【数学】2018届一轮复习北师大版第十二章坐标系与参数方程学案 20页

第 1 课时 坐标系 1．平面直角坐标系 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ： x′＝λ·x λ＞0， y′＝μ·y μ＞0 的作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标 伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系 (1)极坐标与极坐标系的概念 在平面内取一个定点 O，自点 O 引一条射线 Ox，同时确定一个长度单位和计算 角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点 O 称为极点， 射线 Ox 称为极轴．平面内任一点 M 的位置可以由线段 OM 的长度ρ和从射线 Ox 到射线 OM 的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点 M 的极坐标．ρ称为点 M 的极径，θ称为点 M 的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取 值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应 的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角． (2)极坐标与直角坐标的互化 设 M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面 关系式成立： x＝ρcos θ y＝ρsin θ ，或 ρ2＝x2＋y2， tan θ＝y x x≠0. 这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 3．常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为 r 的圆 ρ＝r(0≤θ＜2π) 圆心为(r,0)，半径为 r 的圆 ρ＝2rcos_θ －π 2 ≤θ＜π 2 圆心为 r，π 2 ，半径为 r 的圆 ρ＝2rsin_θ (0≤θ＜π) 过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R) 或θ＝π＋α(ρ∈R) 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a －π 2 ＜θ＜π 2 过点 a，π 2 ，与极轴平行的直 线 ρsin_θ＝a (0＜θ＜π) 考点一 极坐标与直角坐标的互化 [例 1] (1)把点 M 的极坐标 －5，π 6 化成直角坐标； (2)把点 M 的直角坐标(－ 3，－1)化成极坐标． 解：(1)∵x＝－5cos π 6 ＝－5 2 3，y＝－5sinπ 6 ＝－5 2 ， ∴点 M 的直角坐标是 －5 2 3，－5 2 . (2)ρ＝ － 32＋－12＝ 3＋1＝2，tan θ＝ －1 － 3 ＝ 3 3 . ∵点 M 在第三象限，ρ＞0，∴最小正角θ＝7π 6 . 因此，点 M 的极坐标是 2，7π 6 [方法引航] 1在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极 角的范围，否则点的极坐标将不唯一. 2在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围.要注意转化的等价性. 1．点 P 的直角坐标为(1，－ 3)，则点 P 的极坐标为( ) A. 2，π 3 B. 2，4 3π C. 2，－π 3 D. 2，－4 3π 解析：选 C.因为点 P(1，－ 3)在第四象限，与原点的距离为 2，且 OP 与 x 轴所 成的角为－π 3. 2．若点 P 的极坐标为 2，π 3 ，则 P 到 x 轴的距离为________． 解析：y＝ρsin θ＝2×sin π 3 ＝ 3. 答案： 3 考点二 直角坐标方程与极坐标方程的互化及应用 [例 2] 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C 的极坐标方程为ρcos θ－π 3 ＝1，M，N 分别为曲线 C 与 x 轴，y 轴的交点． (1)写出曲线 C 的直角坐标方程，并求 M，N 的极坐标； (2)设 M，N 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程． 解：(1)∵ρcos θ－π 3 ＝1，∴ρcos θ·cosπ 3 ＋ρsin θ·sinπ 3 ＝1.∴1 2x＋ 3 2 y＝1. 即曲线 C 的直角坐标方程为 x＋ 3y－2＝0. 令 y＝0，则 x＝2；令 x＝0，则 y＝2 3 3 . ∴M(2,0)，N 0，2 3 3 . ∴M 的极坐标为(2,0)，N 的极坐标为 2 3 3 ，π 2 . (2)∵M，N 连线的中点 P 的直角坐标为 1， 3 3 ， ∴P 的极角为θ＝π 6. ∴直线 OP 的极坐标方程为θ＝π 6(ρ∈R)． [例 3] 在极坐标系中，已知直线 l 的极坐标方程为ρsin θ＋π 4 ＝1，圆 C 的圆心 的极坐标是 C 1，π 4 ，圆的半径为 1. (1)求圆 C 的极坐标方程； (2)求直线 l 被圆 C 所截得的弦长． 解：(1)设 O 为极点，OD 为圆 C 的直径，A(ρ，θ)为圆 C 上的一个动点，则∠AOD ＝π 4 －θ或∠AOD＝θ－π 4 ， OA＝ODcos π 4 －θ 或 OA＝ODcos θ－π 4 ， 所以圆 C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ－π 4 . (2)由ρsin θ＋π 4 ＝1，得 2 2 ρ(sin θ＋cos θ)＝1， ∴直线 l 的直角坐标方程为 x＋y－ 2＝0， 又圆心 C 的直角坐标为 2 2 ， 2 2 满足直线 l 的方程， ∴直线 l 过圆 C 的圆心， 故直线被圆所截得的弦长为直径 2. [方法引航] 直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究 极坐标系下图形的性质，可转化为我们熟悉的直角坐标系的情境. 在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x＝－2，圆 C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原 点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求 C1，C2 的极坐标方程； (2)若直线 C3 的极坐标方程为θ＝π 4(ρ∈R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求△C2MN 的面积． 解：(1)因为 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以 C1 的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C2 的极 坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π 4 代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－3 2ρ＋4＝0，解得ρ1＝2 2， ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝ 2，即|MN|＝ 2.由于 C2 的半径为 1，所以△C2MN 的面积为1 2. [高考真题体验] 1．(2016·高考全国甲卷)在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； (2)直线 l 的参数方程是 x＝tcos α y＝tsin α ，(t 为参数)，l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|＝ 10， 求 l 的斜率． 解：(1)由 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆 C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)． 设 A，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 ρ2＋12ρcos α＋11＝0. 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝ 144cos2α－44. 由|AB|＝ 10得 cos2α＝3 8 ，tan α＝± 15 3 . 所以 l 的斜率为 15 3 或－ 15 3 . 2．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知曲线 C1 的参数方程为 x＝4＋5cos t， y＝5＋5sin t， (t 为参 数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标 方程为ρ＝2sin θ. (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程； (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)． 解：(1)将 x＝4＋5cos t y＝5＋5sin t ，消去参数 t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即 C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0. 将 x＝ρcos θ y＝ρsin θ ，代入 x2＋y2－8x－10y＋16＝0 得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以 C1 的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C2 的普通方程为 x2＋y2－2y＝0. 由 x2＋y2－8x－10y＋16＝0， x2＋y2－2y＝0， 解得 x＝1 y＝1 ，或 x＝0， y＝2. 所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 2，π 4 ， 2，π 2 . 3 ． (2015· 高 考 陕 西 卷 ) 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 直 线 l 的 参 数 方 程 为 x＝3＋1 2t， y＝ 3 2 t (t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙ C 的极坐标方程为ρ＝2 3sin θ. (1)写出⊙C 的直角坐标方程； (2)P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求 P 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝2 3sin θ，得ρ2＝2 3ρsin θ， 从而有 x2＋y2＝2 3y，所以 x2＋(y－ 3)2＝3. (2)设 P 3＋1 2t， 3 2 t ，又 C(0， 3)， 则|PC|＝ 3＋1 2t 2＋ 3 2 t－ 3 2＝ t2＋12， 故当 t＝0 时，|PC|取得最小值， 此时，P 点的直角坐标为(3,0)． 课时规范训练 1．已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程为ρ＝2，ρ2－2 2ρcos θ－π 4 ＝2. (1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2 知ρ2＝4，所以 x2＋y2＝4， 因为ρ2－2 2ρcos θ－π 4 ＝2， 所以ρ2－2 2ρ cos θcosπ 4 ＋sin θsinπ 4 ＝2， 所以 x2＋y2－2x－2y－2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为 x＋y＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin θ＋π 4 ＝ 2 2 . 2．将圆 x2＋y2＝1 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 C. (1)求曲线 C 的方程； (2)设直线 l：2x＋y－2＝0 与 C 的交点为 P1，P2，以坐标原点为极点，x 轴正半 轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程． 解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线 C 上的点(x，y)，依题意， 得 x＝x1， y＝2y1. 由 x21＋y21＝1 得 x2＋ y 2 2＝1， 故曲线 C 的方程为 x2＋y2 4 ＝1. (2)由 x2＋y2 4 ＝1， 2x＋y－2＝0， 解得 x＝1， y＝0 或 x＝0， y＝2. 不妨设 P1(1,0)，P2(0,2)，则线段 P1P2 的中点坐标为 1 2 ，1 ，所求直线斜率为 k＝ 1 2 ， 于是所求直线方程为 y－1＝1 2 x－1 2 ， 化为极坐标方程，并整理得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 故所求直线的极坐标方程为ρ＝ 3 4sin θ－2cos θ. 3．在以 O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于 A，B 两点．若 △AOB 是等边三角形，求实数 a 的值． 解：由ρ＝4sin θ，得 x2＋y2＝4y，即 x2＋(y－2)2＝4， 由直线ρsin θ＝a，得直线的直角坐标方程为 y＝a. 设圆的圆心为 O′，y＝a 与 x2＋(y－2)2＝4 的两交点 A，B 与 O 构成等边三角形， 如图所示． 由对称性知∠O′OB＝30°，OD＝a. 在 Rt△DOB 中，易求 DB＝ 3 3 a， ∴B 点的坐标为 3 3 a，a . 又∵B 在 x2＋y2－4y＝0 上， ∴ 3 3 a 2＋a2－4a＝0， 解得 a＝3(a＝0 舍)． 4．从极点 O 作直线与另一直线 l：ρcos θ＝4 相交于点 M，在 OM 上取一点 P， 使 OM·OP＝12. (1)求点 P 的轨迹方程； (2)设 R 为 l 上的任意一点，求|RP|的最小值． 解：(1)设动点 P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12. ∵ρ0cos θ＝4， ∴ρ＝3cos θ，即为所求的轨迹方程． (2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程， 得 x2＋y2＝3x，即 x－3 2 2＋y2＝ 3 2 2， 知 P 的轨迹是以 3 2 ，0 为圆心，半径为3 2 的圆． 直线 l 的直角坐标方程是 x＝4. 结合图形(图略)易得|RP|的最小值为 1. 第 2 课时 参数方程 1．参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去 参数从参数方程得到普通方程． (2)如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t)，把它代入普通方 程，求出另一个变数与参数的关系 y＝g(t)，那么 x＝ft y＝gt ，就是曲线的参数方 程． 2．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝tan α(x－x0) x＝x0＋tcos α y＝y0＋tsin α ，(t 为参数) 圆 x2＋y2＝r2 x＝rcos θ， y＝rsin θ (θ为参数) 椭圆 x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0) x＝acos φ， y＝bsin φ (φ为参数) 双曲线 x2 a －y2 b2 ＝1，(a＞0，b ＞0) x＝asec φ y＝btan φ ，(φ为参数) 抛物线 y2＝2px(p＞0) x＝2pt2， y＝2pt (t 为参数) 考点一 参数方程与普通方程的互化及应用 命题点 1.求参数方程 2.消参数化为普通方程 [例 1] (1)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆 x2＋y2－x＝0 的参数方 程． 解：(1)圆的半径为1 2 ， 记圆心为 C 1 2 ，0 ，连接 CP， 则∠PCx＝2θ，故 xP＝1 2 ＋1 2cos 2θ＝cos2θ， yP＝1 2sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)． 所以圆的参数方程为 x＝cos2θ， y＝sin θcos θ (θ为参数)． (2)求直线 x＝2＋t， y＝－1－t (t 为参数)与曲线 x＝3cos α y＝3sin α ，(α为参数)的交点个数． 解：将 x＝2＋t， y＝－1－t 消去参数 t 得直线 x＋y－1＝0； 将 x＝3cos α， y＝3sin α， 消去参数α得圆 x2＋y2＝9. 又圆心(0,0)到直线 x＋y－1＝0 的距离 d＝ 2 2 ＜3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有 2 个交点． [方法引航] 1.由普通方程求参数方程，要根据参数的意义建立关系． 2．由参数方程得到普通方程的思路是消参，消去参数的方法要视情况而定，一 般有三种情况： (1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数，或直接利用加减 消元法消参； 2利用三角恒等式消去参数，一般是将参数方程中的两个方程分别变形，使得 一个方程一边只含有 sin θ，另一个方程一边只含有 cos θ，两个方程分别平方后 两式左右相加消去参数； 3根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数.,将参 数方程化为普通方程时，要注意防止变量 x 和 y 取值范围的扩大或缩小，必须根 据参数的取值范围，确定函数 ft和 gt的值域，即 x 和 y 的取值范围. 1．若将本例(1)改为：圆上的任一点 P 与圆心的连线的旋转角为参数θ，求圆的 参数方程． 解：圆心为 1 2 ，0 ，r＝1 2. 设 P(x，y)，则 x＝1 2 ＋1 2cos θ， y＝1 2sin θ(0≤θ≤2π) ∴圆的参数方程为 x＝1 2 ＋1 2cos θ， y＝1 2sin θ. 2．若将本例(2)的曲线变为 x＝3cos α y＝4sin α ，其余不变，求交点个数． 解：x＝3cos α y＝4sin α ，即 x 3 ＝cos α， y 4 ＝sin α. ∴x2 9 ＋y2 16 ＝1. 而直线 x＋y－1＝0，过点(1,0)，点在椭圆x2 9 ＋y2 16 ＝1 内，故直线与曲线有两个交 点． 考点二 极坐标方程与参数方程的综合应用 命题点 1.直线与圆的方程应用 2.直线与椭圆的方程应用 [例 2] (1)(2016·高考全国乙卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 x＝acos t， y＝1＋asin t， (t 为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的 极坐标系中，曲线 C2：ρ＝4cos θ. ①说明 C1 是哪一种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程； ②直线 C3 的极坐标方程为θ＝α0，其中α0 满足 tan α0＝2，若曲线 C1 与 C2 的公 共点都在 C3 上，求 a. 解：①消去参数 t 得到 C1 的普通方程为 x2＋(y－1)2＝a2.所以 C1 是以(0,1)为圆心， a 为半径的圆． 将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入 C1 的普通方程中，得到 C1 的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0. ②曲线 C1，C2 的公共点的极坐标满足方程组 ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0， ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得 16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由已知 tan θ＝2，可得 16cos2θ－8sin θcos θ＝0，从而 1－a2＝0，解得 a＝－1(舍去)或 a＝1. 当 a＝1 时，极点也为 C1，C2 的公共点，且在 C3 上． 所以 a＝1. (2)(2016· 高 考 全 国 丙 卷 ) 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为 x＝ 3cos α， y＝sin α (α为参数)．以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立 极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为ρsin θ＋π 4 ＝2 2. ①写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程； ②设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标． 解：①C1 的普通方程为x2 3 ＋y2＝1，C2 的直角坐标方程为 x＋y－4＝0. ②由题意，可设点 P 的直角坐标为( 3cos α，sin α)．因为 C2 是直线，所以|PQ| 的最小值即为 P 到 C2 的距离 d(α)的最小值， d(α)＝| 3cos α＋sin α－4| 2 ＝ 2sin α＋π 3 －2. 当且仅当α＝2kπ＋π 6(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为 2，此时 P 的直角坐 标为 3 2 ，1 2 . [方法引航] 对于曲线方程为极坐标方程或参数方程时，一般都化为平面直角坐 标系中的普通方程 fx，y＝0 再应用.如果直接应用，要明确极坐标ρ，θ及参数 的意义. 1．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 x＝3－ 2 2 t， y＝ 5＋ 2 2 t (t 为参数)．在 极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正 半轴为极轴)中，圆 C 的方程为ρ＝2 5sin θ. (1)求圆 C 的直角坐标方程； (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A，B，若点 P 的坐标为(3， 5)，求|PA|＋|PB|. 解：(1)由ρ＝2 5sin θ，得ρ2＝2 5ρsin θ. ∴x2＋y2＝2 5y，即 x2＋(y－ 5)2＝5. (2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程． 得 3－ 2 2 t 2＋ 2 2 t 2＝5，即 t2－3 2t＋4＝0. 由于Δ＝(3 2)2－4×4＝2＞0，故可设 t1，t2 是上述方程的两实根， 所以 t1＋t2＝3 2， t1·t2＝4. 又直线 l 过点 P(3， 5)， 故由上式及 t 的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3 2. 2 ． (2017· 甘 肃 三 校 联 考 ) 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 直 线 l 的 参 数 方 程 为 x＝1＋tcos α， y＝2＋tsin α (t 为参数)，在极坐标系 (与直角坐标系 xOy 取相同的长度单 位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，圆 C 的方程为ρ＝6sin θ. (1)求圆 C 的直角坐标方程； (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A，B，若点 P 的坐标为(1,2)，求|PA|＋|PB|的最小值． 解：(1)由ρ＝6sin θ得ρ2＝6ρsin θ，化为直角坐标方程为 x2＋y2＝6y，即 x2＋(y－ 3)2＝9. 所以圆 C 的直角坐标方程为 x2＋(y－3)2＝9. (2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得 t2＋2(cos α－sin α)t－7＝0. 由已知得Δ＝(2cos α－2sin α)2＋4×7＞0，所以可设 t1，t2 是上述方程的两根， 则 t1＋t2＝－2cos α－sin α， t1·t2＝－7. 由题意得直线 l 过点(1,2)，结合 t 的几何意义得 |PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2| ＝ t1＋t22－4t1t2＝ 4cos α－sin α2＋28 ＝ 32－4sin 2α≥ 32－4＝2 7. 所以|PA|＋|PB|的最小值为 2 7. [高考真题体验] 1．(2015·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： x＝tcos α， y＝tsin α， (t 为参数，t≠0)，其中 0≤α＜π.在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中， 曲线 C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2 3cos θ. (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标； (2)若 C1 与 C2 相交于点 A，C1 与 C3 相交于点 B，求|AB|的最大值． 解：(1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2＋y2－2y＝0，曲线 C3 的直角坐标方程为 x2 ＋y2－2 3x＝0. 联立 x2＋y2－2y＝0， x2＋y2－2 3x＝0， 解得 x＝0， y＝0， 或 x＝ 3 2 ， y＝3 2. 所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0)和 3 2 ，3 2 . (2)曲线 C1 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中 0≤α＜π. 因此 A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(2 3cos α，α)． 所以|AB|＝|2sin α－2 3cos α|＝4|sin α－π 3 |. 当α＝5π 6 时，|AB|取得最大值，最大值为 4. 2．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈ 0，π 2 . (1)求 C 的参数方程； (2)设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 l：y＝ 3x＋2 垂直，根据(1)中你得 到的参数方程，确定 D 点的坐标． 解：(1)C 的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)． 可得 C 的参数方程为 x＝1＋cos t， y＝sin t (t 为参数，0≤t≤π)． (2)设 D(1＋cos t，sin t)．由(1)知 C 是以 G(1,0)为圆心，1 为半径的上半圆．因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直，所以直线 GD 与 l 的斜率相同． tan t＝ 3，t＝π 3. 故 D 的直角坐标为 1＋cosπ 3 ，sinπ 3 ，即 3 2 ， 3 2 . 3．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)已知曲线 C：x2 4 ＋y2 9 ＝1，直线 l： x＝2＋t， y＝2－2t (t 为 参数)． (1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程； (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值 与最小值． 解：(1)曲线 C 的参数方程为 x＝2cos θ， y＝3sin θ (θ为参数)． 直线 l 的普通方程为 2x＋y－6＝0. (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ，3sin θ)到 l 的距离为 d＝ 5 5 |4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA|＝ d sin 30° ＝2 5 5 |5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且 tan α＝4 3. 当 sin(θ＋α)＝－1 时，|PA|取得最大值，最大值为22 5 5 . 当 sin(θ＋α)＝1 时，|PA|取得最小值，最小值为2 5 5 . 4．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)已知动点 P，Q 都在曲线 C： x＝2cos t， y＝2sin t (t 为参 数)上，对应参数分别为 t＝α与 t＝2α(0＜α＜2π)，M 为 PQ 的中点． (1)求 M 的轨迹的参数方程； (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为α的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点． 解：(1)依题意有 P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，因此 M(cos α＋cos 2α， sin α＋sin 2α)． 故 M 的轨迹的参数方程为 x＝cos α＋cos 2α y＝sin α＋sin 2α (α为参数，0＜α＜2π)． (2)M 点到坐标原点的距离 d＝ x2＋y2＝ 2＋2cos α(0＜α＜2π)． 当α＝π时，d＝0，故 M 的轨迹过坐标原点． 课时规范训练 1．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：x＝tcos α， y＝tsin α， (t 为参数，t≠0)，其中 0≤α<π. 在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝ 2 3cos θ. (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标； (2)若 C1 与 C2 相交于点 A，C1 与 C3 相交于点 B，求|AB|的最大值． 解：(1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2＋y2－2y＝0，曲线 C3 的直角坐标方程为 x2 ＋y2－2 3x＝0. 联立 x2＋y2－2y＝0， x2＋y2－2 3x＝0， 解得 x＝0， y＝0 或 x＝ 3 2 ， y＝3 2. 所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0)和 3 2 ，3 2 . (2)曲线 C1 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中 0≤α＜π. 因此 A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(2 3cos α，α)． 所以|AB|＝|2sin α－2 3cos α|＝4|sin α－π 3 |. 当α＝5π 6 时， |AB|取得最大值，最大值为 4. 2．在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆 C1， 直线 C2 的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos θ－π 4 ＝2 2. (1)求 C1 与 C2 交点的极坐标； (2)设 P 为 C1 的圆心，Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点．已知直线 PQ 的参数方程 为 x＝t3＋a， y＝b 2t3＋1 (t∈R 为参数)，求 a，b 的值． 解：(1)圆 C1 的直角坐标方程为 x2＋(y－2)2＝4，直线 C2 的直角坐标方程为 x＋y －4＝0. 解 x2＋y－22＝4， x＋y－4＝0， 得 x1＝0， y1＝4， x2＝2， y2＝2. 所以 C1 与 C2 交点的极坐标为 4，π 2 ， 2 2，π 4 . 注：极坐标系下点的表示不唯一． (2)由(1)可得，P 点与 Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x－y＋2＝0， 由参数方程可得 y＝b 2x－ab 2 ＋1. 所以 b 2 ＝1， －ab 2 ＋1＝2， 解得 a＝－1， b＝2. 3．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系．已知点 A 的极坐标为 2，π 4 ，直线 l 的极坐标方程为ρcos θ－π 4 ＝a，且点 A 在直线 l 上． (1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程； (2)圆 C 的参数方程为 x＝1＋cos α， y＝sin α (α为参数)，试判断直线 l 与圆 C 的位置关 系． 解：(1)由点 A 2，π 4 在直线ρcos θ－π 4 ＝a 上，可得 a＝ 2.所以直线 l 的方程可 化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线 l 的直角坐标方程为 x＋y－2＝0. (2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1， 所以圆 C 的圆心为(1,0)，半径 r＝1， 因为圆心 C 到直线 l 的距离 d＝ 1 2 ＝ 2 2 ＜1， 所以直线 l 与圆 C 相交． 4．在直角坐标系 xOy 中，设倾斜角为α的直线 l： x＝2＋tcos α， y＝ 3＋tsin α (t 为参数)与 曲线 C： x＝2cos θ， y＝sin θ (θ为参数)相交于不同的两点 A，B. (1)若α＝π 3 ，求线段 AB 的中点 M 的坐标； (2)若|PA|·|PB|＝|OP|2，其中 P(2， 3)，求直线 l 的斜率． 解：(1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程为x2 4 ＋y2＝1. 当α＝π 3 时，设点 M 对应的参数为 t0. 直线 l 的方程为 x＝2＋1 2t， y＝ 3＋ 3 2 t (t 为参数)， 代入曲线 C 的普通方程x2 4 ＋y2＝1，得 13t2＋56t＋48＝0， 设直线 l 上的点 A，B 对应参数分别为 t1，t2. 则 t0＝t1＋t2 2 ＝－28 13 ，所以点 M 的坐标为 12 13 ，－ 3 13 . (2)将 x＝2＋tcos α， y＝ 3＋tsin α 代入曲线 C 的普通方程x2 4 ＋y2＝1， 得(cos2α＋4sin2α)t2＋(8 3sin α＋4cos α)t＋12＝0， 因为|PA|·|PB|＝|t1t2|＝ 12 cos2α＋4sin2α ， |OP|2＝7， 所以 12 cos2α＋4sin2α ＝7，得 tan2α＝ 5 16. 由于Δ＝32cos α(2 3sin α－cos α)＞0， 故 tan α＝ 5 4 .所以直线 l 的斜率为 5 4 .