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- 2021-06-10 发布
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第2讲 古典概型
[最新考纲]
1.理解古典概型及其概率计算公式.
2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.
知 识 梳 理
1.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
2.古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.
3.古典概型的概率公式
P(A)=.
辨 析 感 悟
1.古典概型的意义
(1)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽与不发芽”.(×)
(2)掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个结果是等可能事件.(×)
(3)(教材习题改编)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.(√)
2.古典概型的计算
(4)在古典概型中,如果事件A中基本事件构成集合A,所有的基本事件构成集合I,则事件A的概率为.(√)
(5)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点
间的距离为的概率是0.2.(×)
(6)(2018·新课标全国Ⅱ卷改编)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是0.2.(√)
[感悟·提升]
1.一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性,只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型,(1)、(2)不符合定义.
2.从集合的角度去看待概率,在一次试验中,等可能出现的全部结果组成一个集合I,基本事件的个数n就是集合I的元素个数,事件A是集合I的一个包含m个元素的子集,故P(A)==,如(4);根据古典概型概率公式计算,如(5)、(6).
考点一 简单古典概型的概率
【例1】 现有6道题,其中4道甲类题,2道乙类题,张同学从中任取2道题解答.试求:
(1)所取的2道题都是甲类题的概率;
(2)所取的2道题不是同一类题的概率.
解 从6道题中任取2道有n=C=15(种)取法.
(1)记“所取的2道题都是甲类题”为事件A,则A发生共有m=C=6种结果.
∴所求事件概率P(A)===.
(2)记“所取的2道题不是同一类题”事件为B,事件B包含的基本事件有CC=8(种),则事件B的概率为P(B)=.
规律方法 有关古典概型的概率问题,关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.
(1)基本事件总数较少时,用列举法把所有基本事件一一列出时,要做到不重复、不遗漏,可借助“树状图”列举.(2)注意区分排列与组合,以及计数原理的正
确使用.
学生用书第183页
【训练1】 袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2.
(1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率;
(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两种卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.
解 (1)从5张卡片中任取两张,共有n=C=10种方法.
记“两张卡片颜色不同且标号之和小于4”为事件A,则A包含基本事件m=CC-1=3个.
由古典概型概率公式,P(A)==.
(2)从6张卡片中任取两张,共有n=C=15个基本事件,
记“两张卡片颜色不同且标号之和小于4”为事件B,则事件B包含基本事件总数m=C(C+C)+(CC-1)=8,
∴所求事件的概率P(B)==.
考点二 复杂的古典概型的概率
【例2】 将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,求:
(1)两数中至少有一个奇数的概率;
(2)以第一次向上点数为横坐标x,第二次向上的点数为纵坐标y的点(x,y)在圆x2+y2=15的外部或圆上的概率.
解 由题意,先后掷2次,向上的点数(x,y)共有n=6×6=36种等可能结果,为古典概型.
(1)记“两数中至少有一个奇数”为事件B,则事件B与“两数均为偶数”为对立事件,记为.
∵事件包含的基本事件数m=CC=9.
∴P()==,则P(B)=1-P()=,
因此,两数中至少有一个奇数的概率为.
(2)点(x,y)在圆x2+y2=15的内部记为事件C,则表示“点(x,y)在圆x2+y2=15上或圆的外部”.
又事件C包含基本事件:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)共有8个.
∴P(C)==,从而P()=1-P(C)=1-=.
∴点(x,y)在圆x2+y2=15上或圆外部的概率为.
规律方法 (1)一是本题易把(2,4)和(4,2),(1,2)和(2,1)看成同一个基本事件,造成计算错误.二是当所求事件情况较复杂时,一般要分类计算,即用互斥事件的概率加法公式或考虑用对立事件求解.
(2)当所求事件含有“至少”“至多”或分类情况较多时,通常考虑用对立事件的概率公式P(A)=1-P()求解.
【训练2】 某小组共有A,B,C,D,E五位同学,他们的身高(单位:米)及体重指标(单位:千克/米2)如下表所示:
A
B
C
D
E
身高
1.69
1.73
1.75
1.79
1.82
体重指标
19.2
25.1
18.5
23.3
20.9
(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率;
(2)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率.
解 (1)从身高低于1.80的同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共6个.
由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.
选到的2人身高都在1.78以下的事件有(A,B),(A,C),(B,C),共3个.
因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为
P==.
(2)从该小组同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10个.
由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.
选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有(C,D),(C,E),(D,E),共3个.
因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P=.
考点三 古典概型与统计的综合问题
【例3】 (2018·广东卷)某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.
(1)根据茎叶图计算样本均值;
(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人?
(3)从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.
审题路线 (1)阅读茎叶图得出样本数据,利用平均数公式计算出样本均值.(2)根据样本算出优秀工人的比例,再估计12人中优秀工人的个数.(3)用组合数公式求出所有可能的组合的个数和符合条件的组合的个数,利用古典概型概率公式计算.
解 (1)由茎叶图可知:样本数据为17,19,20,21,25,30.则=(17+19+20+21+25+30)=22,
故样本均值为22.
(2)日加工零件个数大于样本均值的工人有2名,
故优秀工人的频率为=.
该车间12名工人中优秀工人大约有12×=4(名),
故该车间约有4名优秀工人.
(3)记“恰有1名优秀工人”为事件A,其包含的基本事件总数为CC=32
,所有基本事件的总数为C=66.
由古典概型概率公式,得P(A)==.
所以恰有1名优秀工人的概率为.
学生用书第184页
规律方法 (1)本题求解的关键在于从茎叶图准确提炼数据信息,进行统计与概率的正确计算.
(2)一是题目考查茎叶图、样本均值、古典概型等基础知识,考查样本估计总体的思想方法,以及数据处理能力.二是求解时要设出所求事件,进行必要的说明,规范表达,这
都是得分的重点.
【训练3】 从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:
分组(重量)
[80,85)
[85,90)
[90,95)
[95,100)
频数(个)
5
10
20
15
(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率;
(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个,其中重量在[80,85)的有几个?
(3)在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率.
解 (1)由题意知苹果的样本总数n=50,在[90,95)的频数是20,∴苹果的重量在[90,95)的频率是=0.4.
(2)设从重量在[80,85)的苹果中抽取x个,则从重量在[95,100)的苹果中抽取(4-x)个.
∵表格中[80,85),[95,100)的频数分别是5,15,
∴5∶15=x∶(4-x),解得x=1.
即重量在[80,85)的有1个.
(3)在(2)中抽出的4个苹果中,重量在[80,85)中有1个,记为a,重量在[95,100)
有3个,记为b1,b2,b3.
任取2个,有ab1,ab2,ab3,b1b2,b1b3,b2b3共6种不同方法,记基本事件总数为n,则n=6.
其中重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的事件记为A,事件A包含的基本事件为ab1,ab2,ab3,共3个,
由古典概型的概率计算公式得P(A)==.
1.古典概型计算三步曲
第一,本试验是否是等可能的;第二,本试验的基本事件有多少个;第三,事件A是什么,它包含的基本事件有多少个.
2.确定基本事件的方法
(1)当基本事件总数较少时,可列举计算;(2)利用计数原理、排列与组合求基本事件的个数.
3.较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式简化运算.
易错辨析10——基本事件计数不正确致误
【典例】 (2018·江西卷,文)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为:以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图所示)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X,若X>0就去打球,若X=0就去唱歌,若X<0就去下棋.
(1)写出数量积X的所有可能取值;
(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.
[错解] (1)数量积X的所有可能取值为-1,0,1.
(2)X=0时,有·,·,共2种情况;
X=1时,有·,·,·,·,共4种情况;
X=-1时,有·,·,共2种情况,
∴所有基本事件总数n=2+4+2=8.
因此,小波去下棋的概率p1==,
小波唱歌的概率p2==,从而不去唱歌的概率p=1-p2=.
[错因] (1)没能准确计算出X的所有可能值,由数量积的运算知X可能取-2,-1,0,1,忽视·=-2.
(2)基本事件列举不全面,思维定势,如X=-1,盲目认为向量共线,遗漏向量夹角为π的4种情形.
[正解] (1)X的所有可能取值为-2,-1,0,1.
(2)数量积为-2的有·,共1种,
数量积为-1的有·,·,·,·,·,·,共6种.
数量积为0的有·,·,·,·,共4种情形.
数量积为1的有·,·,·,·,共4种情形.
故所有可能的情况共有15种.
所以小波去下棋的概率为p1=;
因为去唱歌的概率为p2=,
所以小波不去唱歌的概率p=1-p2=1-=.
[防范措施] (1)准确理解题意,向量数量积由向量的模、夹角共同确定,要考虑各种情形,注意分类求解.
(2)
计算基本事件总数时,画出几何图形、树形图、分类列举法、坐标网格法是克服此类错误的有效手段.
【自主体验】
1.(2018·安徽卷)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为( ).
A. B. C. D.
解析 设事件“甲或乙被录用”为事件A,则表示甲、乙都没被录用,由古典概型,P()==,∴P(A)=1-=.
答案 D
2.(2018·江苏卷)现有某类病毒记作XmYn,其中正整数m,n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则m,n都取到奇数的概率为________.
解析 因1≤m≤7,1≤n≤9且m,n∈N*,∴m为正奇数有4种情形,n为正奇数有5种,因此所求事件的概率P==.
答案