高考数学专题复习课件：12-3 几何概型 56页

§ 12.3 　几何概型 [ 考纲要求 ] 　 1. 了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率 .2. 了解几何概型的意义． 1 ．几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 _____ (_____ 或 _____ ) 成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为 _________ ． 长度 面积 体积 几何概型 3 ．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1) 无限性：在一次试验中，可能出现的结果有 ________ ； (2) 等可能性：每个结果的发生具有 _________ ． 无限多个 等可能性 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 在一个正方形区域内任取一点的概率是零． ( 　　 ) (2) 几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等． ( 　　 ) (3) 在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形． ( 　　 ) 【 答案 】 (1) √ 　 (2) √ 　 (3) √ 　 (4) √ 　 (5) × 　 (6) × 【 答案 】 B 【 答案 】 A 3 ． (2014· 辽宁 ) 若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中，其中 AB ＝ 2 ， BC ＝ 1 ，则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是 ( 　　 ) 【 答案 】 B 4 ． (2014· 福建 ) 如图，在边长为 1 的正方形中随机撒 1 000 粒豆子，有 180 粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 ________ ． 【 答案 】 0.18 5 ． ( 教材改编 ) 如图，圆中有一内接等腰三角形．假设你在图中随机撒一把黄豆，则它落在阴影部分的概率为 ________ ． 题型一　与长度、角度有关的几何概型 【 例 1 】 (1)(2015· 重庆 ) 在区间 [0 ， 5] 上随机地选择一个数 p ，则方程 x 2 ＋ 2 px ＋ 3 p － 2 ＝ 0 有两个负根的概率为 ________ ． (2) (2016· 山东 ) 在 [ － 1 ， 1] 上随机地取一个数 k ，则事件 “ 直线 y ＝ kx 与圆 ( x － 5) 2 ＋ y 2 ＝ 9 相交 ” 发生的概率为 ________ ． 【 引申探究 】 若本例 (3) 中 “ 在 ∠ BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M ” 改为 “ 在线段 BC 上找一点 M ” ，求 BM ＜ 1 的概率． 【 方法规律 】 求解与长度、角度有关的几何概型的方法 求与长度 ( 角度 ) 有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度 ( 角度 ) ，然后求解．要特别注意 “ 长度型 ” 与 “ 角度型 ” 的不同．解题的关键是构建事件的区域 ( 长度或角度 ) ． 跟踪训练 1 (1) 如图，在直角坐标系内，射线 OT 落在 30 ° 角的终边上，任作一条射线 OA ，则射线 OA 落在 ∠ yOT 内的概率为 ________ ． 【 答案 】 B 【 答案 】 D 命题点 3 　与定积分交汇命题的问题 【 例 4 】 (2015· 福建 ) 如图，点 A 的坐标为 (1 ， 0) ，点 C 的坐标为 (2 ， 4) ，函数 f ( x ) ＝ x 2 . 若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ________ ． 【 方法规律 】 求解与面积有关的几何概型的注意点 求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解． (2) (2016· 课标全国 Ⅱ ) 从区间 [0 ， 1] 随机抽取 2 n 个数 x 1 ， x 2 ， … ， x n ， y 1 ， y 2 ， … ， y n ，构成 n 个数对 ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) ， … ， ( x n ， y n ) ，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 π 的近似值为 ( 　　 ) (3) (2017· 武汉武昌区元月调研 ) 如图，矩形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A (0 ，－ 1) ， B ( π ，－ 1) ， C ( π ， 1) ， D (0 ， 1) ，正弦曲线 f ( x ) ＝ sin x 和余弦曲线 g ( x ) ＝ cos x 在矩形 ABCD 内交于点 F ，向矩形 ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是 ( 　　 ) 【 解析 】 (1) 由函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ 2 ax － b 2 ＋ π 2 有零点，可得 Δ ＝ (2 a ) 2 － 4( － b 2 ＋ π 2 ) ≥ 0 ，整理得 a 2 ＋ b 2 ≥ π 2 ，如图所示， ( a ， b ) 可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为 Ω ＝ {( a ， b )| － π ≤ a ≤ π ，－ π ≤ b ≤ π } ，其面积 S Ω ＝ (2 π ) 2 ＝ 4 π 2 . 事件 A 表示函数 f ( x ) 有零点，所构成的区域为 M ＝ {( a ， b )| a 2 ＋ b 2 ≥ π 2 } ， 即图中阴影部分，其面积为 S M ＝ 4 π 2 － π 3 ， 【 答案 】 (1)B 　 (2)C 　 (3)B 题型三　与体积有关的几何概型 【 例 5 】 在棱长为 2 的正方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 内随机取一点 P ，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 ________ ． 【 方法规律 】 求解与体积有关问题的注意点 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积 ( 总空间 ) 以及事件的体积 ( 事件空间 ) ，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求． 跟踪训练 3 如图，在长方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥 A A 1 BD 内的概率为 ________ ． 易错警示系列 18 混淆长度型与面积型几何概型致误 【 典例 】 ( 12 分 ) 在长度为 1 的线段上任取两点，将线段分成三段，试求这三条线段能构成三角形的概率． 【 易错分析 】 不能正确理解题意，无法找出准确的几何度量来计算概率． 【 规范解答 】 设 x 、 y 表示三段长度中的任意两个． 因为是长度，所以应有 0 ＜ x ＜ 1 ， 0 ＜ y ＜ 1 ， 0 ＜ x ＋ y ＜ 1 ， 即 ( x ， y ) 对应着坐标系中以 (0 ， 1) 、 (1 ， 0) 和 (0 ， 0) 为顶点的三角形内的点，如图所示． (4 分 ) 【 温馨提醒 】 解决几何概型问题的易误点： (1) 不能正确判断事件是古典概型还是几何概型，导致错误． (2) 利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否具有等可能性，导致错误 . ► 方法与技巧 1 ．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个． 2 ．转化思想的应用 对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式． (1) 一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可； (2) 若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型； (3) 若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型． ► 失误与防范 1 ．准确把握几何概型的 “ 测度 ” 是解题关键； 2 ．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果 .