【数学】2019届一轮复习北师大版换元法学案 11页

‎ 换元法又称辅助元素法、变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起 ，隐含的条件显露出 ；或者把条件与结论联系起 ；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.‎ 纵观近几年高考对于转化与化归思想的的考查，换元法是转化与化归思想中考查的重点和热点之一.换元法是解数 题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，使问题得到简化，变得容易处理.换元法的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是通过换元变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，可以把分散的条件联系起 ，隐含的条件显露出 ；或者把条件与结论联系起 ；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.主要考查运用换元法处理以函数、三角、不等式、数列、解析几何为背景的最值、值域或范围问题，通过换元法把不熟悉、不规范、复杂的典型问题转化为熟悉、规范、简单的典型问题，起到化隐形为显性、化繁为简、化难为易的作用，以优化解题过程.要用好换元法要求 生有较强转化与化归意识、严谨治 态度和准确的计算能力.从实际教 看，换元法是 生掌握最为模糊，知道方法但不会灵活运用的方法.分析原因，除了换元法比较灵活外，主要是 生没有真正掌握换元法的类型和运用其解题的题型与解题规律，以至于遇到需要换元的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现换元法的类型与相关题型作以总结和方法的探讨.‎ 换元的常见方法有 局部换元、三角换元等，在高考中换元法常适用以下几种类型 ‎ 1、 局部换元 ‎ 局部换元是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母 代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现.‎ ‎ 1.1对于形如的值域（最值）问题，令，化为一元二次函数在某个区间上的值域（最值）问题处理.‎ 例1．【2018届湖南省岳阳县第一中 高三上 期第一次月考】设函数，是定义域为R上的奇函数．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）已知，函数，，求的值域；‎ ‎（3）若，试问是否存在正整数，使得对 恒成立？若存在，请求出所有的正整数；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】试题分析 ‎ ‎ ]‎ ‎∴的值域．‎ ‎（3）=，，‎ 假设存在满足条件的正整数，则，‎ ‎①当时，．‎ ‎②当时，，则，令，则，易证在上是增函数，∴． ‎ ‎③当时，，则，令，则，易证在上是减函数，∴．[ ]‎ 综上所述，，∵是正整数，∴=3或4．‎ ‎∴存在正整数=3或4，使得对恒成立．‎ ‎1.2、分式型函数利用均值不等式求最值问题(局部换元)；‎ 例2．【2018届上海市长宁、嘉定区高三一模】已知函数．‎ ‎（1）求证 函数是偶函数；‎ ‎（2）设，求关于的函数在时的值域的表达式；‎ ‎（3）若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）（3）． ‎ 图像的对称轴为直线，‎ 当时，函数在时是增函数，值域为； ‎ 当时，函数在时是减函数，在时是增函数，值域为．‎ ‎1.3、常数换元 ‎ 例3.【2018届江苏省南京师范大 附属中 、天一、海门、淮阴四校高三联考】已知，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得，解得． ‎ ‎∴．‎ 答案 . ‎ ‎1.4.复合函数中的换元 ‎ 例4.已知函数，，其中且，．‎ ‎（I）若，且时，的最小值是－2,求实数的值；[ ]‎ ‎（II）若，且时，有恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎【解析】‎ 又∵，，∴，………………8分 ‎∴恒成立，………………9分 ‎∴.………………10分 令，‎ ‎∴.………………11分 故实数的取值范围为.…………………12分 ‎1.5.局部换元法与不等式 ‎ ‎ ‎ 局部换元法在解关于某个函数的不等式和复杂的不等式证明中，经常用到，通过换元将复杂的不等式问题转化为简单不等式、超越不等式化为一般不等式，将不熟悉的不等式问题转化为熟悉的不等式问题,如在解可化为形式为不等式时，常令，将复杂不等式化为一元二次不等式，解出t的范围，再解不等式关于的简单不等式.‎ 例5.【2018届甘肃省西北师范大 附属中 】在等腰梯形中，，其中，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意都有不等式恒成立，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 例6.【2018届福建省南平市高三上 期第一次综合质量检查（2月）】已知实数满足 ‎，求的取值范围__________．‎ ‎【答案】‎ ‎1.6 局部换元法与数列 在已知数列递推公式求出通项公式中，常用到构造等比或等差数列法，其实质就是换元法，证明与数列有关的不等式，其实质就是求数列的最值，也常用到换元法. ‎ 例7.已知在数列中，，当时，其前项和满足。‎ ‎(Ⅰ) 求的表达式；(Ⅱ) 设，数列的前项和．证明 ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 见解析. ‎ ‎1.7局部换元法与圆锥曲线联系 对圆锥曲线的最值问题或取值范围问题，常转化为函数的最值问题，当函数解析式较为复杂时，常用换元法进行转化.‎ 例8.等腰直角△内接于抛物线，为抛物线的顶点，，△的面积是16，抛物线的焦点为，若是抛物线上的动点，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为等腰直角△内接于抛物线，为抛物线的顶点， 所以，可设，得，将代入，得，抛物线的方程为，所以，设，则，设，则 ‎，时，“” 成立.故选C. ‎ 例9.平面内动点P(x，y)与两定点A(-2, 0), B(2,0)连线的斜率之积等于，若点P的轨迹为曲线E，过点 直线 交曲线E于M，N两点．‎ ‎（Ⅰ）求曲线E的方程，并证明 MAN是一定值；（Ⅱ）若四边形AMBN的面积为S，求S的最大值 ‎【答案】（Ⅰ）,证明见解析 (Ⅱ)16.‎ 设 在上单调递减．‎ ‎ 由，得 =0，此时有最大值16.‎ ‎2.三角换元 在求函数值域（最值）或不等式证明中，若变量范围为（0,1）或[-1,1] ，利用与三角函数值域相似性，可设或；若二元函数二元满足的条件可化为平方和为1的形式,利用与正余弦的平方和为1的相似性，可以用三角代换，化二元函数为三角函数的值域（最值）问题求解，把二元函数化为一元函数，把不熟悉的二元函数函数问题转化为熟悉的三角函数问题，实质上圆的参数方程，椭圆的参数方程就是三角代换，利用三角换元，可以去根号，也可以把二元函数化为一元函数求解.如求函数y＝＋的值域时，易发现x∈[0,1]，设，α∈[0,]，问题变成了熟悉的求三角函数值域.‎ ‎ 例10.设实数x，y，m，n满足x2＋y2＝1，m2＋n2＝3，那么mx＋ny的最大值是(　　)‎ ‎ A.　　　 　B．2　　　 　C.　　　 　D. ‎【答案】A.‎ ‎【解析】设x＝sinα，y＝cosα，m＝sinβ，n＝cosβ，其中α，β∈(0°，180°)．‎ ‎∴mx＋ny＝sinβsinα＋cosβcosα＝cos(α－β)．故选A项． ‎ 例11.已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.‎ ‎ (1)求y－x的最大值和最小值；(2)求x2＋y2的最大值和最小值；‎ ‎【答案】（1）最小值－，最大值.（2）最大值，最小值.‎ ‎【反思提升】（1）在用换元法处理不等式时，先将不等式化简看是否是某个函数的不等式问题，若是，常将这个函数换元.（2）在利用构造法求数列通项公式时，常用换元法.（3）对复合函数的零点问题或关于某个函数的方程解得个数问题，常用换元法，令内函数为t或方程中的函数为t,把复合函数的零点问题转化为外函数的零点问题和内函数已知函数值求值问题；将复杂方程转化为两个简单方程问题.‎