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- 2021-06-10 发布
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2020 年辽宁省葫芦岛市高考数学二模试卷(文科)
一、选择题:本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1.集合 A={x|x2﹣3x+2<0},B={x|x≤0},则( )
A. A⊆B B. B⊆A C. A∩B=∅ D. A∪B=R
【答案】C
【解析】
【分析】
先化简 (1,2)A ,再判断出正确选项.
【详解】由 2{ | 3 2 0} { | ( 1)( 2) 0}A x x x x x x (1,2) ,则 A B .
故选:C.
【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法,集合间的基本关系,基本运算,属于基础
题.
2.设复数 z 满足 (1 ) 2i z i ,则| |z ( )
A. 2 B. 2
2
C. 1
2
D. 2
【答案】A
【解析】
1 i 2i, 1 i 1 i 1 i 2iz z , 化 为 2 2 1 i , 1 iz z ,
2 21 1 2z ,故选 A.
3.命题“∀x∈R,x2+cosx﹣ex≤1”的否定是( )
A. ∃x∈R,x2+cosx﹣ex>1 B. ∃x∈R,x2+cosx﹣ex≥1
C. ∀x∈R,x2+cosx﹣ex≤1 D. ∀x∈R,x2+cosx﹣ex<1
【答案】A
【解析】
【分析】
全称量词命题的否定是存在量词命题,注意:一改量词,二改结论.
【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题,
- 2 -
命题“∀x∈R,x2+cosx﹣ex≤1”的否定是“∃x∈R,x2+cosx﹣ex>1”.
故选:A.
【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定,属于基础题.
4.2020 年初世界各地相继爆发了“新冠肺炎“疫情,随着疫情持续蔓延,各国经济发展受到
巨大影响,特别是仓储物流等行业面临前所未有的严峻考验.世界物流与采购联合会为了估计
疫情对仓储物流业的影响,针对各行业对仓储物流业需求变化以及商品库存变化开展调研,
制定了世界仓储指数.由 2019 年 6 月至 2020 年 5 月的调查数据得出的世界仓储指数绘制出如
图的折线图.
根据该折线图,下列结论正确的是( )
A. 2020 年 2 月和 3 月受疫情影响的仓储量大幅度增加
B. 2020 年 1 月至 5 月的世界仓储指数的中位数为 61
C. 2019 年 6 月至 12 月的仓储指数的平均数为 54
D. 2020 年新冠肺炎疫情对仓储指数没有影响
【答案】A
【解析】
【分析】
由折线图估计总体数据.
【详解】从折线图看 2020 年 2 月和 3 月仓储量大幅度增加,3 月份达到最大值,A 正确;
2020 年 1 月至 5 月的 5 个数据按大小顺序排列为 40,61,64,65,74,中位数是 64,B 错;
计算均值为 1 46 55 48 61 66 55 54.5 40 65 74 64 6112
57.46 ,C 错;
从 2 月和 3 月仓储量大幅度增加可以看出新冠肺炎疫情对仓储指数有影响,D 错.
故选:A.
- 3 -
【点睛】本题考查折线图,考查用样本估计总体,考查学生的数据分析能力,运算求解能力,
属于中档题.
5.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损之术”.执行
该程序框图,若输入的 m,n 分别为 24,28.则输出的 m=( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】
模拟程序运行,观察变量值的变化可得结论.
【详解】程序运行中,变量值变化如下: 24, 28m n ,满足 m n ,不满足 m n ,
28 24 4n ;满足 m n ,满足 m n , 24 4 20m ;满足 m n ,满足 m n ,
20 4 16m ;满足 m n ,满足 m n , 16 4 12m ;满足 m n ,满足 m n ,
12 4 8m ;满足 m n ,满足 m n , 8 4 4m ;不满足 m n ,输出 4m .
故选:B.
【点睛】本题考查程序框图,考查循环结构,解题时只要模拟程序运行,即可得出结论.有
时需要确定程序的功能,有数学知识归纳出结论,
6.已知曲线 2 2: 2 ( 0)C x y x y ,曲线 C 与坐标轴围成封闭图形 M 以及函数 y=x3 的部
分图象如图所示,若向 M 内任意投掷一点,则该点落入阴影部分的概率为( )
A. 1
2
B. 1
4
C. 1
6
D. 1
8
【答案】A
- 4 -
【解析】
【分析】
根据图形的对称性以及几何概型的概率公式可得结果.
【详解】易知图形 M 的面积为 21 ( 2)2
,
根据曲线C 与函数 y=x3 的部分图象的对称性可知阴影部分面积是图形 M 的面积一半,即为
2
,
所以由几何概型得概率公式可得该点落入阴影部分的概率为
1
12
2
.
故选:A.
【点睛】本题考查了几何概型的概率公式,属于基础题.
7.函数 f(x)= 2
, 0
1, 0
xe x
x x
,a=70.5,b=log0.50.7,c=log0.75,则( )
A. f(a)<f(b)<f(c) B. f(a)<f(c)<f(b)
C. f(c)<f(a)<f(b) D. f(c)<f(b)<f(a)
【答案】D
【解析】
【分析】
首先判断 f x 的单调性,比较出 c b a 的大小,利用函数的单调性即可求解.
【详解】由函数 f(x)= 2
, 0
1, 0
xe x
x x
,
当 0x 时, xf x e 单调递增,
当 0x 时, 2 1f x x 单调递增,
又 2 00 1 1e ,所以函数 f(x)= 2
, 0
1, 0
xe x
x x
为增函数,
又 0.57 1a , 0.5 0.5 0.50 log 1 log 0.7 log 0.5 1 ,即 0 1b ,
0.7log 5 0c ,即 c b a ,
所以 f c f b f a ,
- 5 -
故选:D
【点睛】本题考查了对数函数的单调性比较大小、分段函数的单调性,利用单调性比较函数
值的大小,属于基础题.
8.设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直径的圆过点
(0,2),则 C 的方程为( )
A. y2=4x 或 y2=8x B. y2=2x 或 y2=8x
C. y2=4x 或 y2=16x D. y2=2x 或 y2=16x
【答案】C
【解析】
【分析】
首先求出抛物线的焦点,设点 A(0,2),抛物线上点 0 0,M x y ,利用圆的性质可得
0AF AM ,从而求出 8 ,4M p
,然后再利用两点间的距离公式即可求解.
【详解】抛物线 C:y2=2px(p>0),
焦点为 F ,02
p
,
设点 A(0,2),抛物线上点 0 0,M x y ,
则 , 22
pAF
,
2
0
0, 22
yAM yp
,
由已知的 0AF AM ,即 2
0 08 16 0y y ,
解得 0 4y , 8 ,4M p
,
由|MF|=5,可得
2
8 16 52
p
p
,
又 0p ,解得 2p 或 8p ,
所以抛物线 C 的方程为 y2=4x 或 y2=16x
故选:C
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系,考查了基本运算求
- 6 -
解能力,属于基础题.
9.“钱江潮”主要由杭州湾入海口的特殊地形形成,杭州湾外宽内窄,外深内浅,是一个典
型的喇叭状海湾.起潮时,宽深的湾口,下子吞进大量海水,由于江面迅速收缩变窄变浅,夺
路上涌的潮水来不及均匀上升,便都后浪推前浪,一浪更比一浪高.诗云:钱塘一望浪波连,
顷刻狂澜横眼前;看似平常江水里,蕴藏能量可惊天.“观测员在某观测点观察潮水的高度时,
发现潮水高度(y)随时间(x)的变化可近似看成函数 y=cos(ωx+φ),现已知在某观测点
测得部分函数图象如图所示,则此函数的单调递减区间为( )
A. 2 5, ,3 3k k k Z
B. 1 22 ,2 ,3 3k k k Z
C. 1 2, ,3 3k k k Z
D. 1 22 ,2 ,3 3k k k Z
【答案】D
【解析】
【分析】
利 用 三 角 函 数 的 图 像 求 出 函 数 解 析 式 , 再 利 用 余 弦 函 数 的 单 调 递 减 区 间
2 ,2 ,k k k Z ,整体代入即可求解.
【详解】由图可知,三角函数的周期为: 7 12 26 6T
,
所以 2 2T
,即 ,
又 1 06f
,可令
6 2
,解得
3
,
所以 cos 3y x
,
- 7 -
则 2 2 ,3k x k k Z ,
解得 1 22 2 ,3 3k x k k Z ,
所以此函数的单调递减区间为 1 22 ,2 ,3 3k k k Z
.
故选:D
【点睛】本题考查了由图像求函数解析式、余弦函数的性质,属于基础题.
10.在三棱锥 A﹣BCD 中,△ABC 是边长为 3 的正三角形,BD⊥平面 ABC 且 BD=4,则该三棱锥
的外接球的体积为( )
A. 28π B. 28 7 π C. 28 73
π D. 28
3
π
【答案】C
【解析】
【分析】
先确定外接球球心位置,再列方程解得球半径,最后根据球体积公式得结果.
【详解】
设△ABC 外接圆圆心为 1O ,过 1O 作 //l BD ,因为 BD⊥平面 ABC,所以三棱锥的外接球O 在 l 上,
设球半径为 R ,
则: 1 1
1 1 3| | | | 2,| | 32 2 sin 3
OO BD BO
2 2 2
1 1| | | | | | 2 3 7,R OB OO BO
34 28 7( 7)3 3V
- 8 -
故选:C
【点睛】本题考查三棱锥的外接球的体积,考查空间想象能力以及基本求解能力,属中档题.
11.已知扇形 AOB 中∠AOB= 2
3
,点 C 为弧 AB 上任意一点(不含点 A,B),若OC
=
OA OB
uuur ,( , R ),则 的取值范围是( )
A. 1 ,12
B. (1,2] C. (1,2) D. 1 , 32
【答案】B
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系,可设 (cos ,sin ),C 用 表示 ,再根据三角函数性质求结果.
【详解】以O 为坐标原点,OA所在直线为轴,建立平面直角坐标系,如图,
不妨设 1 3 2(1,0), ( , ), (cos ,sin ),( (0, ))2 2 3A B C
因为OC
= OA OB
uuur ,
所以 1 3cos ,sin + cos 3sin 2sin( )2 2 6
1si2 5(0, ) ( , ),3 6 n( ) ( ,1] + (1,2]6 6 6 2
Q
故选:B
【点睛】本题考查向量坐标表示、利用三角函数性质求取值范围,考查综合分析求解能力,
属中档题.
12.设函数 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对于任意正数 x,y 均有 f(xy)=f
- 9 -
(x)+f(y),已知 f(2)=1,若一个各项均为正数的数列{an}满足 f(Sn)=f(an)+f(an+1)
﹣1(n∈N*),其中 Sn 是数列的前 n 项和,令 bn=
1
1
n na a
,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,T2020 的
值为( )
A. 2020 B. 1
2020
C. 2019
2020
D. 2020
2021
【答案】D
【解析】
【分析】
由函数的定义得出数列的和 nS 与项 na 的关系式,利用 1n n na S S 可得数列{ }na 是等差数
列,从而求得通项公式 na ,用裂项相消法求得 nT 后可得结论.
【详解】由 0na ( *n N ), 0nS ,
∵ ( ) ( ) ( 1) 1n n nf S f a f a , (2) 1f ,
∴ ( ) 1 ( ) ( 1) ( ) (2)n n n nf S f a f a f S f ,
又 ( ) ( ) ( )f xy f x f y ,∴ (2 ) ( 1)n n nf S f a a ,而 ( )f x 在 (0, ) 上是单调的,
∴ (2 1)n n nS a a , 111 12 1)2 (S a aa , 1 1a ,
22 n n nS a a ,则 2
1 1 12 ( 2)n n nS a a n ,
相减得 2 2
1 1 12 2 2n n n n n n na S S a a a a ,
1 1 1( )( )n n n n n na a a a a a ,∵ 1 0n na a ,∴ 1 1n na a ( 2)n ,所以{ }na 是等
差数列,公差为 1,∴ na n .
所以 1 1 1
( 1) 1nb n n n n
= = -+ + ,
1 2
1 1 1 1 1 11 12 2 3 1 1 1n n
nT b b b n n n n
,
∴ 2020
2020
2021T .
故选:D.
- 10 -
【点睛】本题考查抽象函数的性质,考查由数列前 n 项和 nS 与项 na 的关系求通项公式,考查
裂项相消法求数列的和,在学生掌握数列与函数的知识基础上按部就班计算即可,本题考查
了学生的运算求解能力,属于中档题.
二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分新板面五年由
13.现有钉钉、腾讯、伯索云、直播云、云视讯 5 种在线教学软件,若某学校要从中随机选取
2 种作为教师“停课不停学”的教学工具,则被选取的软件中含钉钉概率为_____.
【答案】 2
5
【解析】
【分析】
用列举法写出所有的基本事件后可得结论.
【详解】任选用 2 种的基本事件有:钉钉腾讯,钉钉伯索云,钉钉直播云,钉钉云视讯,腾
讯伯索云,腾讯直播云,腾讯云视讯,伯索云直播云,伯索云云视讯,直播云云视讯共 10 种,
其中含有钉钉的基本事件有钉钉腾讯,钉钉伯索云,钉钉直播云,钉钉云视讯共 4 种,所以
所求概率为 4 2
10 5P .
故答案为: 2
5
.
【点睛】本题考查古典概型,用列举法写出所有基本事件是解题的常用方法.
14.已知函数 y=f(x)满足 f(x+1)=2f(x),且 f(5)=3f(3)+4.则 f(4)=_______.
【答案】8
【解析】
【分析】
在已知式 ( 1) 2 ( )f x f x 中分别令 4x 和 3x ,结合 (5) 3 (3) 4f f 可求解.
【详解】∵ ( 1) 2 ( )f x f x ,
∴ (5) 2 (4)f f , (4) 2 (3)f f ,又 (5) 3 (3) 4f f ,∴3 (3) 4 2 2 (3)f f , (3) 4f ,
∴ (4) 2 (3) 8f f .
故答案为:8.
【点睛】本题考查抽象函数求函数值,方法是赋值法,在抽象函数的定义中对自变量赋予特
定的值后便于求解.
- 11 -
15.已知函数 f(x)=
3
2
log , ( 0)
12 , ( 0)2
x x
x x x
,方程 f(x)﹣a=0 有三个不同的实数根,
则 a 的取值范围是_____.
【答案】 1 30, 2 2
【解析】
【分析】
作出函数 ( )y f x 的图象和直线 y a ,观察它们交点个数可得结论.
【详解】∵f(x)=
3
2
log , ( 0)
12 , ( 0)2
x x
x x x
,
∴ ( )f x 在 ( , 1) 和 (1, ) 上递增,在 ( 1,0] 和 (0,1) 上递减, 3( 1) 2f , (1) 0f ,
1(0) 2f ,作出函数 ( )y f x 的图象,作出直线 y a ,由图可得当 10 2a 或 3
2a 时,
它们有三个交点,即方程有三个不等实根.
故答案为: 1 30, 2 2
.
【点睛】本题考查方程解的个数问题,解题方法是进行问题的转化,方程解的个数转化为函
数图象与直线的交点个数,转化为研究函数的性质,由图形得出结论.考查了数形结合思想.
16.定义:数列{an},{bn}满足 1
na = 1
1 23 3n
n
n
b b b
,则称数列{bn}为{an}的“友好数列”.
若数列{an}的通项公式 an=3n+1,n∈N*,则数列{an}的“友好数列“{bn}的通项公式为______;
记数列{bn﹣tn}的前 n 项和为 Sn.且 Sn≤S6,则 t 的取值范围是_______.
- 12 -
【答案】 (1). bn=6n+3 (2). 45 13,7 2
【解析】
【分析】
由“友好数列”的定义写出{ }nb 的递推关系后,利用两式相减可求得其通项公式,{ }nS 中 6S
是最大值,由 6
7
0
0
a
a
可得 t 的范围.
【详解】由题意 1 1
1 2
1
3 3 3n n
n
n
b b b
,∴ 1 1
1 23 3 3n n
nb b b n ,①,所以 2n
时 , 2
1 2 13 3 ( 1) 3n n
nb b b n
, ② , ① - ② 得 1 13 3 ( 1) 3n n n
nb n n ,
6 3nb n ,
又 2
1 3 9 6 1 3b ,综上 6 3nb n , *n N ,
令 (6 ) 3n nc b tn t n ,因为 6nS S ,所以{ }nS 中 6S 是最大值,由于{ }nc 是等差数列,
∴ 6
7
6(6 ) 3 0
7(6 ) 3 0
c t
c t
,解得 45 13
7 2t .
故答案为: 6 3nb n ; 45 13[ , ]7 2
.
【点睛】本题考查数列新定义,考查等差数列前 n 项和的最大值.根据数列新定义在求通项公
式时要注意首项 1b 与后面各项求法上的差异,必须验证.等差数列前 n 项的最值问题可能通
过项的正负来确定,即满足
1
0
0
n
n
a
a
时, nS 最大(但要注意有可能 1n nS S 或 1n nS S ),
满足
1
0
0
n
n
a
a
时, nS 最小(同样有可能 nS 与 1nS 或 1nS 相等).
三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,
17.随着电商事业的快速发展,网络购物交易额也快速提升.特别是每年的双十一天猫的交易
额数目惊人.2019 年天猫公司的工作人员为了迎接”淘宝天猫双十一年度购买狂欢节加班加
点做了很多准备活动,经过一天的忙碌,截止到 2019 年 11 月 11 日 24 时,2019 年的天猫双
11 交易额定格在 2600 亿元,比 2018 年双十一总成交额超出 500 多亿元.天猫总公司所有员工
- 13 -
对于新的战绩皆大欢喜,同时又对 2020 年充满了憧憬,因此公司工作人员反思从 2013 年至
2019 年每年双十一总交易额(此处取近似值),进行分析统计如表:
年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019
总交易额(近似值)单位(百亿) 3.5 5.7 9.1 12 17 21.2 26
(1)已知年份 x 与年总交易额 y 具有线性相关关系,利用最小二乘法求出总交易额与年份之
间回归直线方程;
(2)估计 2020 年天猫双十一的总交易额会达到多少?
可能用到的数据:
7
1
i i
i
x x y y
=106.4, 7 2
1
i
i
x x
=28.
参考公式:b =
1
2
1
n
i
n
i
i i
i
x x y y
x x
= 1
2 2
1
n
i i
i
n
i
i
x y nxy
x nx
, a = y ﹣bx .
【答案】(1) 3.8 7647.3y x (2) 2870 亿元
【解析】
【分析】
(1)计算 ,x y ,根据参考公式和参考数据先求出 b ,再由 a = y ﹣ bx 算得 a ,从而求得总
交易额与年份之间回归直线方程 y bx a $ $ $;
(2)令 2020x ,求出 y ,即为 2020 年天猫双十一的总交易额估计值.
【详解】(1)由题 x 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 20167
,
3.5 5.7 9.1 12 17 21.6 26 13.57y
得b
1
2
1
n
i
n
i
i i
i
x x y y
x x
106.4 3.828
,
a = y ﹣bx 13.5 3.8 2016 7647.3 ,
- 14 -
则 3.8 7647.3y x ,即总交易额与年份之间回归直线方程为 3.8 7647.3y x .
(2)令 2020x ,得 3.8 7647.3 28.72020y (百亿)
即 2020 年天猫双十一的总交易额估计值为 2870 亿元.
【点睛】本题考查了利用最小二乘法求回归直线方程,及利用回归直线方程计算估值,还考
查了学生的运算能力,属于基础题.
18.在 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知3cos2 1 2 sinB B 且 B 为
锐角.
(1)求sin B ;
(2)若 3 7 sin sin sinB b A C 且 ABC 面积为 14
2
,当 a c 时,求 a b的值.
【答案】(1) 2
3
;(2)3 2 .
【解析】
【分析】
(1)由条件中的三角函数关系式,结合二倍角公式转化为含 sin B 的二次方程,即可得出结
果;(2)利用题中的三角函数关系式,结合正弦定理化为边的关系式,得到 a c 的值,再利
用三角形的面积公式求得 ac 的值,再求出 ,a c 的值,结合余弦定理求得b 的值,即可得出结
果.
【详解】(1)由已知 23 1 2sin 1 2 sinB B ,
整理得: 26sin 2 sin 2 0B B ,
得 2sin 3B 或 2sin 2B (舍),
所以 2sin 3B ;
(2)由正弦定理得:
3 7 b b a c ,
则 3 7a c , 1
- 15 -
又 1 2 14sin2 6 2ABCS ac B ac
,
则 3 7ac , 2
联系 1 2 并结合 a c 得 3, 7a c ,
由 1 知 2sin 3B ,所以 7cos 3B ,
由余弦定理得:
2 2 2 72 cos 9 7 2 3 7 23b a c ac B ,
所以 2b ,
故 3 2a b .
【点睛】本题主要考查正余弦定理以及三角函数求值.属于中档题.
19.如图,在三楼柱 ABC﹣A1B1C1 中,平面 ACC1A1⊥平面 ABC,四边形 ACC1A1 是正方形,点 D 是
棱 BC 的中点,点 E 是线段 BB1 上一点,AB=4,AA1=2,BC=2 5 .
(1)求证:AB⊥CC1;
(2)求三棱锥 E﹣ADC1 体积的最大值.
【答案】(1)证明见详解;(2) 8
3
【解析】
- 16 -
【分析】
(1)利用面面垂直的性质定理证出 1CC 平面 ABC ,再根据线面垂直的性质定理即可证出.
(2)利用线面垂直的判定定理证出 AC 平面 1 1ABB A ,设 BE t , 0 2t≤ ≤ ,
再由 1 1 1 1 1 1 1 1E ADC ABC A B C C ACD D ABE C AA B EV V V V V 即可求解.
【详解】(1)四边形 ACC1A1 是正方形, 1CC AC ,
平面 ACC1A1⊥平面 ABC,且平面 ACC1A1 平面 ABC AC ,
1CC 平面 ABC ,而 AB Ì平面 ABC ,
AB⊥CC1,
(2)由条件知 2 2 2BC AB AC ,
AC AB ,
又 1AC AA ,且 1AB AA A ,
AC 平面 1 1ABB A ,
设 BE t , 0 2t≤ ≤ ,
1 1 1 1 1 1 1 1
4 2 16 4 4 28 3 3 3 3 3E ADC ABC A B C C ACD D ABE C AA B E
tV V V V V t t
0 2t ,当 2t 时,三棱锥 E﹣ADC1 体积的最大值为 8
3
.
【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理、柱
体的体积公式、锥体的体积公式,考查了考生的逻辑推理能力,属于中档题.
20.已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba bG : 的左焦点为 2,0 ,F 且经过点 2,1 , ,C A B 分
别是G 的右顶点和上顶点,过原点O 的直线l 与G 交于 ,P Q 两点(点Q 在第一象限),且与
线段 AB 交于点 M .
(1)求椭圆G 的标准方程;
(2)若 3PQ ,求直线 l 的方程;
(3)若 BOP△ 的面积是 BMQ 的面积的 4 倍,求直线l 的方程.
- 17 -
【答案】(1)
2 2
14 2
x y ;(2) 14
2y x ;(3) 9 2 8
14y x .
【解析】
【分析】
(1)利用椭圆的定义即可求出 a 的值,从而求出b ,从而得到答案.
(2)根据题意设出直线方程,联立方程由根与系数的关系可得 1 2 1 2,x x x x ,再利用弦长公
式即可得到答案.
(3)依题设出点 , ,P Q M 的坐标以及直线l 的斜率,根据题目条件即可得坐标之间的关系,
从而求出直线 l 的斜率,从而求出直线直线l 的方程.
【详解】(1)依题知 2c 则椭圆的右焦点为 1 2 0F( ,),
因为点 2,1C 在椭圆上,且 2 2
1| | 2+ 2 +1 =3CF ( ) ,
又| | 1CF ,所以 12 | | | | 4a CF CF ,所以 2a
所以 2 2 2 4 2 2b a c ,
所以椭圆的标准方程为
2 2
14 2
x y .
(2)因为点Q 在第一象限,所以直线 l 的斜率存在,
设直线l 的斜率为 ( 0)k k ,则直线 l 的方程为 y kx ,
设直线 l 与该椭圆的交点为 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y ,
由 2 22 4
y kx
x y
可得 2 2(1 2 ) 4 0k x ,
易知 ,且 1 2 1 2 2
40, 1 2x x x x k
,
则 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 1 ( ) 4PQ x x y y k x x x x
2
2
2 2
4 11 0 4 4 31 2 1 2
kk k k
,所以 2 7 14,2 2k k ,
又 0k ,所以直线 l 的方程为 14
2y x .
- 18 -
(3)设 ( , )m mM x y , 0 0,Q x y ,则 0 0,P x y ,
易知 00 2x , 00 1y .由 2,0A , (0, 2)B ,
所以直线 AB 的方程为 12 2
x y ,即 2 2 0x y .
若 BOP 的面积是 BMQ 的面积的 4 倍,
则| | 4| |OP MQ ,由 ,P Q 关于原点对称,可得| | | |OP OQ ,
所以| | 4 | |OQ MQ ,所以 3| | | |4OM OQ 即 0
3
4mx x ① .
设直线l 的方程为 y kx ,
由
+ 2 2 0
y kx
x y
得 2
1 2mx
k
,
由 2 22 4
y kx
x y
得 0 2
2
1 2
x
k
,
代入①可得 2
1 2k 2
3 2
4 1 2k
,
化简得 214 18 2 7 0k k ,解得 9 2 8
14k ,
所以直线 l 的方程为: 9 2 8
14y x .
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系、弦长公式等,考查运算求
解能力,方程思想,体现了逻辑推理、数学运算等核心素养.
21.已知函数 ln( ) 1 ( 0)x xf x e a ax
.
(1)当 a=1 时,求 f(x)在 x=1 处的切线方程;
(2)若 f(x)≥ 1
x
恒成立,求实数 a 的取值范围.
【答案】(1) ( 1) 0e x y ;(2){1}.
【解析】
【分析】
- 19 -
(1)求出导数,即切线斜率,写出点斜式方程,再整理为一般式;
(2)不等式变为 ( ln ) 1xa x x xe ,令 lnt x x ,不等式又变为 1tat e ,构造新函
数 ( ) 1tg t e at ,只要 ( )g t 的最小值不小于 0 即可,利用导数求得 min( ) (ln )g t g a ,然
后求得 (ln ) 0g a 的 a 的集合即可,令 ( ) (ln )h a g a ,利用导数确定单调性及最值,求得
max( ) (1) 0h a h ,从而得出 a 范围.
【详解】(1) ln( ) 1x xf x e x
, 2
1 ln( ) x xf x e x
, (1) 1f e ,又 (1) 1f e ,
所以所求切线方程为 ( 1) ( 1)( 1)y e e x ,即 ( 1) 0e x y .
(2)不等式 1( )f x x
即 ln 1(1 )x xe a x x
, ( ln ) 1xa x x xe ,
令 lnt x x ,它在 (0, ) 上是增函数,值域为 R , lnt x x xe e xe ,
不等式 ( ln ) 1xa x x xe 化为 1tat e ,(*)
0a 时不等式不恒成立,不合题意,
0a 时,令 ( ) 1tg t e at ,则 ( ) tg t e a ,易知 0 lnt a 时, ( ) 0g t , ( )g t 递减,
lnt a 时, ( ) 0g t , ( )g t 递增,所以 lnt a 时 ( )g t 取得极小值也是最小值
(ln ) ln 1g a a a a ,
不等式(*)恒成立,则 (ln ) ln 1 0g a a a a ,
令 ( ) ln 1h a a a a ,则 ( ) 1 (ln 1) lnh a a a ,
0 1a 时, ( ) 0 h a , ( )h a 递增, 1a 时, ( ) 0h a , ( )h a 递减,
所以 max( ) (1) 0h a h ,当 0a 且 1a 时, ( ) (1) 0h a h ,只有 1a 时, (1) 0h 满足
题意.
所以 1a ,即 a 的取值范围是{1}.
【点睛】本题考查导数的几何意义,考查用导数研究不等式恒成立问题,解决不等式恒成立
的关键是掌握等价转化的思想,通过构造新函数转化为函数的最值问题,通过不断求导,确
定单调性极值,最终求出结果.本题难度较大,考查了学生分析问题解决问题的能力.
请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一-题记分.作答时请写清题
- 20 -
号.
22.在极坐标系中,O 为极点,曲线 C:ρ=2cosθ与直线 l1:θ=θ0(ρ∈R)的除极点外的
交点为 A,直线 l2 过点 B 2, 2
且与 OA 垂直,垂足为 M.
(1)当 A 与 M 重合时,求 A 点的极坐标及 2l 的极坐标方程;
(2)当点 A 为曲线 C 上动点且 M 在线段 OA 的延长线上时,求 M 点轨迹的极坐标方程.
【答案】(1) A 为极坐标为 ( 2, )4
, 2l 的极坐标方程为 2
cos sin
;(2) 2sin
( ,4 2
.
【解析】
【分析】
(1)由
2BAO ,又
2OAD ,∴ , ,B A D 共线,而 2OB OD ,这样易得 OA
及 AOD ,得 A 的极坐标方程,建立直角坐标系后 1l 的直角坐标方程易求,再化为极坐标方
程即可;
(2)分析 M 出现的位置,由垂直得 0OBM DOA ,从而易表示 OM ,可得到 M 点
的极坐标,也即得轨迹的极坐标方程,
【详解】以极轴为 x 轴,极点O 为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,
(1)由 2cos 得 2 2 cos ,直角坐标方程为 2 2 2x y x ,即 2 2( 1) 1x y ,
圆心为 (1,0)C ,半径为 1,如图,它与 x 轴除原点外的另一交点为 (2,0) , B 点直角坐标为
(0,2) ,
2BAO ,又
2OAD ,∴ , ,B A D 共线,所以 2OA ,
4AOD , A
为极坐标为 ( 2, )4
,
直线 2l 即 BD 的倾斜角为 3
4
,斜率为 1 ,直线方程为 2y x ,极坐标方程为
cos sin 2 ,或写成 2
cos sin
;
- 21 -
(2)记(1)中 A 点为 'A 点,如图,只有当 A 在 'OA 上时, M 在OA延长线上,由于
BM OM ,所以 0OBM DOA ,所以 02sinOM ,其中 0 ( , )4 2
,
所以 M 点的极坐标方程是 2sin ( ,4 2
.
【点睛】
本题考查直线极坐标方程,掌握极坐标的定义是解题关键.可以建立平面直角坐标系,借助
平面直角坐标系进行求解.
23.设函数 f(x)=|x+1|+|2x﹣1|.
(1)画出 y=f(x)的图象,
(2)当 5[0, ), ( ) 03x f x ax 有两个不同的实数根,求 a 的取值范围.
- 22 -
【答案】(1)图见解析,(2) 1( ,3)3
【解析】
【分析】
(1)先根据绝对值定义将函数化为分段函数形式,再分段画图即可;
(2)结合图象,确定边角线,即可得结果.
【详解】(1)
13 , 2
1( ) 2, 1 2
3 , 1
x x
f x x x
x x
,
图象为
(2)作函数 ( ), [0, ),y f x x 与 5 , [0, )3y ax x 图象,
- 23 -
由图可知,当 5[0, ), ( ) 03x f x ax 有两个不同的实数根,即函数
( ), [0, ),y f x x 与 5 , [0, )3y ax x 有两个不同的交点,则 a 的取值范围为
1( ,3)3
【点睛】本题考查绝对值定义、分段函数图象、利用图象研究方程根的个数,考查数形结合
思想方法,属基础题.
- 24 -
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