【数学】2018届一轮复习苏教版1-1集合及其运算教案（江苏专用） 11页

‎1.1 集合及其运算 ‎1.集合与元素 ‎(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.‎ ‎(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示.‎ ‎(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.‎ ‎(4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋)‎ Z Q R ‎2.集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子集 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A则a∈B)‎ A⊆B ‎(或B⊇A)‎ 真子集 如果A⊆B，并且A≠B AB ‎(或BA)‎ 集合相等 如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)‎ A＝B ‎3.集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn图 交集 由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}‎ 并集 由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}‎ 补集 设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集 ‎∁SA＝{x|x∈S，且x∉A}‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1.若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.‎ ‎2.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.‎ ‎3.A∩∁UA＝∅；A∪∁UA＝U；∁U(∁UA)＝A.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)任何一个集合都至少有两个子集.(　×　)‎ ‎(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(　×　)‎ ‎(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.(　×　)‎ ‎(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}.(　√　)‎ ‎(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.(　√　)‎ ‎(6)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(　×　)‎ ‎1.(教材改编)设A＝{x|x2－4x－5＝0}，B＝{x|x2＝1}，则A∪B＝__________.‎ 答案　{－1，1，5}‎ 解析　∵A＝{－1，5}，B＝{－1，1}，∴A∪B＝{－1，1，5}.‎ ‎2.已知集合A＝{x|x2－6x＋5≤0}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝__________.‎ 答案　{x|3≤x≤5}‎ ‎3.(教材改编)设全集U＝R，A＝{x|x<1}，B＝{x|x≥m}.若A∩B＝∅，A∪B＝R，则m＝________.‎ 答案　1‎ 解析　∵A∩B＝∅，A∪B＝R，∴B＝∁UA，故m＝1.‎ ‎4.(2016·天津改编)已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝________.‎ 答案　{1，4}‎ 解析　因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1；‎ 当x＝2时，y＝3×2－2＝4；‎ 当x＝3时，y＝3×3－2＝7；‎ 当x＝4时，y＝3×4－2＝10；‎ 即B＝{1，4，7，10}.‎ 又因为A＝{1，2，3，4}，所以A∩B＝{1，4}.‎ ‎5.(2016·苏州模拟)已知集合A＝{1，3，m}，B＝{3，4}，A∪B＝{1，2，3，4}，则m＝________.‎ 答案　2‎ 解析　∵A∪B＝{1，3，m}∪{3，4}＝{1，2，3，4}，‎ ‎∴2∈{1，3，m}，∴m＝2.‎ 题型一　集合的含义 例1　(1)已知集合A＝{x|x∈Z，且∈Z}，则集合A中的元素个数为________.‎ ‎(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.‎ 答案　(1)4　(2)0或 解析　(1)∵∈Z，‎ ‎∴2－x的取值有－3，－1，1，3，‎ 又∵x∈Z，∴x值分别为5，3，1，－1，‎ 故集合A中的元素个数为4.‎ ‎(2)若a＝0，则A＝，符合题意；‎ 若a≠0，则由题意得Δ＝9－8a＝0，解得a＝.‎ 综上，a的值为0或.‎ 思维升华　(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型是数集、点集还是其他类型的集合；‎ ‎(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.‎ ‎　(1)(2016·盐城模拟)已知A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是________.‎ ‎①－1∉A ②－11∈A ‎③3k2－1∈A(k∈Z) ④－34∉A ‎(2)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝________.‎ 答案　(1)③　(2)2‎ 解析　(1)∵k∈Z，∴k2∈Z，∴3k2－1∈A.‎ ‎(2)因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，‎ 所以a＋b＝0，得＝－1，‎ 所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.‎ 题型二　集合的基本关系 例2　(1)设A，B是全集I＝{1，2，3，4}的子集，A＝{1，2}，则满足A⊆B的B的个数是________.‎ ‎(2)已知集合A＝{x|x2－2 017x＋2 016<0}，B＝{x|x－1.‎ ‎(2)由题意可得{a，a2}＝{4，16}，∴a＝4.‎ 思维升华　(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况.‎ ‎(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化.‎ ‎　(1)已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x>5}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为________.‎ ‎(2)已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－13　(2)[－1，＋∞)‎ 解析　(1)要使A∩B＝∅，则或2a>a＋3，‎ ‎∴a≤2或a>3.‎ ‎(2)由x2－x－12≤0，得(x＋3)(x－4)≤0，即－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}.又A∩B＝B，所以B⊆A.‎ ‎①当B＝∅时，有m＋1≤2m－1，解得m≥2.‎ ‎②当B≠∅时，有解得－1≤m<2.‎ 综上，m的取值范围为[－1，＋∞).‎ 题型四　集合的新定义问题 例5　若对任意的x∈A，∈A，则称A是“伙伴关系集合”，则集合M＝{－1，0，，1，2}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________.‎ 答案　7‎ 解析　具有伙伴关系的元素组有－1；1；2和共三组，它们中任一组、两组、三组均可组成非空伙伴关系集合，所以非空伙伴关系集合分别为{1}，{－1}，{，2}，{－1，1}，{－1，，2}，{1，，2}，{－1，1，，2}，共7个.‎ 思维升华　解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点 ‎(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.‎ ‎　定义一种新的集合运算△：A△B＝{x|x∈A，且x∉B}.若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A＝____________.‎ 答案　{x|3≤x≤4}‎ 解析　A＝{x|10}，若A⊆B，则实数c 的取值范围是__________.‎ 答案　[1，＋∞)‎ 解析　由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0，1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c).由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.‎ ‎8.(2015·浙江改编)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则(∁RP)∩Q＝__________.‎ 答案　{x|11}，‎ 所以A∪B＝{x|x>1或x≤－1}.‎ ‎13.(2016·江苏无锡新区期中)设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P*Q＝{z|z＝ab，a∈P，b∈Q}，若P＝{－1，0，1}，Q＝{－2，2}，则集合P*Q中元素的个数是________.‎ 答案　3‎ 解析　按P*Q的定义，P*Q中元素为2，－2，0，共3个.‎ ‎14.已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是________.‎ 答案　5‎ 解析　当x＝0，y＝0时，x－y＝0；‎ 当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；‎ 当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；‎ 当x＝1，y＝0时， x－y＝1；‎ 当x＝1，y＝1时，x－y＝0；‎ 当x＝1，y＝2时， x－y＝－1；‎ 当x＝2，y＝0时，x－y＝2；‎ 当x＝2，y＝1时， x－y＝1；‎ 当x＝2，y＝2时，x－y＝0.‎ 根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2，1，2，共5个.‎ ‎15.已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________.‎ 答案　(－∞，－2]‎ 解析　集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}‎ ‎＝{x|2≤x≤4}＝[2，4]，‎ 因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，‎ 即实数a－b的取值范围是(－∞，－2].‎