【数学】2018届一轮复习苏教版（理）第九章平面解析几何9-8曲线与方程的定义学案 16页

‎1．曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：‎ 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．‎ ‎2．求动点的轨迹方程的基本步骤 ‎【知识拓展】‎ ‎1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．‎ ‎2．曲线的交点与方程组的关系：‎ ‎(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；‎ ‎(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(　√　)‎ ‎(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．(　×　)‎ ‎(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.(　×　)‎ ‎(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线．(　×　)‎ ‎(5)y＝kx与x＝y表示同一直线．(　×　)‎ ‎1．(教材改编)已知点F(，0)，直线l：x＝－，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是________．‎ 答案　抛物线 解析　由已知MF＝MB，根据抛物线的定义知，‎ 点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．‎ ‎2．(2016·苏州模拟)方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是________________．‎ 答案　一条直线和一条射线 解析　原方程可化为或－1＝0，‎ 即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，‎ 故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线．‎ ‎3．(2016·南通模拟)已知A(－2,0)，B(1,0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则P点的轨迹方程是________________．‎ 答案　(x－2)2＋y2＝4(y≠0)‎ 解析　由角的平分线性质定理得PA＝2PB，‎ 设P(x，y)，则＝2，‎ 整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)．‎ ‎4．过椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点M作x轴的垂线，垂足为N，则线段MN中点的轨迹方程是________________．‎ 答案　＋＝1‎ 解析　设MN的中点为P(x，y)，‎ 则点M(x,2y)在椭圆上，∴＋＝1，‎ 即＋＝1(a>b>0)．‎ ‎5．(2016·镇江模拟)若点P在椭圆＋y2＝1上，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，且满足·＝t，则实数t的取值范围是____________．‎ 答案　[－7,1]‎ 解析　设P(x，y)，F1(－2，0)，F2(2，0)，‎ ＝(－2－x，－y)，＝(2－x，－y)，·＝(－2－x)(2－x)＋(－y)2＝x2＋y2－8.‎ ‎∵P在椭圆＋y2＝1上，∴y2＝1－，‎ ‎∴t＝·＝x2＋y2－8‎ ‎＝x2－7，∵0≤x2≤9，‎ ‎∴－7≤t≤1，故实数t的取值范围为[－7,1]. ‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 题型一　定义法求轨迹方程 例1　如图，动圆C1：x2＋y2＝t2,1b>0)的左，右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．‎ ‎(1)求椭圆的离心率e；‎ ‎(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足·＝－2，求点M的轨迹方程．‎ 解　(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．‎ 由题意，可得PF2＝F1F2，即＝2c，‎ 整理得22＋－1＝0，‎ 得＝－1(舍去)或＝.所以e＝.‎ ‎(2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝(x－c)．‎ A，B两点的坐标满足方程组 消去y并整理，得5x2－8cx＝0.‎ 解得x1＝0，x2＝c，‎ 得方程组的解 不妨设A，B(0，－c)．‎ 设点M的坐标为(x，y)，‎ 则＝，＝(x，y＋c)．‎ 由y＝(x－c)，得c＝x－y.‎ 于是＝，＝(x，x)，由·＝－2，‎ 即·x＋·x＝－2，‎ 化简得18x2－16xy－15＝0.‎ 将y＝代入c＝x－y，‎ 得c＝>0.‎ 所以x>0.‎ 因此，点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0(x>0)．‎ 题型三　相关点法求轨迹方程 例3　(2016·盐城模拟)如图所示，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p>0)．点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)．当x0＝1－时，切线MA的斜率为－.‎ ‎(1)求p的值；‎ ‎(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)．‎ 解　(1)因为抛物线C1：x2＝4y上任意一点(x，y)的切线斜率为y′＝，且切线MA的斜率为－，‎ 所以点A的坐标为(－1，)，‎ 故切线MA的方程为y＝－(x＋1)＋.‎ 因为点M(1－，y0)在切线MA及抛物线C2上，‎ 所以y0＝－×(2－)＋＝－，①‎ y0＝－＝－.②‎ 由①②得p＝2.‎ ‎(2)设N(x，y)，A(x1，)，B(x2，)，x1≠x2.‎ 由N为线段AB的中点，知 x＝，③‎ y＝.④‎ 所以切线MA，MB的方程分别为 y＝(x－x1)＋，⑤‎ y＝(x－x2)＋.⑥‎ 由⑤⑥得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为 x0＝，y0＝.‎ 因为点M(x0，y0)在C2上，即x＝－4y0，‎ 所以x1x2＝－.⑦‎ 由③④⑦得x2＝y，x≠0.‎ 当x1＝x2时，A，B重合于原点O，‎ AB的中点N为点O，坐标满足x2＝y.‎ 因此AB的中点N的轨迹方程是x2＝y.‎ 思维升华　“相关点法”的基本步骤 ‎(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)．‎ ‎(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式 ‎(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．‎ ‎　设直线x－y＝4a与抛物线y2＝4ax交于两点A，B(a为定值)，C为抛物线上任意一点，求△ABC的重心的轨迹方程．‎ 解　设△ABC的重心为G(x，y)，‎ 点C的坐标为(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由方程组 消去y并整理得 x2－12ax＋16a2＝0.‎ ‎∴x1＋x2＝12a，‎ y1＋y2＝(x1－4a)＋(x2－4a)＝(x1＋x2)－8a＝4a.‎ ‎∵G(x，y)为△ABC的重心，‎ ‎∴∴ 又点C(x0，y0)在抛物线上，‎ ‎∴将点C的坐标代入抛物线的方程得 ‎(3y－4a)2＝4a(3x－12a)，‎ 即(y－)2＝(x－4a)．‎ 又点C与A，B不重合，∴x0≠(6±2)a，‎ ‎∴△ABC的重心的轨迹方程为 ‎(y－)2＝(x－4a)(x≠(6±)a)．‎ 分类讨论思想在曲线方程中的应用 典例　(16分)已知抛物线y2＝2px经过点M(2，－2)，椭圆＋＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为.‎ ‎(1)求抛物线与椭圆的方程；‎ ‎(2)若P为椭圆上一个动点，Q为过点P且垂直于x轴的直线上的一点，＝λ(λ≠0)，试求Q的轨迹．‎ 思想方法指导　(1)由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，根据x2，y2的系数与0的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论．‎ ‎(2)等价变换是解题的关键：即必须分三种情况讨论轨迹方程．‎ ‎(3)区分求轨迹方程与求轨迹问题．‎ 规范解答 解　(1)因为抛物线y2＝2px经过点M(2，－2)，‎ 所以(－2)2＝4p，解得p＝2.[2分]‎ 所以抛物线的方程为y2＝4x，‎ 其焦点为F(1,0)，即椭圆的右焦点为F(1,0)，得c＝1.‎ 又椭圆的离心率为，所以a＝2，‎ 可得b2＝4－1＝3，[4分]‎ 故椭圆的方程为＋＝1.[5分]‎ ‎(2)设Q(x，y)，其中x∈[－2,2]，‎ 设P(x，y0)，因为P为椭圆上一点，‎ 所以＋＝1，‎ 解得y＝3－x2.[7分]‎ 由＝λ可得＝λ2，‎ 故＝λ2，‎ 得(λ2－)x2＋λ2y2＝3，x∈[－2,2]．[10分]‎ 当λ2＝，即λ＝时，得y2＝12，‎ 点Q的轨迹方程为y＝±2，x∈[－2,2]，‎ 此轨迹是两条平行于x轴的线段；[12分]‎ 当λ2<，即0<λ<时，‎ 得到＋＝1，‎ 此轨迹表示实轴在y轴上的双曲线满足x∈[－2,2]的部分；[14分]‎ 当λ2>，即λ>时，得到＋＝1.‎ 此轨迹表示长轴在x轴上的椭圆满足x∈[－2,2]的部分．[16分] ‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．(2016·无锡质检)设定点M1(0，－3)，M2(0,3)，动点P满足条件PM1＋PM2＝a＋(其中a是正常数)，则点P的轨迹是__________．‎ 答案　椭圆或线段 解析　∵a是正常数，∴a＋≥2＝6.‎ 当PM1＋PM2＝6时，点P的轨迹是线段M1M2；‎ 当a＋>6时，点P的轨迹是椭圆．‎ ‎2．(2016·南京模拟)已知点M与双曲线－＝1的左，右焦点F1，F2的距离之比为2∶3，则点M的轨迹方程为________________．‎ 答案　x2＋y2＋26x＋25＝0‎ 解析　F1(－5,0)，F2(5,0)，设M(x，y)，则＝，化简得x2＋y2＋26x＋25＝0.‎ ‎3．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且PM＝MQ，则Q点的轨迹方程是____________．‎ 答案　2x－y＋5＝0‎ 解析　由题意知，M为PQ中点，‎ 设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，‎ 代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0.‎ ‎4．已知圆锥曲线mx2＋4y2＝4m的离心率e为方程2x2－5x＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为________．‎ 答案　3‎ 解析　∵e是方程2x2－5x＋2＝0的根，‎ ‎∴e＝2或e＝.‎ mx2＋4y2＝4m可化为＋＝1，‎ 当它表示焦点在x轴上的椭圆时，‎ 有＝，∴m＝3；‎ 当它表示焦点在y轴上的椭圆时，‎ 有＝，∴m＝；‎ 当它表示焦点在x轴上的双曲线时，‎ 可化为－＝1，‎ 有＝2，∴m＝－12.‎ ‎∴满足条件的圆锥曲线有3个．‎ ‎5．已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若＝，则点P的轨迹方程为____________．‎ 答案　y＝2x 解析　设P(x，y)，R(x1，y1)，由＝知，点A是线段RP的中点，∴即 ‎∵点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，‎ ‎∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.‎ ‎6．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是________．‎ 答案　直线 解析　设C(x，y)，则＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1,3)，‎ ‎∵＝λ1＋λ2，∴ 又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．‎ ‎7．曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹．给出下列三个结论：‎ ‎①曲线C过坐标原点；‎ ‎②曲线C关于坐标原点对称；‎ ‎③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.‎ 其中，所有正确结论的序号是________．‎ 答案　②③‎ 解析　因为原点O到两个定点F1(－1,0)，F2(1,0)的距离的积是1，且a>1，所以曲线C不过原点，即①错误；因为F1(－1,0)，F2(1,0)关于原点对称，所以PF1·PF2＝a2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为＝PF1·PF2·sin∠F1PF2≤PF1·PF2＝a2，即△F1PF2的面积不大于a2，所以③正确．‎ ‎8．(2017·南通月考)已知△ABC的顶点A，B坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C为动点，且满足sin B＋sin A＝sin C，则C点的轨迹方程为______ __________．‎ 答案　＋＝1(x≠±5)‎ 解析　由sin B＋sin A＝sin C可知b＋a＝c＝10，‎ 则AC＋BC＝10>8＝AB，∴满足椭圆定义．‎ 令椭圆方程为＋＝1，‎ 则a′＝5，c′＝4，b′＝3，则轨迹方程为 ＋＝1(x≠±5)．‎ ‎9.如图，P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，且＝＋，则动点Q的轨迹方程是________．‎ 答案　＋＝1‎ 解析　由于＝＋，‎ 又＋＝＝2＝－2，‎ 设Q(x，y)，‎ 则＝－＝(－，－)，‎ 即P点坐标为(－，－)，又P在椭圆上，‎ 则有＋＝1，即＋＝1.‎ ‎10．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是________________．‎ 答案　＋＝1(y≠0)‎ 解析　设抛物线的焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则AA1＋BB1＝2OO1＝4，‎ 由抛物线定义得AA1＋BB1＝FA＋FB，‎ ‎∴FA＋FB＝4>2＝AB，故F点的轨迹是以A，B为焦点，‎ 长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．‎ ‎∴轨迹方程为＋＝1(y≠0)．‎ ‎11．过点(1,0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y＝x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程．‎ 解　由e＝＝，得＝，‎ 从而a2＝2b2，c＝b.‎ 设椭圆C的方程为x2＋2y2＝2b2，‎ A(x1，y1)、B(x2，y2)，‎ ‎∵A、B在椭圆C上，∴x＋2y＝2b2，x＋2y＝2b2，‎ 两式相减得(x－x)＋2(y－y)＝0，‎ 即＝－.‎ 设AB中点坐标为(x0，y0)，则kAB＝－，‎ 又(x0，y0)在直线y＝x上，故y0＝x0，‎ 于是－＝－1，即kAB＝－1，‎ 故直线l的方程为y＝－x＋1.‎ 右焦点(b,0)关于直线l的对称点设为(x′，y′)，‎ 则　解得 由点(1,1－b)在椭圆上，得1＋2(1－b)2＝2b2，‎ ‎∴b＝，∴b2＝，a2＝.‎ ‎∴所求椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎12．(2016·连云港模拟)定圆M：(x＋)2＋y2＝16，动圆N过点F(，0)且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E.‎ ‎(1)求轨迹E的方程；‎ ‎(2)设点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且AC＝BC，当△ABC的面积最小时，求直线AB的方程．‎ 解　(1)∵F(，0)在圆M：(x＋)2＋y2＝16内，‎ ‎∴圆N内切于圆M.∵NM＋NF＝4>FM，‎ ‎∴点N的轨迹E为椭圆，且2a＝4，c＝，∴b＝1，‎ ‎∴轨迹E的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)①当AB为长轴(或短轴)时，S△ABC＝OC·AB＝2.‎ ‎②当直线AB的斜率存在且不为0时，‎ 设直线AB的方程为y＝kx，A(xA，yA)，‎ 联立方程得x＝，y＝，‎ ‎∴OA2＝x＋y＝.‎ 将上式中的k替换为－，可得OC2＝.‎ ‎∴S△ABC＝2S△AOC＝OA·OC ‎＝ ·＝.‎ ‎∵≤ ‎＝，‎ ‎∴S△ABC≥，‎ 当且仅当1＋4k2＝k2＋4，即k＝±1时等号成立，此时△ABC面积的最小值是.‎ ‎∵2>，∴△ABC面积的最小值是，此时直线AB的方程为y＝x或y＝－x.‎ ‎*13. (2016·河北衡水中学三调)如图，已知圆E：(x＋)2＋y2＝16，点F(，0)，P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于点Q.‎ ‎(1)求动点Q的轨迹Γ的方程；‎ ‎(2)设直线l与(1)中轨迹Γ相交于A，B两点，直线OA，l，OB的斜率分别为k1，k，k2(其中k>0)，△OAB的面积为S，以OA，OB为直径的圆的面积分别为S1，S2，若k1，k，k2恰好构成等比数列，求的取值范围．‎ 解　(1)连结QF，根据题意，‎ QP＝QF，‎ 则QE＋QF＝QE＋QP ‎＝4>EF＝2，‎ 故动点Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．‎ 设其方程为＋＝1(a>b>0)，‎ 可知a＝2，c＝，∴b＝1，‎ ‎∴点Q的轨迹Γ的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设直线l的方程为y＝kx＋m，‎ A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 联立方程整理得，‎ ‎(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，‎ Δ＝16(1＋4k2－m2)>0，‎ x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ ‎∵k1，k，k2构成等比数列，‎ ‎∴k2＝k1k2＝，‎ 整理得km(x1＋x2)＋m2＝0，‎ ‎∴＋m2＝0，解得k2＝.‎ ‎∵k>0，∴k＝.‎ 此时Δ＝16(2－m2)>0，‎ 解得m∈(－，)．‎ 又由A，O，B三点不共线得m≠0，‎ 从而m∈(－，0)∪(0，)．‎ 故S＝·AB·d＝|x1－x2|· ‎＝·|m|‎ ‎＝|m|.‎ 又＋y＝＋y＝1，‎ 则S1＋S2＝(x＋y＋x＋y)‎ ‎＝(x＋x＋2)‎ ‎＝[(x1＋x2)2－2x1x2]＋＝为定值．‎ ‎∴＝×≥，‎ 当且仅当m＝±1时等号成立．‎ 综上，∈[，＋∞)．‎