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- 2021-06-10 发布
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第三节
函数的奇偶性、
对称性与周期性
内容索引
必备知识
·
自主学习
核心考点
·
精准研析
核心素养
·
微专题
核心素养测评
【
教材
·
知识梳理
】
1.
函数的奇偶性定义
一般地
,
设函数
y=f(x)
的定义域为
A.
如果对于任意
x∈A,
都有
f(-x)=f(x),
那么称函数
y=f(x)
是偶函数
,
如果对于任意的
x∈A,
都有
f(-x)=-f(x),
那么称函数
y=f(x)
是奇函数
.
2.
函数的周期性
(1)
一般地对于函数
f(x),
如果存在一个非零的常数
T,
使得定义域内的每一个
x
值都满足
f(x+T)=f(x),
那么函数
f(x)
就叫做周期函数
,
非零常数
T
叫做这个函数的周期
.
(2)
对于一个周期函数
f(x),
如果在它所有的周期中存在一个最小的正数
,
那么这个最小的正数就叫做
f(x)
的最小正周期
.
【
知识点辨析
】
(
正确的打
“
√
”
,
错误的打
“
×
”
)
(1)
偶函数图象不一定过原点
,
奇函数的图象一定过原点
. (
)
(2)
定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件
. (
)
(3)
若
T
是函数的一个周期
,
则
nT(n∈Z,n≠0)
也是函数的周期
. (
)
(4)
若函数
y=f(x+a)
是偶函数
,
则函数
y=f(x)
关于直线
x=a
对称
. (
)
(5)
若函数
y=f(x+b)
是奇函数
,
则函数
y=f(x)
的图象关于点
(b,0)
中心对称
. (
)
提示
:
(1)
×
.
奇函数只有在原点有定义时才过原点
,
而偶函数不管在原点有无定义
,
都不一定过原点
.
(2)√.
因为函数具有奇偶性
,
所以定义域一定关于原点对称
,
而定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性
.
(3)√.
由周期函数的定义可知正确
.
(4)√.
因为
y=f(x+a)
为偶函数
,
则
f(x+a)=f(-x+a)=f(a-x),
可知
x=a
为对称轴
.
(5)√.
由于
y=f(x+b)
的图象关于
(0,0)
对称
,
根据图象平移变换
,
知
y=f(x)
的图象关于
(b,0)
对称
,
正确
.
【
易错点索引
】
序号
易错警示
典题索引
1
奇偶函数的定义域关于原点对称
考点一、
T1
2
忽略奇偶函数定义中任意一个自变量
考点一、
T4
3
周期性与轴对称所对应解析式的差别
考点二、
T3
4
分段函数奇偶性的解析式
考点三、角度
1
【
教材
·
基础自测
】
1.(
必修
1 P43
练习
T1
改编
)
下列函数为偶函数的是
(
)
A.f(x)=x-1 B.f(x)=x
2
+x
C.f(x)=2
x
-2
-x
D.f(x)=2
x
+2
-x
【
解析
】
选
D.D
中
,f(-x)=2
-x
+2
x
=f(x),
所以
f(x)
为偶函数
.
其余
A
、
B
、
C
选项均不满足
f(-x)=f(x).
2.(
必修
1P43
练习
T6
改编
)
下列函数中为偶函数的是
(
)
A.y=x
2
sin x B.y=x
2
cos x
C.y=|ln x|
D.y=2
-x
【
解析
】
选
B.
根据偶函数的定义知偶函数满足
f(-x)=f(x)
且定义域关于原点对称
,A
选项为奇函数
;B
选项为偶函数
;C
选项定义域为
(0,+∞),
不具有奇偶性
;D
选项既不是奇函数
,
也不是偶函数
.
3. (
必修
1 P31
习题
2.1(1)T9
改编
)
设
f(x)
是定义在
R
上的周期为
2
的函数
,
当
x∈[-1,1)
时
,f(x)=
则
f =________.
【
解析
】
f =f =-4× +2=1.
答案
:
1
4.(
必修
1 P45
习题
2.2 T9
改编
)
已知定义在
R
上的奇函数
,
当
x>0
时
,
f(x)=log
2
x-3x,
则
f(-1)=______.
【
解析
】
因为
f(1)=
log
2
1-3=-3,
又
f(x)
为定义在
R
上的奇函数
,
所以
f(-1)=-f(1)=3.
答案
:
3
解题新思维 活用奇函数最值性质
,
抽象函数的对称性解题
【
结论
】
1.
奇函数的最值性质
已知函数
f(x)
是定义在区间
D
上的奇函数
,
则对任意的
x∈D,
都有
f(x)+f(-x)=0.
特别地
,
若奇函数
f(x)
在
D
上有最值
,
则
f(x)
max
+f(x)
min
=0,
且若
0∈D,
则
f(0)=0.
2.
抽象函数的对称性
已知函数
f(x)
是定义在
R
上的函数
.
(1)
若
f(a+x)=f(b-x)
恒成立
,
则
y=f(x)
的图象关于直线
x=
对称
,
特别地
,
若
f(a+x)=f(a-x)
恒成立
,
则
y=f(x)
的图象关于直线
x=a
对称
.
(2)
若函数
y=f(x)
满足
f(a+x)+f(a-x)=0,
即
f(x)=-f(2a-x),
则
f(x)
的图象关于
点
(a,0)
对称
.
(3)
若方程
y=f(x)
满足
f(a+x)+f(a-x)=2b,
则
f(x)
的图象关于
(a,b)
对称
.
典例
1.
设函数
f(x)=
的最大值为
M,
最小值为
m,
则
M+m=________.
【
解析
】
显然函数
f(x)
的定义域为
R,
f(x)= =1+ ,
设
g(x)= ,
则
g(-x)=-g(x),
所以
g(x)
为奇函数
,
由奇函数图象的对称性知
g(x)
max
+g(x)
min
=0,
所以
M+m=[g(x)+1]
max
+[g(x)+1]
min
=2+g(x)
max
+g(x)
min
=2.
答案
:
2
2.
函数
y=f(x)
对任意
x∈R
都有
f(x+2)=f(-x)
成立
,
且函数
y=f(x-1)
的图象关于点
(1,0)
对称
,f(1)=4,
则
f(2 020)+f(2 021)+f(2 022)
的值为
________.
【
解析
】
因为函数
y=f(x-1)
的图象关于点
(1,0)
对称
,
所以函数
y=f(x)
的图象关于
(0,0)
对称
,
所以
f(x)
是
R
上的奇函数
,
所以
f(x+2)=-f(x),
所以
f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
故
f(x)
的周期为
4.
所以
f(2 021)=f(505×4+1)=f(1)=4,
所以
f(2 020)+f(2 022)=-f(2 018)+f(2 018+4)=-f(2 018)+f(2 018)=0,
所以
f(2 020)+f(2 021)+f(2 022)=4.
答案
:
4
【
迁移应用
】
对于函数
f(x)=asin x+bx+c(
其中
a,b∈R,c∈Z),
选取
a,b,c
的一组值计算
f(1)
和
f(-1),
所得出结果一定不可能的是
(
)
A.4
和
6
B.3
和
1
C.2
和
4
D.1
和
2
【
解析
】
选
D.
因为
f(x)=asin x+bx+c,
所以
f(1)+f(-1)=2c,
又因为
c∈Z,
所以
f(1)
与
f(-1)
之和应为偶数
.