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- 2021-06-10 发布
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课 题:2.9.4函数应用举例4
教学目的:
1.根据实际问题,提出不同方案,建立数学模型,选定最佳方案,解决问题
2.培养培养观察分析、抽象概括、归纳总结、逻辑推理、化归转化的能力;
3.培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯
教学重点:数学建模的方法
教学难点:如何把实际问题抽象为数学问题.
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教 具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
上一节课,我们主要学习了有关物理问题的数学模型,.这一节,我们学习有关生活消费问题的数学模型
二、新授内容:
例1随着生活质量的不断提高,购房和买车成了一些居民消费的热点.某家庭最近看中了一款价值15万元的轿车,并想在某地段购买面积为100 m,单价是0.3万元/m的一套商品房.目前,该家庭仅有积蓄 10万元,收入为 0.5万元/月,正常开支为0.15万元/月,他们准备以要购买的车、房作抵押向银行贷款,且选择消费额70%的贷款比例.表1和表2分别是1万元的住房和汽车消费贷款还本付息表. 表1(住房)
期限 年
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
月均还款(元)
857.50
440.10
301.10
231.70
190.13
163.75
144.08
129.38
117.99
108.92
期限 年
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
月均还款(元)
101.54
95.43
90.28
85.90
82.13
78.86
76
73.47
71.24
69.24
期限 年
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
月均还款(元)
67.45
65.85
64.40
63.08
61.89
60.80
59.80
58.89
58.05
57.28
表2(汽车)
期限(年)
1
2
3
4
5
月均还款(元)
859.98
442.94
303.95
234.99
193.47
⑴
现该家庭有两种贷款方案:一是马上贷款购房,等积累一定资金后再贷款买车;二是马上贷款买车,等积累一定资金后再贷款购房.如果购车后每月要增加开支0.1万元,车价平均每月比上一月下降1%,房价平均每月比上一月上涨0.8%,如果不考虑银行贷款政策的变化,那么请你为该家庭选择一个能尽快购到车和房的合理贷款方案.
⑵建立家庭积累资金关于所经过时间的函数关系式.
分析:根据贷款政策(消费额70%的贷款比例),消费者在购买商品时要首付30%的款.而选择这两种方案的重要依据则是家庭资金积累情况.
解:⑴方案一:先购房后买车.
为了能尽快买到车,住房贷款选30年期.
按70%的比例(总购房款30万元)可贷住房款21万元,首付30%后家中(仅有积蓄 10万元)还剩资金1万元.
设购房后x(月)买车,现建立买车前家庭积累资金y(万元)关于x的函数关系式
y=家庭余款+(月收入-月生活支出-月支付购房款)*月数
=1+(0.5-0.15-2l*0.005728)x,
即 y=1+0.229712x,(xN)
选(轿车的价值15万元)70%比例的汽车贷款,则首付汽车u(万元)关于x的函数关系式为
u=15(l-1%)* 30% ,即 u=4.5*0.99(xN).
刚买车后家庭的结余资金为y,则
y=买车前家庭积累资金-首付汽车款
=(1+0.229712x)-4.5*0.99,
即 买车后家庭的结余资金为:
y=-4.5*0.99+0.229712x+1(xN).
用计算机作出其图象,可知x=12.86时,y=0.
说明购房13个月后该家庭有能力买车.
但是为了保证买车后家庭的收支平衡,最早买车时间应为还清汽车贷款时家庭结余为0时x的值.
现建立买车后家庭月支出v(万元)关于x的函数关系式:
因为按此方案,汽车贷款为 15(l-1%)70%,在资金紧张时,贷款期限选5年较为合理,也利于提前买车,所以
v=月支付购车款+月支付购房款+月生活支出+购车后每月要增加开支
=0.019347*15(l-1%)70%+21*0.005728+0.15+0.1,
即 买车后家庭月支出为:v=0.203144*0.99+0.370288 (xN).
因此,还清汽车贷款时的家庭结余为
y=买车后家庭的结余资金+[月收入-买车后家庭月支出]*五年
= y+60[0.5-v]
=( -4.5*0.99+0.229712x+1)
+60[0.5-(0.203144*0.99+0.370288)],
=-16.68864*0.99+0.229712x+8.78272
即还清汽车贷款时的家庭结余为
y=-16.68864*0.99+0.229712x+8.78272 (xN).
用计算机作出其图象,可知x=20.75时,y=0.
综上所述,按方案一,说明可在购房21个月后再购车.
方案二:先买车后购房.
为了能尽快购房,同时缓解资金紧张问题,汽车和住房贷款分别选5年期和30年期.按70%的比例可贷汽车款10.5万元,首付30%后(4.5万元),家中(家庭有积蓄 10万元)还剩资金5.5万元.
同理,可得在汽车贷款期内购房前的家庭积累资金
y=剩余资金+(月收入-月生活支出-购车后月增支-月支付购车款)*月数
=5.5+(0.5-0.15-0.1-10.5*0.019347)x
y=5.5+0.0468565x(xN,),
而此时购房需首付
y=30*(1+0.8%)30%=9*1.008
在同一坐标系中分别作出y、y的图像,
由图像知,在汽车贷款期内购房前的家庭积累资金一直不够购房需首付资金
也可以令x=21,则y=5.5+0.0468565%21=6.483997(万元).
y=10.639315(万元)
∵10.639315(万元)>6.483997万元.
∴说明方案二购房买车所需的时间比方案一长,该方案不可取.
因此,从以上两个方案看,选择方案一才能尽快购到车和房.即先按30年期、70%的比例向银行贷款购房,21个月后再按5年期、70%的比例向银行贷款买车.
解⑵ 现建立实施方案一后的家庭积累资金y(万元)关于时间x月)的函数关系式.
①因购车前y=1+0.229712x, (xN且1