【数学】2020届一轮复习苏教版正弦定理和余弦定理学案 16页

‎§4.6　正弦定理和余弦定理 考情考向分析　以利用正弦、余弦定理和三角形面积公式解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识．题型多样，中档难度．‎ ‎1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ‎(1)＝＝＝2R ‎(2)a2＝b2＋c2－2bccos A；‎ b2＝c2＋a2－2cacos B；‎ c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 ‎(3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；‎ ‎(4)sin A＝，sin B＝，sin C＝；‎ ‎(5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；‎ ‎(6)asin B＝bsin A，‎ bsin C＝csin B，‎ asin C＝csin A ‎(7)cos A＝；‎ cos B＝；‎ cos C＝ ‎2．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin Ab 解的个数 一解 两解 一解 一解 ‎3.三角形常用面积公式 ‎(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；‎ ‎(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；‎ ‎(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．‎ 概念方法微思考 ‎1．在△ABC中，∠A>∠B是否可推出sin A>sin B?‎ 提示　在△ABC中，由∠A>∠B可推出sin A>sin B.‎ ‎2．如图，在△ABC中，有如下结论：bcos C＋ccos B＝a.试类比写出另外两个式子．‎ 提示　acos B＋bcos A＝c；‎ acos C＋ccos A＝b.‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　×　)‎ ‎(2)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形．(　×　)‎ ‎(3)在△ABC中，＝.(　√　)‎ ‎(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．[P9T2]在△ABC中，AB＝，A＝75°，B＝45°，则AC＝ .‎ 答案　2‎ 解析　C＝180°－75°－45°＝60°，‎ 由正弦定理得＝，‎ 即＝，‎ 解得AC＝2.‎ ‎3．[P11T6]在△ABC中，A＝60°，b＝1，面积为，则边长c＝ .‎ 答案　4‎ 解析　∵A＝60°，b＝1，面积为＝bcsin A＝×1×c×，∴c＝4.‎ ‎4．[P11T7]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，则 B＝ .‎ 答案　 解析　由正弦定理可得，‎ ‎2cos Bsin B＝sin Acos C＋sin Ccos A ‎＝sin(A＋C)＝sin B，‎ ‎∵sin B≠0，∴cos B＝，‎ ‎∵00，∴cos B<0，∴B为钝角，‎ 故△ABC为钝角三角形．‎ ‎6．在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，则满足条件的三角形有 个．‎ 答案　2‎ 解析　∵bsin A＝×＝，∴bsin A0)．‎ 则cos C＝＝＝<0，‎ ‎∴C为钝角．∴△ABC为钝角三角形．‎ 引申探究 ‎1．本例(1)中，若将条件变为2sin Acos B＝sin C，判断△ABC的形状．‎ 解　∵2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)，‎ ‎∴2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B，‎ ‎∴sin(A－B)＝0.‎ 又A，B为△ABC的内角．‎ ‎∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．‎ ‎2．本例(1)中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，判断△ABC的形状．‎ 解　∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝＝，‎ 又0c，可得30°