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- 2021-06-10 发布
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第八章 第一节 直线的倾斜角与斜率
课下练兵场
命 题 报 告
难度及题号
知识点
容易题
(题号)
中等题
(题号)
稍难题
(题号)
直线的倾斜角
3
直线的斜率及其应用
7
5、12
9
两条直线的平行和垂直
1、2
4、6、8、10
11
一、选择题
1.(2010·长沙模拟)“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:由1×1-a=0,得a=1,∴为充要条件.
答案:C
2.已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a等于 ( )
A.2 B.1
C.0 D.-1
解析:由题知(a+2)a=-1⇒a2+2a+1=(a+1)2=0,∴a=-1.也可以代入检验.
答案:D
3.若直线l的斜率k的变化范围是[-1,],则它的倾斜角的变化范围是 ( )
A.[-+kπ,+kπ](k∈Z)
B.[-,]
C.[-,-]
D.[0,]∪[,π)
解析:由-1≤k≤,
即-1≤tanα≤,
∴α∈[0,]∪[,π).
答案:D
4.(2010·株州模拟)“m=-1”是“直线mx+(2m-1)y+1=0和直线3x+my+3=0垂直”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:当m=-1时,两条直线方程为x+3y-1=0和3x-y+3=0,显然两直线垂直,充分性成立.反之,当这两直线垂直时,3m+m(2m-1)=0得m=0或-1,必要性不成立.
答案:A
5.(2010·绵阳模拟)已知直线l1:y=2x+3,若直线l2与l1关于直线x+y=0对称,又直线l3⊥l2,则l3的斜率为 ( )
A.-2 B.- C. D.2
解析:本题解题思路是由直线的对称性先确定直线l2的斜率,再由两条直线垂直的条件得出有关直线的斜率.依题意得,直线l2的方程是-x=2×(-y)+3,即y=x+,其斜率是.由l3⊥l2得l3的斜率等于-2.
答案:A
6.已知直线l的倾斜角为π,直线l1经过点A(3,2)和B(a,-1),且直线l1与直线l垂直,直线l2的方程为2x+by+1=0,且直线l2与直线l1平行,则a+b等于 ( )
A.-4 B.-2 C.0 D.2
解析:由直线l的倾斜角得l的斜率为-1,l1的斜率为.∵直线l与l1垂直,∴=1,得a=0.又直线l2的斜率为-,∵l1∥l2,∴-=1,b=-2.因此a+b=-2.
答案:B
二、填空题
7.给定三点A(0,1),B(a,0),C(3,2),直线l经过B、C两点,且l垂直AB,则a的值为________.
解析:由题意知AB⊥BC,则·=-1,
解得a=1或2.
答案:1或2
8.(2010·淮安模拟)已知直线l1:x+ay+6=0和l2:(a-2)x+3y+2a=0,则l1∥l2的充要条件是a=________.
解析:由a(a-2)=1×3且a×2a≠3×6,∴a=-1.
答案:-1
9.已知直线l的斜率为k,经过点(1,-1),将直线向右平移3个单位,再向上平移2个单位,得到直线m,若直线m不经过第四象限,则直线l的斜率k的取值范围是________.
解析:依题意可设直线l的方程为y+1=k(x-1),即y=kx-k-1,将直线l向右平移3个单位,得到直线y=k(x-3)-k-1,再向上平移2个单位得到直线m:y=k(x-3)-k-1+2,即y=kx-4k+1.由于直线m不经过第四象限,所以应有解得0≤k≤.
答案:0≤k≤
三、解答题
10.已知两直线l1:x+ysinθ-1=0和l2:2xsinθ+y+1=0,试求θ的值,使得:(1)l1∥l2;(2)l1⊥l2.
解:(1)法一:当sinθ=0时,l1的斜率不存在,l2的斜率为零,l1显然不平行于l2.
当sinθ≠0时,k1=-,k2=-2sinθ,
欲使l1∥l2,只要-=0-2sinθ,sinθ=±,
∴θ=kπ±,k∈Z,此时两直线截距不相等.
∴当θ=kπ±,k∈Z时,l1∥l2.
法二:由A1B2-A2B1=0,
即2sin2θ-1=0,得sin2θ=,
∴sinθ=±,由B1C2-B2C1≠0,
即1+sinθ≠0,即sinθ≠-1,
得θ=kπ±,k∈Z,
∴当θ=kπ±,k∈Z时,l1∥l2.
(2)∵A1A2+B1B2=0是l1⊥l2的充要条件,
∴2sinθ+sinθ=0,
即sinθ=0,∴θ=kπ(k∈Z),
∴当θ=kπ,k∈Z时,l1⊥l2.
11.已知l1:(a2-1)x+ay-1=0,l2:(a-1)x+(a2+a)y+2=0,若l1∥l2,求a的值.
解:当a=0时,l1:x=-1,l2:x=2,
此时l1∥l2,∴a=0满足题意;
当a2+a=0,即a=0(舍去)或a=-1时,
l1:y=-1,l2:x=1,此时l1⊥l2,
∴a=-1不满足题意;
当a≠0且a≠-1时,kl1=,kl2=,
∵l1∥l2,
∴=,
即1-a=(1-a)(1+a)2,解得a=1或a=-2.
当a=1时,l1:y=1,l2:y=-1,l1、l2不重合;
当a=-2时,l1:3x-2y-1=0,l2:-3x+2y+2=0,
l1、l2不重合.
∴a=1或a=-2满足题意.
综上所述,a=0或a=1或a=-2.
12.已知点M(2,2),N(5,-2),点P在x轴上,分别求满足下列条件的P点坐标.
(1)∠MOP=∠OPN(O是坐标原点).
(2)∠MPN是直角.
解:设P(x,0),
(1)∵∠MOP=∠OPN,
∴OM∥NP.
∴kOM=kNP.
又kOM==1,
kNP==(x≠5),
∴1=,∴x=7,
即P(7,0).
(2)∵∠MPN=90°,∴MP⊥NP,
∴kMP·kNP=-1.
又kMP=(x≠2),kNP=(x≠5),
∴×=-1,
解得x=1或x=6,
即P(1,0)或(6,0).