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  • 2021-06-10 发布

【数学】2020届一轮复习苏教版正弦定理和余弦定理学案

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‎§4.6 正弦定理和余弦定理 考情考向分析 以利用正弦、余弦定理和三角形面积公式解三角形为主,常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查,加强数形结合思想的应用意识.题型多样,中档难度.‎ ‎1.正弦定理、余弦定理 在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ‎(1)===2R ‎(2)a2=b2+c2-2bccos A;‎ b2=c2+a2-2cacos B;‎ c2=a2+b2-2abcos C 变形 ‎(3)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;‎ ‎(4)sin A=,sin B=,sin C=;‎ ‎(5)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;‎ ‎(6)asin B=bsin A,‎ bsin C=csin B,‎ asin C=csin A ‎(7)cos A=;‎ cos B=;‎ cos C= ‎2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a=bsin A bsin Ab 解的个数 一解 两解 一解 一解 ‎3.三角形常用面积公式 ‎(1)S=a·ha(ha表示边a上的高);‎ ‎(2)S=absin C=acsin B=bcsin A;‎ ‎(3)S=r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径).‎ 概念方法微思考 ‎1.在△ABC中,∠A>∠B是否可推出sin A>sin B?‎ 提示 在△ABC中,由∠A>∠B可推出sin A>sin B.‎ ‎2.如图,在△ABC中,有如下结论:bcos C+ccos B=a.试类比写出另外两个式子.‎ 提示 acos B+bcos A=c;‎ acos C+ccos A=b.‎ 题组一 思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( × )‎ ‎(2)当b2+c2-a2>0时,三角形ABC为锐角三角形.( × )‎ ‎(3)在△ABC中,=.( √ )‎ ‎(4)在三角形中,已知两边和一角就能求三角形的面积.( √ )‎ 题组二 教材改编 ‎2.[P9T2]在△ABC中,AB=,A=75°,B=45°,则AC= .‎ 答案 2‎ 解析 C=180°-75°-45°=60°,‎ 由正弦定理得=,‎ 即=,‎ 解得AC=2.‎ ‎3.[P11T6]在△ABC中,A=60°,b=1,面积为,则边长c= .‎ 答案 4‎ 解析 ∵A=60°,b=1,面积为=bcsin A=×1×c×,∴c=4.‎ ‎4.[P11T7]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则 B= .‎ 答案  解析 由正弦定理可得,‎ ‎2cos Bsin B=sin Acos C+sin Ccos A ‎=sin(A+C)=sin B,‎ ‎∵sin B≠0,∴cos B=,‎ ‎∵00,∴cos B<0,∴B为钝角,‎ 故△ABC为钝角三角形.‎ ‎6.在△ABC中,已知a=2,b=,A=45°,则满足条件的三角形有 个.‎ 答案 2‎ 解析 ∵bsin A=×=,∴bsin A0).‎ 则cos C===<0,‎ ‎∴C为钝角.∴△ABC为钝角三角形.‎ 引申探究 ‎1.本例(1)中,若将条件变为2sin Acos B=sin C,判断△ABC的形状.‎ 解 ∵2sin Acos B=sin C=sin(A+B),‎ ‎∴2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B,‎ ‎∴sin(A-B)=0.‎ 又A,B为△ABC的内角.‎ ‎∴A=B,∴△ABC为等腰三角形.‎ ‎2.本例(1)中,若将条件变为a2+b2-c2=ab,且2cos Asin B=sin C,判断△ABC的形状.‎ 解 ∵a2+b2-c2=ab,∴cos C==,‎ 又0c,可得30°