ ‎ P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.‎ ‎ ‎5．一个人将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对个数记为ξ，则ξ的期望的值为________．‎ ‎ 将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有A种不同放法，放对的个数ξ可取的值有0，1，2，4，其中P(ξ＝0)＝＝，‎ P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1.‎ ‎ 1‎ ‎　离散型随机变量的分布列的性质 ‎　设离散型随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.3‎ m 求2X＋1的分布列．‎ ‎【解】　由分布列的性质知：‎ ‎0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，‎ 解得m＝0.3.‎ 首先列表为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎2X＋1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ 从而2X＋1的分布列为 ‎2X＋1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ P ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎ 在本例的条件下，求P(110 000)＝0.5＋0.2＝0.7，‎ 由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为p＝1－(1－p1)3＝1－0.33＝0.973.‎ ‎　(1)本题是离散型随机变量的分布列、均值与线性规划交汇．解决本题需根据题目所给信息提炼出线性约束条件和目标函数，然后再求Z的值．考查了对数学的应用意识、数据处理能力及数形结合思想．‎ ‎(2)离散型随机变量的均值常与统计、平面向量、函数、数列、不等式等知识交汇，题目设计新颖，是近几年高考考查的热点．‎ ‎　小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．‎ ‎(1)求小波参加学校合唱团的概率；‎ ‎(2)求X的分布列．‎ ‎ (1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C＝28(种)，当X＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝＝.‎ ‎(2)两向量数量积X的所有可能取值为－2，－1，0，1，X＝－2时，有2种情形；X＝1时，有8种情形；X＝－1时，有10种情形．所以X的分布列为 X ‎－2‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P ‎1．若离散型随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P 则X的数学期望E(X)＝(　　) ‎ A．2　　　　　　　　　　 B．2或 C. D．1‎ ‎　C　 因为分布列中概率和为1，所以＋＝1，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2(舍去)或a＝1，所以E(X)＝.‎ ‎2．设随机变量X的概率分布列如下表所示：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P a 若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是 由分布列的性质，得a＋＋＝1，所以a＝.而x∈ 设ξ＝1时的概率为p，则E(ξ)＝0×＋1×p＋2×＝1，解得p＝，故D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.‎ ‎　 ‎4．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数X的分布列为________．‎ ‎ X的所有可能值为0，1，2.‎ P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ ‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎5.若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137，359，567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．‎ ‎(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；‎ ‎(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)．　‎ ‎ (1)个位数字是5的“三位递增数”有 ‎125，135，145，235，245，345.‎ ‎(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C＝84，‎ 随机变量X的取值为：0，－1，1，因此 P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝－1)＝＝，‎ P(X＝1)＝1－－＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎－1‎ ‎1‎ P 则E(X)＝0×＋(－1)×＋1×＝.‎ ‎6．(2017·山东青岛一模)一个袋中装有7个除颜色外完全相同的球，其中红球4个，编号分别为1，2，3，4；蓝球3个，编号分别为2，4，6，‎ 现从袋中任取3个球(假设取到任一球的可能性相同)．‎ ‎(1)求取出的3个球中含有编号为2的球的概率；‎ ‎(2)记ξ为取到的球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．‎ ‎ (1)设A＝“取出的3个球中含有编号为2的球”，‎ 则P(A)＝＝＝＝.‎ ‎(2)由题意得，ξ可能取的值为0，1，2，3，则 P(ξ＝0)＝＝，‎ P(ξ＝1)＝＝，‎ P(ξ＝2)＝＝，‎ P(ξ＝3)＝＝.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎7．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4)，现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．‎ ‎(1)求X的分布列、期望和方差；‎ ‎(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值． ‎ ‎ (1)X的取值为0，1，2，3，4，其分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5，‎ D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.‎ ‎(2)由D(Y)＝a2D(X)得2.75a2＝11，得a＝±2，‎ 又E(Y)＝aE(X)＋b，‎ 所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；‎ 当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4，‎ 所以或 ‎8．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．‎ ‎(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式； ‎ ‎(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：‎ 日需求 量n ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．‎ ‎①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；‎ ‎②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．‎ ‎ (1)当日需求量n≥16时，利润y＝80.‎ 当日需求量n<16时，利润y＝10n－80.‎ 所以y关于n的函数解析式为y＝，(n∈N)．‎ ‎(2)①X可能的取值为60，70，80，并且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.‎ X的分布列为 X ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.7‎ X的数学期望E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.‎ X的方差D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.‎ ‎②答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：‎ 若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为 Y ‎55‎ ‎65‎ ‎75‎ ‎85‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.16‎ ‎0.54‎ Y的数学期望E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.‎ Y的方差为D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.‎ 由以上的计算结果可以看出，D(X)