【数学】2019届一轮复习北师大版充分必要条件学案 5页

‎ 2019年高考数学总复习 ‎ ‎ ‎ 命题及其关系、充分条件与必要条件 考点一.四种命题的关系及真假判断 ‎1. 以下关于命题的说法正确的有________ (填写所有正确命题的序号).‎ ‎ ①“若log2a>0，则函数f(x)＝logax (a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；‎ ‎ ②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；‎ ‎ ③命题“若x, y都是偶数,则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；[ om]‎ ‎ ④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价.‎ 解 对于①，若log2a>0，则a>1 Þf(x)＝logax在其定义域内是增函数;‎ 对于③，其逆命题是“若x＋y是偶数,则x, y都是偶数”, 是假命题.所以选②④‎ 考点二.充分、必要、充要条件的概念与判断 1. 与集合 ‎(1)非空集合A、B中，p x∈A∪B，q x∈B；则p是q____________ 条件.‎ 解 x∈A∪B不一定有x∈B ,但x∈B一定有x∈A∪B ，所以p是q的必要不充分条件.‎ ‎ （2）设集合，，则“”是“”的_必要不充分 条件．‎ 必要不充分 ‎ （3）设集合，，则“”是“”的_____________条件．‎ ‎2.与方程 ‎（1）已知x、y∈R，p (x－1)2＋(y－2)2＝0， q (x－1)(y－2)＝0，则p是q的 条件 解 条件p x＝1且y＝2，条件q x＝1或y＝2，故p是q的充分不必要条件.‎ ‎3.与不等式 ‎（1）已知，，那么是的_____充分不必要___条件．‎ ‎（2）已知p 1＜x＜2，q x(x－3)＜0，则p是q的 条件．（充分不必要）‎ ‎（3）是的___________________条件；[来 解 因为的解集为，的解集为 ‎，故是必要不充分条件.‎ ‎(4)对于实数x、y，p x＋y≠8，q x≠2或y≠6；则p是q的 条件。‎ 解 Øp x＋y＝8，Ø q x＝2且y＝6，显然Ø q ÞØp，即Ø q是 Øp的充分不必要条件，所以p是q的充分不必要条件. ‎ ‎（5）已知，，那么是的____必要不充分___条件．‎ ‎4.与解三角形 ‎(1)在△ABC中，p ∠A＝∠B，q sin A＝sin B，则p是q的 条件。‎ 解 ，∴p是q的充要条件.‎ ‎（2）p sinA>0,q A为第一，二象限角，则p是q的 条件。‎ 解 p A为第一，二象限角以及y轴正半轴，则p是q的必要不充分条件。‎ ‎5.与几何 ‎（1）已知两直线平行，内错角相等，那么是的____充要_____条件．‎ ‎（2）已知四边形的四条边相等，四边形是正方形，那么是的_____必要不充分___条件．‎ ‎6.与函数 ‎（1）设，是定义在R上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的充分不必要______条件．‎ 解 q 偶+偶=偶或则，故p是q的充分不必要条件。‎ ‎7.抽象命题 ‎（1）已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则p是s的_________条件.‎ s 解 ‎ 故p是s的的必要不充分条件. ‎ ‎（2）已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件。现有下列命题 ①是的充要条件；②是的充分条件而不是必要条件；‎ ‎③是的必要条件而不是充分条件； ④的必要条件而不是充分条件；⑤是的充分条件而不是必要条件，‎ 其中正确命题序号是______①②④____．‎ 考点三。求充分必要条件 ‎3．（1）已知P ,求非p是非q什么条件？‎ 解 p 解不等式，则非p ,故为充分不必要条件。‎ ‎（2）已知关于x的方程，．‎ 求 （1）方程有两个正根的充要条件； （2）方程至少有一个正根的充要条件．‎ 解 （1）方程有两个正根的充要条件设此时方程的两实根为，，则，的正数的充要条件是．‎ 综上，方程有两个正根的充要条件为或．‎ ‎（2）①方程有两个正根，由（1）知或．‎ ②当时，方程化为，有一个正根．‎ ③方程无零根，故方程有一正根，一负根的充要条件是即．‎ 综上，方程至少有一正根的充要条件是或．‎ 考点四 充分必要条件求参数取值范围 4. ‎（1）已知p 4x+m<0,q ,若p是q的充分不必要条件，求m取值范围。‎ 解 p ,则。‎ ‎（2）已知p ，，若是的必要不充分条件，求m的取值范围.‎ 解 由题知 ，‎ 是的必要不充分条件，是的必要不充分条件.‎ ‎，即得.故m的取值范围为.‎ ‎（3）已知p ,求m的取值范围。‎ 解 p x<-2或x>10,q x<-m-1或x>m-1,则。‎ 考点五.充要条件的证明 ‎（1）已知函数，求证 函数是偶函数的充要条件为．‎ 证明 充分性 定义域关于原点对称．‎ ‎，， ，‎ 所以，所以为偶函数．‎ 必要性 因为是偶函数，则对任意x有，‎ 得，即，所以．‎ 综上所述，原命题得证．‎ ‎（2）求证 关于x的方程有一个根为－1的充要条件是．‎ 证明 必要性 若是方程的根，求证 ．‎ 是方程的根，，即．‎ 充分性 关于x的方程的系数满足，求证 方程有一根为－1．‎ ‎，，代入方程得 ，‎ 得，是方程的一个根．‎ 故原命题成立．‎ ‎ ‎