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  • 2021-06-10 发布

【数学】2018届一轮复习苏教版(理)第九章平面解析几何9-8曲线与方程的定义学案

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‎1.曲线与方程的定义 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立如下的对应关系:‎ 那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线.‎ ‎2.求动点的轨迹方程的基本步骤 ‎【知识拓展】‎ ‎1.“曲线C是方程f(x,y)=0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”的充分不必要条件.‎ ‎2.曲线的交点与方程组的关系:‎ ‎(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解,即两个曲线方程组成的方程组的实数解;‎ ‎(2)方程组有几组解,两条曲线就有几个交点;方程组无解,两条曲线就没有交点.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件.( √ )‎ ‎(2)方程x2+xy=x的曲线是一个点和一条直线.( × )‎ ‎(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2=y2.( × )‎ ‎(4)方程y=与x=y2表示同一曲线.( × )‎ ‎(5)y=kx与x=y表示同一直线.( × )‎ ‎1.(教材改编)已知点F(,0),直线l:x=-,点B是l上的动点,若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是________.‎ 答案 抛物线 解析 由已知MF=MB,根据抛物线的定义知,‎ 点M的轨迹是以点F为焦点,直线l为准线的抛物线.‎ ‎2.(2016·苏州模拟)方程(2x+3y-1)(-1)=0表示的曲线是________________.‎ 答案 一条直线和一条射线 解析 原方程可化为或-1=0,‎ 即2x+3y-1=0(x≥3)或x=4,‎ 故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.‎ ‎3.(2016·南通模拟)已知A(-2,0),B(1,0)两点,动点P不在x轴上,且满足∠APO=∠BPO,其中O为原点,则P点的轨迹方程是________________.‎ 答案 (x-2)2+y2=4(y≠0)‎ 解析 由角的平分线性质定理得PA=2PB,‎ 设P(x,y),则=2,‎ 整理得(x-2)2+y2=4(y≠0).‎ ‎4.过椭圆+=1(a>b>0)上任意一点M作x轴的垂线,垂足为N,则线段MN中点的轨迹方程是________________.‎ 答案 +=1‎ 解析 设MN的中点为P(x,y),‎ 则点M(x,2y)在椭圆上,∴+=1,‎ 即+=1(a>b>0).‎ ‎5.(2016·镇江模拟)若点P在椭圆+y2=1上,F1,F2分别为椭圆的左,右焦点,且满足·=t,则实数t的取值范围是____________.‎ 答案 [-7,1]‎ 解析 设P(x,y),F1(-2,0),F2(2,0),‎ =(-2-x,-y),=(2-x,-y),·=(-2-x)(2-x)+(-y)2=x2+y2-8.‎ ‎∵P在椭圆+y2=1上,∴y2=1-,‎ ‎∴t=·=x2+y2-8‎ ‎=x2-7,∵0≤x2≤9,‎ ‎∴-7≤t≤1,故实数t的取值范围为[-7,1]. ‎ ‎                   ‎ 题型一 定义法求轨迹方程 例1 如图,动圆C1:x2+y2=t2,1b>0)的左,右焦点.已知△F1PF2为等腰三角形.‎ ‎(1)求椭圆的离心率e;‎ ‎(2)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点,M是直线PF2上的点,满足·=-2,求点M的轨迹方程.‎ 解 (1)设F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).‎ 由题意,可得PF2=F1F2,即=2c,‎ 整理得22+-1=0,‎ 得=-1(舍去)或=.所以e=.‎ ‎(2)由(1)知a=2c,b=c,可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2,直线PF2的方程为y=(x-c).‎ A,B两点的坐标满足方程组 消去y并整理,得5x2-8cx=0.‎ 解得x1=0,x2=c,‎ 得方程组的解 不妨设A,B(0,-c).‎ 设点M的坐标为(x,y),‎ 则=,=(x,y+c).‎ 由y=(x-c),得c=x-y.‎ 于是=,=(x,x),由·=-2,‎ 即·x+·x=-2,‎ 化简得18x2-16xy-15=0.‎ 将y=代入c=x-y,‎ 得c=>0.‎ 所以x>0.‎ 因此,点M的轨迹方程是18x2-16xy-15=0(x>0).‎ 题型三 相关点法求轨迹方程 例3 (2016·盐城模拟)如图所示,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0).点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O).当x0=1-时,切线MA的斜率为-.‎ ‎(1)求p的值;‎ ‎(2)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).‎ 解 (1)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y′=,且切线MA的斜率为-,‎ 所以点A的坐标为(-1,),‎ 故切线MA的方程为y=-(x+1)+.‎ 因为点M(1-,y0)在切线MA及抛物线C2上,‎ 所以y0=-×(2-)+=-,①‎ y0=-=-.②‎ 由①②得p=2.‎ ‎(2)设N(x,y),A(x1,),B(x2,),x1≠x2.‎ 由N为线段AB的中点,知 x=,③‎ y=.④‎ 所以切线MA,MB的方程分别为 y=(x-x1)+,⑤‎ y=(x-x2)+.⑥‎ 由⑤⑥得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为 x0=,y0=.‎ 因为点M(x0,y0)在C2上,即x=-4y0,‎ 所以x1x2=-.⑦‎ 由③④⑦得x2=y,x≠0.‎ 当x1=x2时,A,B重合于原点O,‎ AB的中点N为点O,坐标满足x2=y.‎ 因此AB的中点N的轨迹方程是x2=y.‎ 思维升华 “相关点法”的基本步骤 ‎(1)设点:设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1).‎ ‎(2)求关系式:求出两个动点坐标之间的关系式 ‎(3)代换:将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程.‎ ‎ 设直线x-y=4a与抛物线y2=4ax交于两点A,B(a为定值),C为抛物线上任意一点,求△ABC的重心的轨迹方程.‎ 解 设△ABC的重心为G(x,y),‎ 点C的坐标为(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由方程组 消去y并整理得 x2-12ax+16a2=0.‎ ‎∴x1+x2=12a,‎ y1+y2=(x1-4a)+(x2-4a)=(x1+x2)-8a=4a.‎ ‎∵G(x,y)为△ABC的重心,‎ ‎∴∴ 又点C(x0,y0)在抛物线上,‎ ‎∴将点C的坐标代入抛物线的方程得 ‎(3y-4a)2=4a(3x-12a),‎ 即(y-)2=(x-4a).‎ 又点C与A,B不重合,∴x0≠(6±2)a,‎ ‎∴△ABC的重心的轨迹方程为 ‎(y-)2=(x-4a)(x≠(6±)a).‎ 分类讨论思想在曲线方程中的应用 典例 (16分)已知抛物线y2=2px经过点M(2,-2),椭圆+=1的右焦点恰为抛物线的焦点,且椭圆的离心率为.‎ ‎(1)求抛物线与椭圆的方程;‎ ‎(2)若P为椭圆上一个动点,Q为过点P且垂直于x轴的直线上的一点,=λ(λ≠0),试求Q的轨迹.‎ 思想方法指导 (1)由含参数的方程讨论曲线类型时,关键是确定分类标准,一般情况下,根据x2,y2的系数与0的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论.‎ ‎(2)等价变换是解题的关键:即必须分三种情况讨论轨迹方程.‎ ‎(3)区分求轨迹方程与求轨迹问题.‎ 规范解答 解 (1)因为抛物线y2=2px经过点M(2,-2),‎ 所以(-2)2=4p,解得p=2.[2分]‎ 所以抛物线的方程为y2=4x,‎ 其焦点为F(1,0),即椭圆的右焦点为F(1,0),得c=1.‎ 又椭圆的离心率为,所以a=2,‎ 可得b2=4-1=3,[4分]‎ 故椭圆的方程为+=1.[5分]‎ ‎(2)设Q(x,y),其中x∈[-2,2],‎ 设P(x,y0),因为P为椭圆上一点,‎ 所以+=1,‎ 解得y=3-x2.[7分]‎ 由=λ可得=λ2,‎ 故=λ2,‎ 得(λ2-)x2+λ2y2=3,x∈[-2,2].[10分]‎ 当λ2=,即λ=时,得y2=12,‎ 点Q的轨迹方程为y=±2,x∈[-2,2],‎ 此轨迹是两条平行于x轴的线段;[12分]‎ 当λ2<,即0<λ<时,‎ 得到+=1,‎ 此轨迹表示实轴在y轴上的双曲线满足x∈[-2,2]的部分;[14分]‎ 当λ2>,即λ>时,得到+=1.‎ 此轨迹表示长轴在x轴上的椭圆满足x∈[-2,2]的部分.[16分] ‎ ‎                   ‎ ‎1.(2016·无锡质检)设定点M1(0,-3),M2(0,3),动点P满足条件PM1+PM2=a+(其中a是正常数),则点P的轨迹是__________.‎ 答案 椭圆或线段 解析 ∵a是正常数,∴a+≥2=6.‎ 当PM1+PM2=6时,点P的轨迹是线段M1M2;‎ 当a+>6时,点P的轨迹是椭圆.‎ ‎2.(2016·南京模拟)已知点M与双曲线-=1的左,右焦点F1,F2的距离之比为2∶3,则点M的轨迹方程为________________.‎ 答案 x2+y2+26x+25=0‎ 解析 F1(-5,0),F2(5,0),设M(x,y),则=,化简得x2+y2+26x+25=0.‎ ‎3.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且PM=MQ,则Q点的轨迹方程是____________.‎ 答案 2x-y+5=0‎ 解析 由题意知,M为PQ中点,‎ 设Q(x,y),则P为(-2-x,4-y),‎ 代入2x-y+3=0,得2x-y+5=0.‎ ‎4.已知圆锥曲线mx2+4y2=4m的离心率e为方程2x2-5x+2=0的根,则满足条件的圆锥曲线的个数为________.‎ 答案 3‎ 解析 ∵e是方程2x2-5x+2=0的根,‎ ‎∴e=2或e=.‎ mx2+4y2=4m可化为+=1,‎ 当它表示焦点在x轴上的椭圆时,‎ 有=,∴m=3;‎ 当它表示焦点在y轴上的椭圆时,‎ 有=,∴m=;‎ 当它表示焦点在x轴上的双曲线时,‎ 可化为-=1,‎ 有=2,∴m=-12.‎ ‎∴满足条件的圆锥曲线有3个.‎ ‎5.已知点A(1,0),直线l:y=2x-4,点R是直线l上的一点,若=,则点P的轨迹方程为____________.‎ 答案 y=2x 解析 设P(x,y),R(x1,y1),由=知,点A是线段RP的中点,∴即 ‎∵点R(x1,y1)在直线y=2x-4上,‎ ‎∴y1=2x1-4,∴-y=2(2-x)-4,即y=2x.‎ ‎6.平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=λ1+λ2(O为原点),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,则点C的轨迹是________.‎ 答案 直线 解析 设C(x,y),则=(x,y),=(3,1),=(-1,3),‎ ‎∵=λ1+λ2,∴ 又λ1+λ2=1,∴x+2y-5=0,表示一条直线.‎ ‎7.曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论:‎ ‎①曲线C过坐标原点;‎ ‎②曲线C关于坐标原点对称;‎ ‎③若点P在曲线C上,则△F1PF2的面积不大于a2.‎ 其中,所有正确结论的序号是________.‎ 答案 ②③‎ 解析 因为原点O到两个定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离的积是1,且a>1,所以曲线C不过原点,即①错误;因为F1(-1,0),F2(1,0)关于原点对称,所以PF1·PF2=a2对应的轨迹关于原点对称,即②正确;因为=PF1·PF2·sin∠F1PF2≤PF1·PF2=a2,即△F1PF2的面积不大于a2,所以③正确.‎ ‎8.(2017·南通月考)已知△ABC的顶点A,B坐标分别为(-4,0),(4,0),C为动点,且满足sin B+sin A=sin C,则C点的轨迹方程为______ __________.‎ 答案 +=1(x≠±5)‎ 解析 由sin B+sin A=sin C可知b+a=c=10,‎ 则AC+BC=10>8=AB,∴满足椭圆定义.‎ 令椭圆方程为+=1,‎ 则a′=5,c′=4,b′=3,则轨迹方程为 +=1(x≠±5).‎ ‎9.如图,P是椭圆+=1上的任意一点,F1,F2是它的两个焦点,O为坐标原点,且=+,则动点Q的轨迹方程是________.‎ 答案 +=1‎ 解析 由于=+,‎ 又+==2=-2,‎ 设Q(x,y),‎ 则=-=(-,-),‎ 即P点坐标为(-,-),又P在椭圆上,‎ 则有+=1,即+=1.‎ ‎10.已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线焦点的轨迹方程是________________.‎ 答案 +=1(y≠0)‎ 解析 设抛物线的焦点为F,过A,B,O作准线的垂线AA1,BB1,OO1,则AA1+BB1=2OO1=4,‎ 由抛物线定义得AA1+BB1=FA+FB,‎ ‎∴FA+FB=4>2=AB,故F点的轨迹是以A,B为焦点,‎ 长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).‎ ‎∴轨迹方程为+=1(y≠0).‎ ‎11.过点(1,0)的直线l与中心在原点,焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点,直线y=x过线段AB的中点,同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称,试求直线l与椭圆C的方程.‎ 解 由e==,得=,‎ 从而a2=2b2,c=b.‎ 设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,‎ A(x1,y1)、B(x2,y2),‎ ‎∵A、B在椭圆C上,∴x+2y=2b2,x+2y=2b2,‎ 两式相减得(x-x)+2(y-y)=0,‎ 即=-.‎ 设AB中点坐标为(x0,y0),则kAB=-,‎ 又(x0,y0)在直线y=x上,故y0=x0,‎ 于是-=-1,即kAB=-1,‎ 故直线l的方程为y=-x+1.‎ 右焦点(b,0)关于直线l的对称点设为(x′,y′),‎ 则 解得 由点(1,1-b)在椭圆上,得1+2(1-b)2=2b2,‎ ‎∴b=,∴b2=,a2=.‎ ‎∴所求椭圆C的方程为+=1.‎ ‎12.(2016·连云港模拟)定圆M:(x+)2+y2=16,动圆N过点F(,0)且与圆M相切,记圆心N的轨迹为E.‎ ‎(1)求轨迹E的方程;‎ ‎(2)设点A,B,C在E上运动,A与B关于原点对称,且AC=BC,当△ABC的面积最小时,求直线AB的方程.‎ 解 (1)∵F(,0)在圆M:(x+)2+y2=16内,‎ ‎∴圆N内切于圆M.∵NM+NF=4>FM,‎ ‎∴点N的轨迹E为椭圆,且2a=4,c=,∴b=1,‎ ‎∴轨迹E的方程为+y2=1.‎ ‎(2)①当AB为长轴(或短轴)时,S△ABC=OC·AB=2.‎ ‎②当直线AB的斜率存在且不为0时,‎ 设直线AB的方程为y=kx,A(xA,yA),‎ 联立方程得x=,y=,‎ ‎∴OA2=x+y=.‎ 将上式中的k替换为-,可得OC2=.‎ ‎∴S△ABC=2S△AOC=OA·OC ‎= ·=.‎ ‎∵≤ ‎=,‎ ‎∴S△ABC≥,‎ 当且仅当1+4k2=k2+4,即k=±1时等号成立,此时△ABC面积的最小值是.‎ ‎∵2>,∴△ABC面积的最小值是,此时直线AB的方程为y=x或y=-x.‎ ‎*13. (2016·河北衡水中学三调)如图,已知圆E:(x+)2+y2=16,点F(,0),P是圆E上任意一点,线段PF的垂直平分线和半径PE相交于点Q.‎ ‎(1)求动点Q的轨迹Γ的方程;‎ ‎(2)设直线l与(1)中轨迹Γ相交于A,B两点,直线OA,l,OB的斜率分别为k1,k,k2(其中k>0),△OAB的面积为S,以OA,OB为直径的圆的面积分别为S1,S2,若k1,k,k2恰好构成等比数列,求的取值范围.‎ 解 (1)连结QF,根据题意,‎ QP=QF,‎ 则QE+QF=QE+QP ‎=4>EF=2,‎ 故动点Q的轨迹Γ是以E,F为焦点,长轴长为4的椭圆.‎ 设其方程为+=1(a>b>0),‎ 可知a=2,c=,∴b=1,‎ ‎∴点Q的轨迹Γ的方程为+y2=1.‎ ‎(2)设直线l的方程为y=kx+m,‎ A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 联立方程整理得,‎ ‎(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,‎ Δ=16(1+4k2-m2)>0,‎ x1+x2=-,x1x2=.‎ ‎∵k1,k,k2构成等比数列,‎ ‎∴k2=k1k2=,‎ 整理得km(x1+x2)+m2=0,‎ ‎∴+m2=0,解得k2=.‎ ‎∵k>0,∴k=.‎ 此时Δ=16(2-m2)>0,‎ 解得m∈(-,).‎ 又由A,O,B三点不共线得m≠0,‎ 从而m∈(-,0)∪(0,).‎ 故S=·AB·d=|x1-x2|· ‎=·|m|‎ ‎=|m|.‎ 又+y=+y=1,‎ 则S1+S2=(x+y+x+y)‎ ‎=(x+x+2)‎ ‎=[(x1+x2)2-2x1x2]+=为定值.‎ ‎∴=×≥,‎ 当且仅当m=±1时等号成立.‎ 综上,∈[,+∞).‎