高考数学专题复习练习第4讲 数列求和 7页

第4讲 数列求和 一、选择题 ‎1.在等差数列中，,则的前5项和=( )‎ A.7 B‎.15 C.20 D.25 ‎ 解析 .‎ 答案　B ‎2．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝(　　)．‎ A．15 B．‎12 ‎‎ ‎ C．－12 D．－15‎ 解析　设bn＝3n－2，则数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9)＋b10＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝5×3＝15.‎ 答案　A ‎3．在数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和为，则项数n为(　　)．‎ A．2 011 B．2 ‎012 ‎ C．2 013 D．2 014‎ 解析　∵an＝＝－，∴Sn＝1－＝＝，解得n＝2 013.‎ 答案　C ‎4．数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为(　　)．‎ A．3 690 B．3 ‎660 ‎ C．1 845 D．1 830‎ 解析　当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝4k－1，‎ 当n＝2k－1时，a2k－a2k－1＝4k－3，‎ ‎∴a2k＋1＋a2k－1＝2，∴a2k＋1＋a2k＋3＝2，‎ ‎∴a2k－1＝a2k＋3，∴a1＝a5＝…＝a61.‎ ‎∴a1＋a2＋a3＋…＋a60＝(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a60＋a61)＝3＋7＋11＋…‎ ‎＋(4×30－1)＝＝30×61＝1 830.‎ 答案　D ‎5. 已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，令bn＝(a1＋a2＋…＋an)，则数列{bn}的前10项和T10＝(　　)‎ A．70 B．75‎ C．80 D．85‎ 解析 由已知an＝2n＋1，得a1＝3，a1＋a2＋…＋an＝＝n(n＋2)，‎ 则bn＝n＋2，T10＝＝75，故选B.‎ 答案　B ‎6．数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝(　　)．‎ A. B．‎6 ‎ C．10 D．11‎ 解析　依题意得an＋an＋1＝an＋1＋an＋2＝，则an＋2＝an，即数列{an}中的奇数项、偶数项分别相等，则a21＝a1＝1，S21＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)＋a21＝10(a1＋a2)＋a21＝10×＋1＝6，故选B.‎ 答案　B 二、填空题 ‎7．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.‎ 解析　设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q3，代入数据解得q3＝－8，所以q＝－2；等比数列{|an|}的公比为|q|＝2，则|an|＝×2n－1，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝(2n－1)＝2n－1－.‎ 答案　－2　2n－1－ ‎8．等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝________.‎ 解析　当n＝1时，a1＝S1＝1，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，‎ 又∵a1＝1适合上式．∴an＝2n－1，∴a＝4n－1.‎ ‎∴数列{a}是以a＝1为首项，以4为公比的等比数列．‎ ‎∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．‎ 答案　(4n－1)‎ ‎9．已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列的前n项和Sn＝________.‎ 解析　设等比数列{an}的公比为q，则＝q3＝27，解得q＝3.所以an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n，故bn＝log3an＝n，‎ 所以＝＝－.‎ 则Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.‎ 答案　 ‎10．设f(x)＝，利用倒序相加法，可求得f＋f＋…＋f的值为________．‎ 解析　当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)＝＋＝＝1.‎ 设S＝f＋f＋…＋f，倒序相加有2S＝＋＋…＋f＋f＝10，即S＝5.‎ 答案　5‎ 三、解答题 ‎11．等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1‎ ‎＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.‎ ‎(1)求an与bn；‎ ‎(2)求＋＋…＋.‎ 解　(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.‎ 依题意有 解得或(舍去)‎ 故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.‎ ‎(2)Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，‎ 所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋ ‎＝ ‎＝ ‎＝－.‎ ‎12．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝log(3an＋1)时，求数列的前n项和Tn.‎ 解　(1)由已知得 得到an＋1＝an(n≥2)．‎ ‎∴数列{an}是以a2为首项，以为公比的等比数列．‎ 又a2＝S1＝a1＝，‎ ‎∴an＝a2×n－2＝n－2(n≥2)．‎ 又a1＝1不适合上式，∴an＝ ‎(2)bn＝log(3an＋1)＝log＝n.‎ ‎∴＝＝－.‎ ‎∴Tn＝＋＋＋…＋ ‎＝＋＋＋…＋ ‎＝1－＝.‎ ‎13．设数列{an}满足a1＋‎3a2＋‎32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项；‎ ‎(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 思维启迪：(1)由已知写出前n－1项之和，两式相减．(2)bn＝n·3n的特点是数列{n}与{3n}之积，可用错位相减法．‎ 解　(1)∵a1＋‎3a2＋‎32a3＋…＋3n－1an＝， ①‎ ‎∴当n≥2时，‎ a1＋‎3a2＋‎32a3＋…＋3n－2an－1＝， ②‎ ‎①－②得3n－1an＝，∴an＝.‎ 在①中，令n＝1，得a1＝，适合an＝，∴an＝.‎ ‎(2)∵bn＝，∴bn＝n·3n.‎ ‎∴Sn＝3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n， ③‎ ‎∴3Sn＝32＋2×33＋3×34＋…＋n·3n＋1. ④‎ ‎④－③得2Sn＝n·3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)，‎ 即2Sn＝n·3n＋1－，∴Sn＝＋.‎ 探究提高　解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列{3n－1an}的前n 项和，从而利用an与Sn的关系求出通项3n－1an，进而求得an；另外乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法，但值得注意的是，这种方法运算过程复杂，运算量大，应加强对解题过程的训练，重视运算能力的培养．‎ ‎14．将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：‎ a1‎ a‎2　‎a‎3　‎a4‎ a‎5　‎a‎6　‎a‎7　‎a‎8　‎a9‎ ‎…‎ 已知表中的第一列数a1，a2，a5，…构成一个等差数列，记为{bn}，且b2＝4，b5＝10.表中每一行正中间一个数a1，a3，a7，…构成数列{cn}，其前n项和为Sn.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a13＝1.‎ ‎①求Sn；‎ ‎②记M＝{n|(n＋1)cn≥λ，n∈N*}，若集合M的元素个数为3，求实数λ的取值范围．‎ 解　(1)设等差数列{bn}的公差为d，‎ 则解得 所以bn＝2n.‎ ‎(2)①设每一行组成的等比数列的公比为q.‎ 由于前n行共有1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2个数，且32<13<42，a10＝b4＝8，‎ 所以a13＝a10q3＝8q3，又a13＝1，所以解得q＝.‎ 由已知可得cn＝bnqn－1，因此cn＝2n·n－1＝.‎ 所以Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝＋＋＋…＋，‎ Sn＝＋＋…＋＋，‎ 因此Sn＝＋＋＋…＋－＝4－－＝4－，‎ 解得Sn＝8－.‎ ‎②由①知cn＝，不等式(n＋1)cn≥λ，可化为≥λ.‎ 设f(n)＝，‎ 计算得f(1)＝4，f(2)＝f(3)＝6，f(4)＝5，f(5)＝.‎ 因为f(n＋1)－f(n)＝，‎ 所以当n≥3时，f(n＋1)