【数学】2019届一轮复习北师大版平面向量学案 17页

第五章 平面向量 平面向量的线性运算和坐标运算 ‎【背一背重点知识】 ‎ ‎1．向量加法 利用“平行四边形法则”或“三角形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量．‎ ‎2．向量的减法 用“三角形法则”，要注意 减向量与被减向量的起点相同．‎ ‎3．向量平移具有坐标不变性，相等向量的坐标是一样的．‎ ‎4．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．‎ ‎5．两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念 两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合．‎ ‎6．平行向量无“传递性”（因为有)．‎ ‎7．三点A、B、C共线Û  共线．‎ ‎8．当判定两个向量的关系时，特别注意以下两种特殊情况 ‎ ‎（1）零向量的方向及与其他向量的关系；‎ ‎（2）单位向量的长度及方向．‎ ‎9．已知，判断两向量平行和垂直的充要条件容易混淆．应为Û ，Û ，使用时要注意区分清楚．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．必备技能 （1）向量的基本概念是向量的基础， 习时应注意不要把向量与实数盲目类比；向量的运算包括两种形式 （1）向量式；（2）坐标式；在 习时要 会灵活选用，解题时应善于将向量用一组基底（不共线向量） 表示，要会应用向量共线、垂直的充要条件 解题．‎ ‎（2）平面向量基本定理是向量坐标形式表示的理论基础，平面向量的坐标运算是高考的重点，通常考查两个向量平行、垂直的位置关系；另外平面向量的坐标运算，在解析几何、三角函数中出现较多．‎ ‎（3）在中，当为中点时，应作为公式记住．‎ ‎（4）在一般向量的线性运算中，只要把其中的一个向量当作一个字母看待即可．其运算方法类似于合并同类项，在计算时可进行类比．‎ ‎2．典型例题 ‎ 例1．【2018河北石家庄高三毕业班教 质量检测】在中，点在边上，且，设，，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B 例2．【2018四川绵阳市高三一诊】如图，矩形中，，，是对角线上一点，，过点的直线分别交的延长线，，于．若，，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，设，则，又，所以，因此 ‎，‎ 当且仅当时取等号，选C．‎ 考点 向量表示，基本不等式求最值 ‎【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018江西南康中 、于都中 上 期第四次联考】设向量，若向量与平行，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，所以，所以，故选B．‎ ‎2．【2018吉林长春十一中、东北师范大 附中、吉林一中，重庆一中等五校高三1月联合模拟】已知向量，，，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎3．【2018安徽淮南高三一模】已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，，，则的最小值是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 如图 三点共线， ∵是的重心，‎ ‎ 解得， 结合图象可知 ‎ 令 故 ‎ 故，当且仅当等号成立，故选D 平面向量的数量积 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．数量积是一个实数，不再是一个向量．‎ ‎2．向量数量积与实数相关概念的区别 ‎ ‎（1）表示方法的区别 数量积的记号是，不能写成，也不能写成．‎ ‎（2）相关概念及运算的区别 ！ ‎ ‎①若为实数，且，则有或，但却不能得出或．‎ ‎③若，则(结合律)成立，但对于向量，向量的数量积是不满足结合律．‎ ‎④若，则，但对于向量，却有，等号当且仅当时成立．‎ ‎3．设两个非零向量，，其夹角为，则 ‎ ‎①；‎ ‎②当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝－；当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；‎ ‎4．数量积的运算要注意 ‎ ‎（1）时，，但时不能得得到或，因为时，也有．‎ ‎（2）若，则；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量满足 ()，则不一定有，即等式两边不能同时约去一个向量．‎ ‎（3）平面向量的数量积有定义式和坐标运算，应注意灵活选择计算方法．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．必备技能 （1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别 对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；‎ ‎（2）向量的“乘法”不满足结合律，即．‎ ‎（3）已知非零向量 则有，是非常重要的性质，它是解决平面几何中有关垂直问题的有力工具，应熟练掌握．‎ ‎2．典型例题 ]‎ 例1．【2018江西重点中 协作体高三下 期第一次联考】设向量，满足，，且，则向量在向量方向上的投影为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵，∴，∴．‎ ‎∴．设向量和向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影为．选D．‎ 例2．【2018四川绵阳南山中 高三二诊】已知是边长为2的正三角形，点为平面内一点，且，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【名师点睛】本题在求解过程中采用了建立平面直角坐标系的方法，先根据题目条件得出点点轨迹，然后利用三角函数换元，求得各向量的表示方法，借助辅助角公式进行化简，本题较为综合，运用了较多知识点．‎ 例3．【2018湖北武昌1月调研考试】设是半径为1的圆上的三点，且，则的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】以OA，OB所在直线分别为轴，轴，则，设，且，所以，由于，所以，当时，有最大值，选A．‎ ‎【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起 ，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；‎ ‎（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018福建漳州高三1月调研测试】已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a在b方向上的投影为(　　)‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设a与b的夹角为θ，由a⊥(a－b)，得a·(a－b)＝0，即a2－a·b＝0，即a2－|a|·|b|cosθ＝0，所以，所以向量a在b方向上的投影为．故选D．‎ ‎2．【2018新疆乌鲁木齐地区高三第一次质量监测】已知是圆的一条弦，长为2，则（ ）‎ A．1 B．-1 C．2 D．-2‎ ‎【答案】D ‎【解析】取中点，，故选．‎ 平面向量的长度与角度问题 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围是[]．‎ ‎2．的几何意义 等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积．在方向上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0．‎ ‎3．在中，与的夹角不是而是其补角．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．必备技能 ‎ ‎（1）利用数量积求解长度与角度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法 ‎ 设，基本公式为 ||＝，‎ cos〈〉＝．‎ 另外=，，是实现向量运算与实数运算相互转化的有力工具．‎ ‎（2）已知与为不共线向量，且与的夹角为θ，则 ① ·；‎ ② ·；‎ ③ ·．‎ 特别的 在利用两向量的夹角公式判断夹角的取值范围时，要注意两向量是否共线．[ ]‎ ‎2．典型例题 ‎ 例1．【2018河北衡水中 高三上 期九模】若非零向量满足 ‎，则下列不等式恒成立的为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】若两向量共线，则由于非零向量，且，∴必有=2；代入可知只有A．C满足；‎ 若两向量不共线，注意到向量模的几何意义，∴可以构造如图所示的三角形，使其满足OB=AB=BC；‎ 令=，=，则=，∴=且；又BA+BC>AC，‎ ‎∴+>，∴．‎ ‎【名师点睛】这个题目考查了向量加法的三角形法则，向量形式的三角形不等式法则，有一定的计算量．对于向量的小题常用的方法有 数形结合法，建系的方法，见模平方的意识，基底化的意识．‎ 例2．【2018四川绵阳高三上一诊】已知向量 =（x﹣1，2）， =（x，1），且∥，则=（　　）‎ A． B．2 C．2 D．3‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，所以，解得，则，；故选D．‎ ‎【名师点睛】利用平面向量的坐标形式判定向量共线或垂直是常见题型 ‎ 已知，则，．‎ 例3．【2018西藏拉萨高三一模】设向量，，且，则向量与的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018四川成都高三二诊】已知平面向量，夹角为，且，，则（ ）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据条件 ，∴，‎ ‎∴，故选A．‎ ‎2．【2018江西南康中 、于都中 高三模拟】若，且，则与的夹角为（ ）[ + + ]‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ，，故选A．‎ ‎3．【2018广东省深中、华附、省实、广雅四校联考】已知两个单位向量的夹角为，则的最小值为（ ）‎ A． B． C．1 D． ‎ ‎【答案】B ‎（一）选择题（12 5=60分）‎ ‎1．【2018安徽宣城三校（郎溪中 、宣城二中、广德中 ）联考】已知向量 ，．若共线，则的值是（ ）‎ A．-1 B．-2 C．1 D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，，且共线，∴，解得．故选B．‎ ‎2．【2018吉林辽 田家炳高级中 等五校高三上 期期末联考】如图所示，向量在一条直线上，且则(　 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据向量加法的三角形法则得到，化简得到．故答案为 D．‎ ‎3．【2017届山西运城市高三文上 期期中考试】已知向量，，若，则实数等于（ ）‎ A． B． C．或2 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由于两个向量平行，故．‎ ‎4．【2018天一大联考高中毕业班阶段性测试四】已知向量，，若，则向量与的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题可知 ，所以向量与的夹角为，故选D．[ ]‎ ‎5．【2018安徽皖南八校高三第二次（12月）联考】已知向量满足，，，则（ ）‎ A． B．3 C．5 D．9‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以，故选B．‎ ‎6．【2018湖北荆州中 、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三2月联考】已知为单位向量，，则的最大值为（ ）‎ A．1 B． C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】，选C．‎ ‎7．【2018华大新高考联盟高三1月模拟】在中，内角的对边分别为，已知向量，若且，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由余弦定理，得故选B．‎ ‎8．【2018陕西高三教 质量检测（一）】已知为所在平面内一点，，，则的面积等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据条件得知点P在三角形中位线的延长线上，三角形ABC是以B为直角的直角三角形，记AC中点为O点，OBPC按这一顺序构成平行四边形的四个边，并且是菱形，边长为2，故BC为2，此时三角形面积为 故选B．‎ ‎9．【2018浙江宁波统考】对于非零向量，定义运算“” ，其中为的夹角．设为非零向量，则下列说法错误的是（ ）‎ A． B． C．若，则 D．‎ ‎【答案】B ‎10．【2018河南商丘模拟】已知非零向量的夹角为，且，则（ ）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵，∴，即又非零向量的夹角为，∴，∴，故选A．‎ ‎11．【2018河北衡水中 高三上 期九模】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，，则点的轨迹经过的（ ）‎ A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 ‎【答案】A ‎【解析】设BC的中点为D，∵，‎ ‎∴=+，即=，两端同时点乘，‎ ‎∵•=λ（）=λ ‎（）=λ（﹣）=0，∴DP⊥BC，∴点P在BC的垂直平分线上，即P经过△ABC的外心，故选A．‎ ‎12．【2018福建龙岩高三毕业班教 质量检查】已知向量，满足，，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得 ，，两式相加可得 ‎ 如图所示，在平面直角坐标系中，，以坐标原点为圆心，为半径绘制单位圆，为圆的直径，则为满足题意的向量，其中，‎ 据此可得 ，，据此可得 ，，据此可得 ，‎ ‎，结合三角函数的性质可得 ‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 综上可得 的取值范围是 ．故选D．‎ ‎（二）填空题（4 5=20分）‎ ‎13．【2018广东深圳高三一调】已知向量，，若向量与平行，则____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，又与平行，，解得，故答案为．‎ ‎14．【2018上海崇明区高三一模】在中，边上的中垂线分别交于点．若，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，则， ，又，即，故答案为．‎ ‎15．【2018广东佛山顺德区高三下 期 情调研】单位向量与，，向量的长度为，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，夹角60°，则，设，‎ 所以，则最大值为．‎ ‎16．【2018新疆乌鲁木齐地区高三一诊】在中，，，是的外心，若，则________________．‎ ‎【答案】‎