高考数学专题复习练习第2讲 函数的单调性与最值 5页

第2讲 函数的单调性与最值 一、选择题 ‎1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)内单调递减的函数是 ‎(　　)．‎ A．y＝x2 B．y＝|x|＋1‎ C．y＝－lg|x| D．y＝2|x|‎ 解析　对于C中函数，当x>0时，y＝－lg x，故为(0，＋∞)上的减函数，且y＝－lg |x|为偶函数．‎ 答案　C ‎2．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|x|)＜f(1)的实数x的取值范围是(　　)‎ A．(－1,1) B．(0,1)‎ C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ 解析　∵f(x)在R上为减函数且f(|x|)＜f(1)，‎ ‎∴|x|＞1，解得x＞1或x＜－1.‎ 答案　D ‎3．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是(　　)‎ A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增 解析 ∵y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，‎ ‎∴a<0，b<0，∴y＝ax2＋bx的对称轴方程x＝－<0，‎ ‎∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上为减函数．‎ 答案 B ‎4．设函数f(x)＝g(x)＝x‎2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是 (　　)．‎ A．(－∞，0] B．[0,1)‎ C．[1，＋∞) D．[－1,0]‎ 解析　g(x)＝如图所示，其递减区间是[0,1)．故选B.‎ 答案　B ‎5．函数y＝－x2＋2x－3(x＜0)的单调增区间是(　　)‎ A．(0，＋∞) B．(－∞，1]‎ C．(－∞，0) D．(－∞，－1]‎ 解析　二次函数的对称轴为x＝1，又因为二次项系数为负数，拋物线开口向下，对称轴在定义域的右侧，所以其单调增区间为(－∞，0)．‎ 答案　C ‎6．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝2－|x|，当K＝时，函数fK(x)的单调递增区间 为 (　　)．‎ A．(－∞，0) B．(0，＋∞) ‎ C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)‎ 解析　f(x)＝⇔‎ f(x)＝ f(x)的图象如右图所示，因此f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)．‎ 答案　C 二、填空题 ‎7．设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(a)，则g(a)＝________.‎ 解析　∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴对称轴为直线x＝1.‎ 当－2≤a<1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，ymin＝a2－‎2a；当a≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，ymin＝－1.‎ 综上，g(a)＝ 答案　 ‎8．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是_______．‎ 解析 y＝－(x－3)|x|‎ ‎＝ 作出该函数的图像，观察图像知递增区间为.‎ 答案 ‎9．已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是________．‎ 解析　①当a＝0时，f(x)＝－12x＋5在(－∞，3)上为减函数；②当a＞0时，要使f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则对称轴x＝必在x＝3的右边，即≥3，故0＜a≤；③当a＜0时，不可能在区间(－∞，3)上恒为减函数．综合知：a的取值范围是.‎ 答案　 ‎10．已知函数f(x)＝(a是常数且a>0)．对于下列命题：‎ ‎①函数f(x)的最小值是－1；‎ ‎②函数f(x)在R上是单调函数；‎ ‎③若f(x)>0在上恒成立，则a的取值范围是a>1；‎ ‎④对任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有 f<.‎ 其中正确命题的序号是____________．‎ 解析　根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f(x)在R上不是单调函数，故②错误；若f(x)>0在上恒成立，则‎2a×－1>0，a>1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)‎ 上对任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f<成立，故④正确．‎ 答案　①③④‎ 三、解答题 ‎11．求函数y＝a1－x2(a>0且a≠1)的单调区间．‎ 解 当a>1时，函数y＝a1－x2在区间[0，＋∞)上是减函数，在区间(－∞，0]上是增函数；‎ 当0x1≥2，则f(x1)－f(x2)＝x＋－x－＝[x1x2(x1＋x2)－a]，‎ 由x2>x1≥2，得x1x2(x1＋x2)>16，x1－x2<0，‎ x1x2>0.‎ 要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，‎ 只需f(x1)－f(x2)<0，‎ 即x1x2(x1＋x2)－a>0恒成立，则a≤16.‎ ‎13．已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.‎ ‎(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；‎ ‎(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．‎ 解　(1)当a>0，b>0时，因为a·2x，b·3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增；当a<0，b<0时，因为a·2x，b·3x都单调递减，所以函数f(x)单调递减．‎ ‎(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0.‎ ‎(i)当a<0，b>0时，x>－，‎ 解得x>log；‎ ‎(ii)当a>0，b<0时，x<－，‎ 解得x0时，f(x)>1.‎ ‎(1)求证：f(x)是R上的增函数；‎ ‎(2)若f(4)＝5，解不等式f(‎3m2‎－m－2)<3.‎ 解 (1)证明　设x1，x2∈R，且x10，∴f(x2－x1)>1.‎ f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)‎ ‎＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0.‎ ‎∴f(x2)>f(x1)．即f(x)是R上的增函数．‎ ‎(2)　∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，‎ ‎∴f(2)＝3，‎ ‎∴原不等式可化为f(‎3m2‎－m－2)