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- 2021-06-10 发布
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8.不等式选讲
1.已知函数f(x)＝|x－2a|＋|x－3a|.
(1)若f(x)的最小值为2，求a的值；
(2)若对∀x∈R， ∃a∈[－2，2]，使得不等式m2－|m|－f(x)<0成立，求实数m的取值范围.
解 (1)|x－2a|＋|x－3a|≥|(x－2a)－(x－3a)|＝|a|，
当且仅当x取介于2a和3a之间的数时，等号成立，
故f(x)的最小值为|a|， ∴a＝±2.
(2)由(1)知f(x)的最小值为|a|，
故∃a∈[－2，2]，使m2－|m|<|a|成立，
即 m2－|m|<2，∴(|m|＋1)(|m|－2)<0，
∴－20).
(1)当m＝2时，求不等式f(x)≥1的解集；
(2)对于任意实数x，t，不等式f(x)≤|t＋3|＋|t－2|恒成立，求m的取值范围.
解 (1)f(x)＝|x－2m|－|x＋m|＝
当m＝2时，由－2x＋2≥1得－20，∴0
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