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- 2021-06-10 发布
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第三节 三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质
教材研读
判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)y=sin x在第一、第四象限是增函数. (×)
(2)正切函数y=tan x在定义域内是增函数. (×)
(3)已知y=ksin x+1,x∈R,则y的最大值为k+1. (×)
(4)y=sin|x|是偶函数. (√)
(5)若sin x> ,则x> . (×)
A.y=sin B.y=cos
C.y=sin 2x+cos 2x D.y=sin x+cos x
答案 B y=cos =-sin 2x,∴y=cos 是最小正周期为π的奇
函数,故选B.
1.下列函数中,最小正周期为π的奇函数是 ( )
2.函数y=tan 3x的定义域为 ( )
A.
B.
C.
D.
答案 D 由3x≠ +kπ(k∈Z),得x≠ + ,k∈Z.故选D.
3.下列函数中,周期为π,且在 上为减函数的是 ( )
A.y=sin B.y=cos
C.y=sin D.y=cos
答案 A ∵函数的周期为π,∴排除C、D.
∵函数在 上是减函数,∴排除B,故选A.
4.函数y= 的定义域为 ( )
A.
B. ,k∈Z
C. ,k∈Z
D.R
答案 C 由cos x- ≥0,得cos x≥ ,∴2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈Z.
5.函数y=3-2cos 的最大值为 ,此时x= .
答案 5; +2kπ(k∈Z)
解析 函数y=3-2cos 的最大值为3+2=5,此时x+ =π+2kπ(k∈Z),
即x= +2kπ(k∈Z).
考点一 三角函数的定义域与值域
典例1 (1)函数y=lg sin x+ 的定义域为 ;
(2)函数f(x)=3sin 在区间 上的值域为 ;
(3)当x∈ 时,函数y=3-sin x-2cos2x的最小值是 ,最大值是
.
答案 (1)
(2) (3) ;2
解析 (1)要使函数有意义,则有
考点突破
即 解得 (k∈Z),
∴2kπ0)的函数的单调区间
时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.如果ω<0,那么一定要
先借助诱导公式将x的系数转化为正数,防止把单调性弄错.
(2)求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式进行化简,并注意复
合函数单调性规律“同增异减”.
(3)求三角函数的最小正周期时,一般地,经过恒等变形把三角函数化为
“y=Asin(ωx+φ)”或“y=Acos(ωx+φ)”或“y=Atan(ωx+φ)”的形
式,再
利用周期公式求解即可.
(4)求含有绝对值的三角函数的单调区间及周期时,通常要画出图象,结
合图象求解.
2-1 若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间 上单调递增,在区间 上
单调递减,则ω为何值?
解析 ∵函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间 上单调递增,在区间
上单调递减,
∴T= > ,且 ω= +2kπ(k∈Z),
∴0<ω<6,且ω= +6k(k∈Z),∴ω= ,经检验,满足题意.
2-2 若函数f(x)=sin (0<ω<1)在 上单调递减,求ω的取值范
围.
解析 当 0)和g(x)=3cos(2x+φ)的图象的对称
中心完全相同,若x∈ ,则f(x)的值域是 .
答案
解析 由两函数图象的对称中心完全相同可知两函数的周期相同,故ω
=2,所以f(x)=3sin ,当x∈ 时,- ≤2x- ≤ ,所以- ≤
Sin ≤1,故f(x)∈ .