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- 2021-06-10 发布
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1.命题 p∧q,p∨q,綈 p 的真假判断
p q p∧q p∨q 綈 p
真 真 真 真 假
真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
2.全称量词和存在量词
量词名词 常见量词 表示符号
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ∀
存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ∃
3.全称命题和存在性命题
命题名称 命题结构 命题简记
全称命题 对 M 中任意一个 x,有 p(x)成立 ∀x∈M,p(x)
存在性命题 存在 M 中的一个 x,使 p(x)成立 ∃x∈M,p(x)
4.含有一个量词的命题的否定
命题 命题的否定
∀x∈M,p(x) ∃x∈M,綈 p(x)
∃x∈M,p(x) ∀x∈M,綈 p(x)
【知识拓展】
1.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律
(1)p∨q:p、q 中有一个为真,则 p∨q 为真,即有真为真;
(2)p∧q:p、q 中有一个为假,则 p∧q 为假,即有假即假;
(3)綈 p:与 p 的真假相反,即一真一假,真假相反.
2.含一个量词的命题的否定的规律是“改量词,否结论”.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)命题 p∧q 为假命题,则命题 p、q 都是假命题.( × )
(2)命题 p 和綈 p 不可能都是真命题.( √ )
(3)若命题 p、q 至少有一个是真命题,则 p∨q 是真命题.( √ )
(4)命题綈(p∧q)是假命题,则命题 p,q 中至少有一个是真命题.( × )
(5)“长方形的对角线相等”是存在性命题.( × )
(6)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”.( × )
1.(2016·江苏泰州中学月考)命题“∃x>-1,x2+x-2 016>0”的否定是______________.
答案 ∀x>-1,x2+x-2 016≤0
解析 命题“∃x>-1,x2+x-2 016>0”的否定是“∀x>-1,x2+x-2 016≤0”.
2.已知命题 p,q,“綈 p 为真”是“p∧q 为假”的______________条件.
答案 充分不必要
解析 綈 p 为真知 p 为假,可得 p∧q 为假;反之,若 p∧q 为假,则可能是 p 真 q 假,从而
綈 p 为假,故“綈 p 为真”是“p∧q 为假”的充分不必要条件.
3.(教材改编)若不等式 x2-x>x-a 对∀x∈R 都成立,则 a 的取值范围是________.
答案 a>1
解析 方法一 不等式 x2-x>x-a 对∀x∈R 都成立,即不等式 x2-2x+a>0 恒成立.
结合二次函数图象得其Δ<0,即 4-4a<0,所以 a>1.
方法二 不等式 x2-x>x-a 对∀x∈R 都成立,也可看作 a>-x2+2x 对∀x∈R 都成立,所以
a>(-x2+2x)max,而二次函数 f(x)=-x2+2x 的最大值为 0-22
4×-1
=1,所以 a>1.
4.已知实数 a 满足 11 且 2-a>0,即 10;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,
则下列命题为真命题的是________.(填序号)
①p∧q ②(綈 p)∧(綈 q)
③(綈 p)∧q ④p∧(綈 q)
(2)(2016· 盐 城 模 拟 ) 若 命 题 “p∨q” 是 真 命 题 , “ 綈 p 为 真 命 题 ” , 则 p________ ,
q________.(填“真”或“假”)
答案 (1)④ (2)假 真
解析 (1)∵p 是真命题,q 是假命题,
∴p∧(綈 q)是真命题.
(2)∵綈 p 为真命题,∴p 为假命题,
又∵p∨q 为真命题,∴q 为真命题.
思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈 p”等形式命题真假的判断步骤
(1)确定命题的构成形式;
(2)判断其中命题 p、q 的真假;
(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈 p”等形式命题的真假.
已知命题 p:若 x>y,则-x<-y;命题 q:若 x>y,则 x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;
③p∧(綈 q);④(綈 p)∨q 中,真命题是________.
答案 ②③
解析 当 x>y 时,-x<-y,
故命题 p 为真命题,从而綈 p 为假命题.
当 x>y 时,x2>y2 不一定成立,
故命题 q 为假命题,从而綈 q 为真命题.
由真值表知:①p∧q 为假命题;②p∨q 为真命题;③p∧(綈 q)为真命题;④(綈 p)∨q 为假
命题.
题型二 含有一个量词的命题
命题点 1 全称命题、存在性命题的真假
例 2 不等式组 x+y≥1,
x-2y≤4
的解集记为 D,有下面四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-
2,p2:∃(x,y)∈D, x+2y≥2,p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-
1.
其中的真命题是________.
答案 p1,p2
解析 画出不等式组 x+y≥1,
x-2y≤4
的可行域 D 如图阴影部分所示,两直线交于点 A(2,-1),
设直线 l0 的方程为 x+2y=0.由图象可知,∀(x,y)∈D,x+2y≥0,故 p1 为真命题,p2 为真
命题,p3,p4 为假命题.
命题点 2 含一个量词的命题的否定
例 3 (1)(2016·盐城模拟)命题“∃x∈R,x2-2x>0”的否定是____________.
(2)(2015·浙江改编)命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且 f(n)≤n”的否定形式是________.
答案 (1)∀x∈R,x2-2x≤0
(2)∃n∈N*,f(n)∉N*或 f(n)>n.
解析 (1)将“∃”改为“∀”,对结论中的“>”进行否定.
(2)由全称命题与存在性命题之间的互化关系可知.
思维升华 (1)判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合 M 中的每一个元素 x,
证明 p(x)成立;要判断存在性命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个 x,使 p(x)成立.
(2)对全称、存在性命题进行否定的方法
①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词.
②对原命题的结论进行否定.
下列命题的否定为假命题的是________.(填序号)
①∀x∈R,-x2+x-1<0;
②∀x∈R,|x|>x;
③∀x,y∈Z,2x-5y≠12;
④∀x∈R,sin2x+sin x+1=0.
答案 ①
解析 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题,只有①为真命题.
题型三 求含参数命题中参数的取值范围
例 4 (1)已知命题 p:关于 x 的方程 x2-ax+4=0 有实根;命题 q:关于 x 的函数 y=2x2+ax
+4 在[3,+∞)上是增函数,若 p∧q 是真命题,则实数 a 的取值范围是________________.
(2)已知 f(x)=ln(x2+1),g(x)=(1
2)x-m,若对∀x1∈[0,3],∃x2∈[1,2],使得 f(x1)≥g(x2),
则实数 m 的取值范围是__________.
答案 (1)[-12,-4]∪[4,+∞) (2)[1
4
,+∞)
解析 (1)若命题 p 是真命题,则Δ=a2-16≥0,
即 a≤-4 或 a≥4;
若命题 q 是真命题,则-a
4
≤3,即 a≥-12.
∵p∧q 是真命题,∴p,q 均为真,
∴a 的取值范围是[-12,-4]∪[4,+∞).
(2)当 x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=0,当 x∈[1,2]时,
g(x)min=g(2)=1
4
-m,由 f(x)min≥g(x)min,
得 0≥1
4
-m,所以 m≥1
4.
引申探究
在例 4(2)中,若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”,其他条件不变,则实数 m 的取
值范围是________________.
答案 [1
2
,+∞)
解析 当 x∈[1,2]时,g(x)max=g(1)=1
2
-m,
由 f(x)min≥g(x)max,得 0≥1
2
-m,
∴m≥1
2.
思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假,可根据每个命题的真假利用集合的运算求解
参数的取值范围;(2)含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,利用函数值域(或
最值)解决.
(1)已知命题 p:“∀x∈[0,1],a≥ex”,命题 q:“∃x∈R,x2+4x+a=0”.
若命题“p∧q”是真命题,则实数 a 的取值范围是____________.
(2)已知函数 f(x)=x2-2x+3,g(x)=log2x+m,对任意的 x1,x2∈[1,4]有 f(x1)>g(x2)恒成立,
则实数 m 的取值范围是________________.
答案 (1)[e,4] (2)(-∞,0)
解析 (1)由题意知 p 与 q 均为真命题,由 p 为真,可知 a≥e,由 q 为真,知 x2+4x+a=0
有解,则Δ=16-4a≥0,∴a≤4.综上可知 e≤a≤4.
(2)f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,
当 x∈[1,4]时,f(x)min=f(1)=2,g(x)max=g(4)=2+m,则 f(x)min>g(x)max,即 2>2+m,解得
m<0,故实数 m 的取值范围是(-∞,0).
1.常用逻辑用语
考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等
问题几乎在每年高考中都会出现,多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合,难
度中等以下.解决这类问题应熟练把握各类内在联系.
一、命题的真假判断
典例 1 (1)已知命题 p:∃x0∈R,x20+1<2x0;命题 q:若 mx2-mx-1<0 恒成立,则-45”是“x2-4x-5>0”的充分不必要条件;
③命题 p:∃x∈R,x2+x-1<0,则綈 p:∀x∈R,x2+x-1≥0;
④命题“若 x2-3x+2=0,则 x=1 或 x=2”的逆否命题为“若 x≠1 或 x≠2,则 x2-3x+
2≠0”.
解析 (1)由于 x2-2x+1=(x-1)2≥0,
即 x2+1≥2x,所以 p 为假命题;
对于命题 q,当 m=0 时,-1<0 恒成立,
所以命题 q 为假命题.
综上可知,綈 p 为真命题,p∧q 为假命题,p∨q 为假命题.
(2)对于①,若 p∨q 为真命题,则 p,q 至少有一个为真,即可能有一个为假,所以 p∧q 不
一定为真命题,所以①错误;对于②,由 x2-4x-5>0 可得 x>5 或 x<-1,所以“x>5”是“x2
-4x-5>0”的充分不必要条件,所以②正确;对于③,根据存在性命题的否定为全称命题,
可知③正确;对于④,命题“若 x2-3x+2=0,则 x=1 或 x=2”的逆否命题为“若 x≠1 且
x≠2,则 x2-3x+2≠0”,所以④错误,所以错误命题的个数为 2.
答案 (1)③ (2)2
二、求参数的取值范围
典例 2 (1)已知 p:x≥k,q: 3
x+1<1,如果 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 k 的取值范围
是__________.
(2)已知函数 f(x)=x+4
x
,g(x)=2x+a,若∀x1∈[1
2
,3],∃x2∈[2,3]使得 f(x1)≥g(x2),则实
数 a 的取值范围是__________.
解析 (1)由 3
x+1
<1,得 3
x+1
-1=2-x
x+1
<0,
即(x-2)(x+1)>0,解得 x<-1 或 x>2,
由 p 是 q 的充分不必要条件,知 k>2.
(2)∵x∈[1
2
,3],∴f(x)≥2 x·4
x
=4,当且仅当 x=2 时,f(x)min=4,当 x∈[2,3]时,g(x)min
=22+a=4+a,依题意 f(x)min≥g(x)min,∴a≤0.
答案 (1)(2,+∞) (2)(-∞,0]
三、利用逻辑推理解决实际问题
典例 3 (1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时,
甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市;
乙说:我没去过 C 城市;
丙说:我们三人去过同一城市.
由此可判断乙去过的城市为________.
(2)对于中国足球队参与的某次大型赛事,有三名观众对结果作如下猜测:
甲:中国非第一名,也非第二名;
乙:中国非第一名,而是第三名;
丙:中国非第三名,而是第一名.
竞赛结束后发现,一人全猜对,一人猜对一半,一人全猜错,则中国足球队得了第________
名.
解析 (1)由题意可推断:甲没去过 B 城市,但比乙去的城市多,而丙说“三人去过同一城
市”,说明甲去过 A,C 城市,而乙“没去过 C 城市”,说明乙去过 A 城市,由此可知,乙
去过的城市为 A.
(2)由题意可知:甲、乙、丙均为“p 且 q”形式,所以猜对一半者也说了错误“命题”,即
只有一个为真,所以可知丙是真命题,因此中国足球队得了第一名.
答案 (1)A (2)一
1.命题 p:若 sin x>sin y,则 x>y;命题 q:x2+y2≥2xy.下列命题为假命题的是________.(填序
号)
①p∨q ②p∧q
③q ④綈 p
答案 ②
解析 命题 p 假,q 真,故命题 p∧q 为假命题.
2.已知命题“∃x∈R,使 2x2+(a-1)x+1
2
≤0”是假命题,则实数 a 的取值范围是__________.
答案 (-1,3)
解析 依题意可知“∀x∈R,2x2+(a-1)x+1
2>0”为真命题,所以Δ=(a-1)2-4×2×1
2<0,
即(a+1)(a-3)<0,解得-10;
③p 是真命题;綈 p:∀x∈R,log2(3x+1)≤0;
④p 是真命题;綈 p:∀x∈R,log2(3x+1)>0.
答案 ②
解析 ∵3x>0,∴3x+1>1,则 log2(3x+1)>0,∴p 是假命题;綈 p:∀x∈R,log2(3x+1)>0.
4.已知 p:∀x∈R,x2-x+1>0,q:∃x0∈(0,+∞),sin x0>1,则下列命题为真命题的是
________.(填序号)
①p∨(綈 q) ②(綈 p)∨q
③p∧q ④(綈 p)∧(綈 q)
答案 ①
解析 因为 x2-x+1=(x-1
2)2+3
4>0 恒成立,所以命题 p 是真命题;∀x∈R,sin x≤1,所以
命题 q 是假命题,所以 p∨(綈 q)是真命题.
5.(2016·泰州期末)若命题“∃x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则实数 a 的取值范围是
________.
答案 (2,+∞)
解析 “∃x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则其否定“∀x∈R,ax2+4x+a>0”为真命
题,当 a=0,4x>0 不恒成立,故不成立;当 a≠0 时, a>0,
Δ=16-4a2<0,
解得 a>2,所以实数 a 的取值范围是(2,+∞).
6.已知命题 p1:∀x∈(0,+∞),有 3x>2x,p2:∃θ∈R,sin θ+cos θ=3
2
,则在命题 q1:p1∨p2;
q2:p1∧p2;q3:(綈 p1)∨p2 和 q4:p1∧(綈 p2)中,真命题是__________.
答案 q1,q4
解析 因为 y=(3
2)x 在 R 上是增函数,即 y=(3
2)x>1 在(0,+∞)上恒成立,所以 p1 是真命题;
sin θ+cos θ= 2sin(θ+π
4)≤ 2,所以命题 p2 是假命题,綈 p2 是真命题,所以命题 q1:p1∨p2,
q4:p1∧(綈 p2)是真命题.
7.(2107·江苏淮安中学月考)已知命题:“∃x∈[1,2],使 x2+2x+a≥0”是真命题,则 a 的
取值范围是________.
答案 [-8,+∞)
解析 由已知得,∃x∈[1,2],使a≥-x2-2x成立;若记f(x)=-x2-2x(1≤x≤2),则a≥f(x)min.
而结合二次函数 f(x)=-x2-2x(1≤x≤2)的图象得 f(x)的最小值为 f(2)=-22-2×2=-8,所
以 a≥-8.
8.设 p:方程 x2+2mx+1=0 有两个不相等的正根;q:方程 x2+2(m-2)x-3m+10=0 无实
根.则使 p∨q 为真,p∧q 为假的实数 m 的取值范围是__________.
答案 (-∞,-2]∪[-1,3)
解析 p:x2+2mx+1=0 有两个不相等的正根,
Δ=4m2-4>0,
-2m>0,
即 m<-1.
q:x2+2(m-2)x-3m+10=0 无实根,
Δ=[2(m-2)]2-4(-3m+10)=4(m2-m-6)<0,
即-2<m<3.
分两种情况:①p 真 q 假,m≤-2;②p 假 q 真,-1≤m<3.
综上可知,使 p∨q 为真,p∧q 为假的实数 m 的取值范围是(-∞,-2]∪[-1,3).
9.下列命题中的假命题是________.(填序号)
①∀x∈R,2x-1>0 ②∀x∈N*,(x-1)2>0
③∃x0∈R,lg x0<1 ④∃x0∈R,tan x0+π
4 =5
答案 ②
解析 ①中,∵x∈R,∴x-1∈R,由指数函数性质得 2x-1>0;②中,∵x∈N*,∴当 x=1
时,(x-1)2=0 与(x-1)2>0 矛盾;③中,当 x0= 1
10
时,lg 1
10
=-1<1;④中,当 x∈R 时,tan
x∈R,∴∃x0∈R,tan x0+π
4 =5.
10.(2016·泰州模拟)已知函数 f(x)的定义域为(a,b),若“∃x∈(a,b),f(x)+f(-x)≠0”是假
命题,则 f(a+b)=________.
答案 0
解析 若“∃x∈(a,b),f(x)+f(-x)≠0”是假命题,则“∀x∈(a,b),f(x)+f(-x)=0”是
真命题,即 f(-x)=-f(x),则函数 f(x)是奇函数,则 a+b=0,即 f(a+b)=0.
11.下列结论:
①若命题 p:∃x0∈R,tan x0=1;命题 q:∀x∈R,x2-x+1>0.则命题“p∧(綈 q)”是假命
题;
②已知直线 l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则 l1⊥l2 的充要条件是a
b
=-3;
③命题“若 x2-3x+2=0,则 x=1”的逆否命题是:“若 x≠1,则 x2-3x+2≠0”.
其中正确结论的序号为________.
答案 ①③
解析 ①中命题 p 为真命题,命题 q 为真命题,
所以 p∧(綈 q)为假命题,故①正确;
②当 b=a=0 时,有 l1⊥l2,故②不正确;
③正确,所以正确结论的序号为①③.
12.已知命题 p:x2+2x-3>0;命题 q: 1
3-x
>1,若“(綈 q)∧p”为真,则 x 的取值范围是
________________.
答案 (-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞)
解析 因为“(綈 q)∧p”为真,即 q 假 p 真,而 q 为真命题时,x-2
x-3
<0,即 20,解得 x>1 或 x<-3,由
x>1 或 x<-3,
x≥3 或 x≤2,
得 x≥3 或 1<x≤2 或 x<-3,
所以 x 的取值范围是{x|x≥3 或 1<x≤2 或 x<-3}.
13.(2016·连云港模拟)已知命题 p:∃x0∈R,(m+1)·(x20+1)≤0,命题 q:∀x∈R,x2+mx+
1>0 恒成立.若 p∧q 为假命题,则实数 m 的取值范围为____________.
答案 (-∞,-2]∪(-1,+∞)
解析 由命题 p:∃x0∈R,(m+1)(x20+1)≤0 可得 m≤-1,由命题 q:∀x∈R,x2+mx+1>0
恒成立,可得-2-1.
14.已知命题 p:“∀x∈R,∃m∈R,4x-2x+1+m=0”,若命题綈 p 是假命题,则实数 m 的
取值范围是________.
答案 (-∞,1]
解析 若綈 p 是假命题,则 p 是真命题,
即关于 x 的方程 4x-2·2x+m=0 有实数解,
由于 m=-(4x-2·2x)=-(2x-1)2+1≤1,
∴m≤1.
*15.已知函数 f(x)=x2-x+1
x-1
(x≥2),g(x)=ax(a>1,x≥2).
(1)若∃x0∈[2,+∞),使 f(x0)=m 成立,则实数 m 的取值范围为________________;
(2) 若 ∀ x1∈[2 , + ∞) , ∃ x2∈[2 , + ∞) 使 得 f(x1) = g(x2) , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 为
________________.
答案 (1)[3,+∞) (2)(1, 3]
解析 (1)因为 f(x)=x2-x+1
x-1
=x+ 1
x-1
=x-1+ 1
x-1
+1≥2+1=3,当且仅当 x=2 时等号成
立,所以若∃x0∈[2,+∞),使 f(x0)=m 成立,则实数 m 的取值范围为[3,+∞).
(2)因为当 x≥2 时,f(x)≥3,g(x)≥a2,若∀x1∈[2,+∞),∃x2∈[2,+∞)使得 f(x1)=g(x2),
则 a2≤3,
a>1,
解得 a∈(1, 3].