2012年山东高考试题（理数解析版） 12页

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）‎ 数学（理科）‎ 本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。‎ ‎2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。‎ ‎3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ 参考公式：‎ 锥体的体积公式：V=Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。‎ 如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P(B)；如果事件A,B独立，那么P（AB）=P（A）·P（B）。‎ 第I卷（共60分）‎ 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1 若复数x满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位)，则z为 A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i ‎ 解析：.答案选A。‎ 另解：设，则 根据复数相等可知，解得，于是。‎ ‎2 已知全集={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4} ，则（CuA）B为 A {1,2,4} B {2,3,4}‎ C {0,2,4} D {0,2,3,4}‎ 解析：。答案选C。‎ ‎ 3 设a＞0 a≠1 ，则“函数f(x)= ax在R上是减函数 ”，是“函数g(x)=(2-a) 在R上是增函数”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 [来源:学,科,网Z,X,X,K]‎ C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解析：p：“函数f(x)= ax在R上是减函数 ”等价于；q：“函数g(x)=(2-a) 在R上是增函数”等价于，即且a≠1，故p是q成立的充分不必要条件.‎ ‎ 答案选A。‎ ‎（4）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为 ‎（A）7 （B） 9 （C） 10 （D）15‎ 解析：采用系统抽样方法从960人中抽取32人，将整体分成32组，每组30人，即，第k组的号码为，令，而，解得，则满足的整数k有10个，故答案应选C。‎ 解析：作出可行域，直线，将直线平移至点处有最大值，‎ 点处有最小值，即.答案应选A。‎ ‎（6）执行下面的程序图，如果输入a=4，那么输出的n的值为 ‎（A）2（B）3（C）4（D）5‎ 解析：；‎ ‎；‎ ‎，。‎ 答案应选B。‎ ‎(7)若，，则sin=‎ ‎（A）（B）（C）（D）‎ 解析：由可得，‎ ‎，‎ ‎，答案应选D。‎ 另解：由及可得 ‎，‎ 而当时，结合选项即可得.答案应选D。‎ ‎（8）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）2，当-1≤x＜3时，f（x）=x。则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=‎ ‎（A）335（B）338（C）1678（D）2012‎ 解析：，而函数的周期为6，‎ ‎.‎ 答案应选B ‎(9)函数的图像大致为 解析：函数，为奇函数，‎ 当，且时；当，且时；‎ 当，，；当，，.‎ 答案应选D。‎ ‎（10）已知椭圆C：的离心率为，双曲线x²-y²＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为 解析：双曲线x²-y²＝1的渐近线方程为，代入可得，则，又由可得，则，‎ 于是。椭圆方程为，答案应选D。‎ ‎（11）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为 ‎（A）232 (B)252 (C)472 (D)484‎ 解析：,答案应选C。‎ 另解：.‎ ‎(12)设函数（x）=，g（x）=ax2+bx若y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点A（x1,y1）,B(x2,y2),则下列判断正确的是 A.当a<0时，x1+x2<0,y1+y2>0‎ B. 当a<0时, x1+x2>0, y1+y2<0‎ C.当a>0时，x1+x2<0, y1+y2<0‎ D. 当a>0时，x1+x2>0, y1+y2>0‎ 解析:令，则，设，‎ 令，则，要使y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点只需，整理得，于是可取来研究，当时，，解得，此时，此时；当时，，解得，此时，此时.答案应选B。‎ 另解：令可得。‎ 设 不妨设，结合图形可知，‎ 当时如右图，此时，‎ 即，此时，，即；同理可由图形经过推理可得当时.答案应选B。‎ ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。‎ ‎（13）若不等式的解集为，则实数k=__________。‎ 解析：由可得，即，而，所以.‎ 另解：由题意可知是的两根，则，解得.‎ ‎（14）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E,F分别为线段AA1,B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为____________。‎ 解析：.‎ ‎（15）设a＞0.若曲线与直线x＝a，y=0所围成封闭图形的面积为a，则a=______。‎ 解析：，解得.[来源:Zxxk.Com]‎ C D ‎（16）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P的位置在（0,0），圆在x轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于（2,1）时，的坐标为______________。‎ 解析：根据题意可知圆滚动了2单位个弧长，点P旋转 了弧度，此时点的坐标为[来源:Z*xx*k.Com]‎ ‎.‎ 另解1：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为，且，则点P的坐标为，即 ‎.（lby lfx）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知向量，函数的最大值 为6．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）将函数的图像向左平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩 短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求在 ‎ 上的值域．‎ ‎（17）解：（Ⅰ）‎ ‎ 因为 ，‎ 由题意知 ．‎ ‎ （Ⅱ）由（I）‎ ‎ 将的图象向左平移个单位后得到 ‎ 的图象；‎ 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到 ‎ 的图象．‎ ‎ 因此 ‎，‎ ‎ 因为 ‎ ‎，‎ 所以 ‎ ‎，‎ 所以 ‎ ‎，‎ ‎ 所以在上的值域为．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，‎ ‎ 平面，‎ ‎ ．‎ ‎（Ⅰ）求证平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值．‎ ‎（18）（Ⅰ）证明：因为四边形为等腰梯形，，，‎ ‎ 所以 ．‎ ‎ 又 ，‎ ‎ 所以 ‎ ‎ 因此 ，，‎ ‎ 又 ，且，平面，‎ ‎ 所以 平面．‎ ‎ （Ⅱ）解法一：‎ ‎ 由（I）知，所以，又平面，‎ ‎ 因此 两两垂直．以为坐标原点，分别以所在的直 线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，‎ ‎ ，，，，‎ ‎ 因此 ，．‎ ‎ 设平面的一个法向量为，‎ ‎ 则 ，，‎ ‎ 所以 ，取，‎ ‎ 则 ．‎ ‎ 又平面的法向量可以取为，‎ ‎ 所以 ，‎ ‎ 所以二面角的余弦值为．‎ ‎ 解法二：‎ ‎ 取的中点，连结，由于，‎ 所以．‎ ‎ 又平面，平面，‎ 所以．‎ ‎ 由于，平面，‎ 所以平面，故．‎ 所以为二面角的平面角．‎ ‎ 在等腰三角形中，由于，‎ ‎ 因此，又，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 故 ,‎ 因此 二面角的余弦值为．‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ ‎ 现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得 ‎0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该 射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．‎ ‎（Ⅰ）求该射手恰好命中一次的概率；‎ ‎（Ⅱ）求该射手的总得分的分布列及数学期望．‎ ‎（19）解：（Ⅰ）记“该射手恰好命中一次”为事件；“该射手设计甲靶命中”为事件；“该射 手第一次射击乙靶命中”为事件；“该射手第二次射击乙靶命中”为事件．‎ ‎ 由题意知，，，‎ ‎ 由于，根据事件的独立性与互斥性得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）根据题意，的所以可能取值为．‎ ‎ 根据事件的独立性和互斥性得 ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎ 所以．‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ ‎ 在等差数列中，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列 的前项和．‎ ‎（20）解：（Ⅰ）因为是一个等差数列，‎ 所以，即．‎ 所以，数列的公差，‎ 所以，‎ ‎ （Ⅱ）对，若 ，‎ 则 ，因此 ，‎ 故得 （lb ylfx）‎ 于是 ‎ ‎（21）（本小题满分13分）‎ 在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上 位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线 的距离为．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在点，使得直线与抛物线相切于点若存在，求出点的坐标；‎ 若不存在，说明理由；‎ ‎（Ⅲ）若点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点，与 圆有两个不同的交点，求当时，的最小值．‎ ‎（21）解：‎ ‎（Ⅰ）依题线段为圆的弦，由垂径定理知圆心的纵坐标，‎ 又到抛物线准线的距离为，所以. ‎ 所以为所求.‎ ‎（Ⅱ）假设存在点，，又，，设，.变形为 因为直线为抛物线的切线，故，解得，‎ 即，.‎ 又取中点，，由垂径定理知，‎ 所以，，，所以存在，.‎ ‎（Ⅲ）依题，，圆心，，圆的半径，‎ ‎ 圆心到直线的距离为，‎ 所以，.‎ 又联立，‎ 设，，，，则有，. ‎ 所以，.‎ 于是，‎ ‎ ‎ 记，‎ ‎，所以在，上单增，‎ 所以当，取得最小值，‎ 所以当时，取得最小值.‎ ‎（22）（本小题满分13分）‎ 已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线 在点处的切线与轴平行．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）设，其中是的导函数．证明：对任意，‎ ‎．‎ ‎（22）解：‎ ‎（Ⅰ），依题意，为所求.‎ ‎（Ⅱ）此时 ‎ 记，，所以在，单减，又，‎ ‎ 所以，当时，，，单增；‎ ‎ 当 时，，，单减.‎ ‎ 所以，增区间为（0，1）；‎ 减区间为（1，.‎ ‎（Ⅲ），先研究，再研究.‎ ‎ ① 记，，令，得，‎ ‎ 当，时，，单增；‎ ‎ 当，时，，单减 .‎ ‎ 所以，，即.‎ ‎ ② 记，，所以在,单减，‎ 所以，，即 ‎ 综①、②知，.‎