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  • 2021-06-10 发布

【数学】2018届一轮复习北师大版第八章解析几何第六节双曲线教案

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第六节 双曲线 ‎☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆‎ 考纲要求 真题举例 命题角度 ‎1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线);‎ ‎2.了解双曲线的简单应用;‎ ‎3.理解数形结合的思想。‎ ‎2016,全国卷Ⅰ,5,5分(双曲线标准方程)‎ ‎2016,全国卷Ⅱ,11,5分(双曲线离心率)‎ ‎2016,天津卷,6,5分(双曲线标准方程)‎ ‎2016,山东卷,13,5分(双曲线离心率)‎ ‎2016,北京卷,13,5分(双曲线的渐近线)‎ ‎1.以考查双曲线的概念及性质为主,直线与双曲线的位置关系也是考查的热点;‎ ‎2.题型主要以选择题、填空题为主,要求相对较低,但经常考查。‎ 微知识 小题练 自|主|排|查 ‎1.双曲线的概念 平面内到两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F‎1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距。‎ 集合P={M|||MF1|-|MF2||=‎2a,|F‎1F2|=‎2c,其中a、c为常数且a>0,c>0}。‎ ‎(1)当a<c时,M点的轨迹是双曲线;‎ ‎(2)当a=c时,M点的轨迹是两条射线;‎ ‎(3)当a>c时,M点不存在。‎ ‎2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 -=1‎ ‎(a>0,b>0)‎ -=1‎ ‎(a>0,b>0)‎ 图形 性质 范围 x≥a或x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a 对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点 顶点坐标:‎ A1(-a,0),A2(a,0)‎ 顶点坐标:‎ A1(0,-a),A2(0,a)‎ 渐近线 y=±x y=±x 离心率 e=,e∈(1,+∞),其中c= 性质 实虚轴 线段A‎1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A‎1A2|=‎2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长 微点提醒 ‎1.双曲线方程中c2=a2+b2,说明双曲线方程中c最大,解决双曲线问题时不要忽视了这个结论,不要与椭圆中的知识相混淆。‎ ‎2.双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程是y=±x,-=1(a>0,b>0)的渐近线方程是y=±x。‎ ‎3.渐近线与离心率 -=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为 =。‎ ‎4.若P为双曲线上一点,F为其对应焦点,则|PF|≥c-a。‎ 小|题|快|练 一 、走进教材 ‎1.(选修2-1P‎61A组T1改编)已知双曲线x2-=1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4,那么点P到另一个焦点的距离等于________。‎ ‎【解析】 设双曲线的焦点为F1,F2,|PF1|=4,则||PF1|-|PF2||=2,故|PF2|=6或2,又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c-a=-1,故|PF2|=6。‎ ‎【答案】 6‎ ‎2.(选修2-1P58例3改编)双曲线-=1的渐近线方程为________。‎ ‎【解析】 因为双曲线方程为-=1,‎ 所以其渐近线方程为±=0,‎ 即3x±2y=0。‎ ‎【答案】 3x+2y=0或3x-2y=0‎ 二、双基查验 ‎1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是(  )‎ A.2 B.2 C.4 D.4 ‎【解析】 双曲线2x2-y2=8的标准方程为-=1,所以实轴长‎2a=4。故选C。‎ ‎【答案】 C ‎2.过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上,若|PQ|=7,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是(  )‎ A.28           B.14-8 C.14+8 D.8 ‎【解析】 由双曲线定义知,‎ ‎|PF2|-|PF1|=4,|QF2|-|QF1|=4,‎ ‎∴|PF2|+|QF2|-(|PF1|+|QF1|)=8。‎ 又|PF1|+|QF1|=|PQ|=7,‎ ‎∴|PF2|+|QF2|=7+8。‎ ‎∴△PF2Q的周长为14+8。故选C。‎ ‎【答案】 C ‎3.(2016·天津高考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦距为2,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为(  )‎ A.-y2=1 B.x2-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ ‎【解析】 由题意得c=,=,则a=2,b=1,所以双曲线的方程为-y2=1。故选A。‎ ‎【答案】 A ‎4.以椭圆+=1的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程为________。‎ ‎【解析】 设要求的双曲线方程为-=1(a>0,b>0),由椭圆+=1,得焦点为(±1,0),顶点为(±2,0)。‎ 所以双曲线的顶点为(±1,0),焦点为(±2,0)。‎ 所以a=1,c=2,所以b2=c2-a2=3,‎ 所以双曲线标准方程为x2-=1。‎ ‎【答案】 x2-=1‎ ‎5.在平面直角坐标系xOy中,双曲线中心在原点,焦点在y轴上,一条渐近线方程为x-2y=0,则它的离心率为________。‎ ‎【解析】 设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),‎ 其中一条渐近线方程为y=x,‎ ‎∴==,即=e2-1=4。‎ ‎∴e=。‎ ‎【答案】  微考点 大课堂 考点一 ‎ 双曲线的定义及其应用……母题发散 ‎【典例1】 (1)已知圆C:(x-3)2+y2=4,定点A(-3,0),则过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的轨迹方程为________。‎ ‎(2)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=________。‎ ‎【解析】 (1)设动圆M的半径为R,‎ 则|MC|=2+R,|MA|=R,‎ ‎∴|MC|-|MA|=2,‎ 由双曲线的定义知,M点的轨迹是以A,C为焦点的双曲线的左支,且a=1,c=3,‎ ‎∴b2=8,则动圆圆心M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1)。‎ ‎(2)∵由双曲线的定义有|PF1|-|PF2|=|PF2|=‎2a=2,‎ ‎∴|PF1|=2|PF2|=4,‎ 则cos∠F1PF2= ‎==。‎ ‎【答案】 (1)x2-=1(x≤-1) (2) ‎【母题变式】 1.本典例(2)中将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“∠F1PF2=60°”,则△F1PF2的面积是多少?‎ ‎【解析】 不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=‎2a=2,‎ 在△F1PF2中,由余弦定理,得 cos∠F1PF2==,‎ 所以|PF1|·|PF2|=8,‎ 所以S△F1PF2=|PF1|·|PF2|sin60°=2。‎ ‎【答案】 2 ‎2.本典例(2)中将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“·=‎0”‎,则△F1PF2的面积是多少?‎ ‎【解析】 不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=‎2a=2,‎ 由于·=0,‎ 所以⊥。‎ 所以在△F1PF2中,有|PF1|2+|PF2|2=|F‎1F2|2,‎ 即|PF1|2+|PF2|2=16,‎ 所以|PF1|·|PF2|=4,‎ 所以S△F1PF2=|PF1|·|PF2|=2。‎ ‎【答案】 2‎ 反思归纳 双曲线定义的应用主要有两个方面:(1)判定平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程;(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|-|PF2||=‎2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系。‎ ‎【拓展变式】 已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为________。‎ ‎【解析】 如图所示,设双曲线的右焦点为E,则E(4,0)。由双曲线的定义及标准方程得|PF|-|PE|=4,则|PF|+|PA|=4+|PE|+|PA|。由图可得,当A,P,E三点共线时,(|PE|+|PA|)min=|AE|=5,从而|PF|+|PA|的最小值为9。‎ ‎【答案】 9‎ 考点二 ‎ 双曲线的标准方程 ‎【典例2】 (2016·天津高考)已知双曲线-=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为(  )‎ A.-=1       B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ ‎【解析】 根据圆和双曲线的对称性,可知四边形ABCD为矩形。双曲线的渐近线方程为y=±x,圆的方程为x2+y2=4,不妨设交点A在第一象限,由y=x,x2+y2=4得xA=,yA=,故四边形ABCD的面积为4xAyA==2b,解得b2=12,故所求的双曲线方程为-=1。故选D。‎ ‎【答案】 D 反思归纳 1.求双曲线的标准方程一般用待定系数法;2.当双曲线焦点的位置不确定时,为了避免讨论焦点的位置,常设双曲线方程为Ax2+By2=1(A·B<0),这样可以简化运算。‎ ‎【变式训练】 (1)(2016·广州联考)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦距为10,点P(2,1)在C的一条渐近线上,则C的方程为(  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ ‎(2)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为(  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ ‎【解析】 (1)依题意,解得 ‎∴双曲线C的方程为-=1。故选A。‎ ‎(2)由题意可得=,c=,又c2=7=a2+b2,解得a2=4,b2=3,故双曲线的方程为-=1。故选D。‎ ‎【答案】 (1)A (2)D 考点三 ‎ 双曲线的几何性质……多维探究 角度一:双曲线的渐近线 ‎【典例3】 (2016·北京高考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a=________;b=________。‎ ‎【解析】 由题意知,渐近线方程为y=-2x,由双曲线的标准方程以及性质可知=2,由c=,c2=a2+b2,可得b=2,a=1。‎ ‎【答案】 1 2‎ 角度二:双曲线的离心率 ‎【典例4】 (1)(2016·全国卷Ⅱ)已知F1,F2是双曲线E:-=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF‎2F1=,则E的离心率为(  )‎ A. B. C. D.2‎ ‎(2)(2016·湖南十校联考)设双曲线-=1的两条渐近线与直线x=分别交于A,B两点,F为该双曲线的右焦点。若60°<∠AFB<90°,则该双曲线的离心率的取值范围是(  )‎ A.(1,) B.(,2)‎ C.(1,2) D.(,+∞)‎ ‎【解析】 (1)设F1(-c,0),将x=-c代入双曲线方程,得-=1,所以=-1=,所以y=±。因为sin∠MF‎2F1=,所以tan∠MF‎2F1=====-=-=,所以e2-e-1=0,所以e=。故选A。‎ ‎(2)双曲线-=1的两条渐近线方程为y=±x,x=时,y=±,不妨设A,B,∵60°<∠AFB<90°,∴0,b>0)中,离心率e与双曲线的渐近线的斜率k=±满足关系式e2=1+k2。‎ ‎2.求双曲线的离心率时,将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a,b,c的方程或不等式,利用b2=c2-a2和e=转化为关于e的方程或不等式,通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围。‎ 微考场 新提升 ‎1.若双曲线-=1的离心率为,则其渐近线方程为(  )‎ A.y=±2x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 解析 由离心率为,可知c=a,∴b=a。∴渐近线方程为y=±x=±x。故选B。‎ 答案 B ‎2.(2016·江南十校3月联考)已知l是双曲线C:-=1的一条渐近线,P是l上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若·=0,则P到x轴的距离为(  )‎ A. B. C.2 D. 解析 F1(-,0),F2(,0),不妨设l的方程为y=x,则可设P(x0,x0),由·=(--x0,-x0)·(-x0,-x0)=3x-6=0,得x0=±,故P到x轴的距离为|x0|=2。故选C。‎ 答案 C ‎3.(2016·河南中原名校3月联考)过双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A,B两点,若△OAB的面积为,则双曲线的离心率为(  )‎ A. B. C. D. 解析 由题意可求得|AB|=,所以S△OAB=××c=,整理得=,即e=。故选D。‎ 答案 D ‎4.设双曲线C经过点(2,2),且与-x2=1具有相同渐近线,则C的方程为________;渐近线方程为________。‎ 解析 设双曲线C的方程为-x2=λ,将点(2,2)代入上式,得λ=-3,∴C的方程为-=1,其渐近线方程为y=±2x。‎ 答案 -=1 y=±2x ‎5.(2016·北京高考)双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点。若正方形OABC的边长为2,则a=________。‎ 解析 双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,由已知可得两条渐近线方程互相垂直,由双曲线的对称性可得=1。又正方形OABC的边长为2,所以c=2,所以a2+b2=c2=(2)2,解得a=2。‎ 答案 2‎ 微专题 巧突破 忽视双曲线的范围致误 ‎【典例】 是否存在同时满足下列条件的双曲线?若存在,求出双曲线标准方程;若不存在,说明理由。‎ ‎(1)焦点在x轴上;‎ ‎(2)渐近线方程为x±2y=0;‎ ‎(3)点A(5,0)到双曲线上动点P的最小距离为。‎ ‎【易错分析】 双曲线的范围是|x|≥a,而不是x∈R,这正是该题易错的根源所在。‎ ‎【解析】 由条件(1)设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0)。‎ 由条件(2)知=,即a=2b,于是双曲线方程可化简为x2-4y2=4b2。‎ 设P(x0,y0),则|PA|2=(x0-5)2+y=x-10x0+25-b2=(x0-4)2+5-b2(|x0|≥a),当x0≥a>4时,则x0=a时,|PA|2取得最小值,由条件(3)得a2-‎10a+25-b2=6,即4b2-20b+19=0,解得b=(5+);当a≤4时,则x0=4时,|PA|2最小,即×42-10×4+25-b2=6,解得b2=-1(舍去)。‎ 综上可知,存在满足条件的双曲线,且该双曲线的方程为x2-4y2=(5+)2,即-=1。‎ ‎【易错提示】 解决与双曲线有关的最值或范围问题时,常常通过构建目标函数求之,但目标函数的变量范围往往会受到双曲线范围的影响,解题中务必要注意这一点。‎ ‎【变式训练】 若点O和点F(-2,0)分别为双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则·的取值范围为________。‎ ‎【解析】 由条件知a2+1=22=4,∴a2=3,‎ ‎∴双曲线方程为-y2=1,‎ 设P点坐标为(x,y),则=(x,y),=(x+2,y),‎ ‎∵y2=-1,∴·=x2+2x+y2=x2+2x+-1‎ ‎=x2+2x-1=2-。‎ 又∵x≥(P为右支上任意一点),‎ ‎∴·≥3+2。‎ ‎【答案】 [3+2,+∞)‎