【数学】2018届一轮复习北师大版第八章解析几何第六节双曲线教案 11页

第六节　双曲线 ‎☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆‎ 考纲要求 真题举例 命题角度 ‎1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)；‎ ‎2.了解双曲线的简单应用；‎ ‎3.理解数形结合的思想。‎ ‎2016，全国卷Ⅰ，5,5分(双曲线标准方程)‎ ‎2016，全国卷Ⅱ，11,5分(双曲线离心率)‎ ‎2016，天津卷，6,5分(双曲线标准方程)‎ ‎2016，山东卷，13,5分(双曲线离心率)‎ ‎2016，北京卷，13,5分(双曲线的渐近线)‎ ‎1.以考查双曲线的概念及性质为主，直线与双曲线的位置关系也是考查的热点；‎ ‎2.题型主要以选择题、填空题为主，要求相对较低，但经常考查。‎ 微知识　小题练 自|主|排|查 ‎1．双曲线的概念 平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F‎1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距。‎ 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝‎2a，|F‎1F2|＝‎2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0}。‎ ‎(1)当a＜c时，M点的轨迹是双曲线；‎ ‎(2)当a＝c时，M点的轨迹是两条射线；‎ ‎(3)当a＞c时，M点不存在。‎ ‎2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1‎ ‎(a＞0，b＞0)‎ －＝1‎ ‎(a＞0，b＞0)‎ 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 顶点坐标：‎ A1(－a,0)，A2(a,0)‎ 顶点坐标：‎ A1(0，－a)，A2(0，a)‎ 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 性质 实虚轴 线段A‎1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A‎1A2|＝‎2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 微点提醒 ‎1．双曲线方程中c2＝a2＋b2，说明双曲线方程中c最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆。‎ ‎2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x，－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x。‎ ‎3．渐近线与离心率 －＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为 ＝。‎ ‎4．若P为双曲线上一点，F为其对应焦点，则|PF|≥c－a。‎ 小|题|快|练 一 、走进教材 ‎1．(选修2－1P‎61A组T1改编)已知双曲线x2－＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________。‎ ‎【解析】　设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c－a＝－1，故|PF2|＝6。‎ ‎【答案】　6‎ ‎2．(选修2－1P58例3改编)双曲线－＝1的渐近线方程为________。‎ ‎【解析】　因为双曲线方程为－＝1，‎ 所以其渐近线方程为±＝0，‎ 即3x±2y＝0。‎ ‎【答案】　3x＋2y＝0或3x－2y＝0‎ 二、双基查验 ‎1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)‎ A．2 B．2 C．4 D．4 ‎【解析】　双曲线2x2－y2＝8的标准方程为－＝1，所以实轴长‎2a＝4。故选C。‎ ‎【答案】　C ‎2．过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是(　　)‎ A．28　　　　　　　　　　 B．14－8 C．14＋8 D．8 ‎【解析】　由双曲线定义知，‎ ‎|PF2|－|PF1|＝4，|QF2|－|QF1|＝4，‎ ‎∴|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝8。‎ 又|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝7，‎ ‎∴|PF2|＋|QF2|＝7＋8。‎ ‎∴△PF2Q的周长为14＋8。故选C。‎ ‎【答案】　C ‎3．(2016·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－y2＝1 B．x2－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎【解析】　由题意得c＝，＝，则a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1。故选A。‎ ‎【答案】　A ‎4．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________。‎ ‎【解析】　设要求的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由椭圆＋＝1，得焦点为(±1,0)，顶点为(±2,0)。‎ 所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)。‎ 所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，‎ 所以双曲线标准方程为x2－＝1。‎ ‎【答案】　x2－＝1‎ ‎5．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x－2y＝0，则它的离心率为________。‎ ‎【解析】　设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，‎ 其中一条渐近线方程为y＝x，‎ ‎∴＝＝，即＝e2－1＝4。‎ ‎∴e＝。‎ ‎【答案】　 微考点　大课堂 考点一 ‎ 双曲线的定义及其应用……母题发散 ‎【典例1】　(1)已知圆C：(x－3)2＋y2＝4，定点A(－3,0)，则过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的轨迹方程为________。‎ ‎(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________。‎ ‎【解析】　(1)设动圆M的半径为R，‎ 则|MC|＝2＋R，|MA|＝R，‎ ‎∴|MC|－|MA|＝2，‎ 由双曲线的定义知，M点的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，且a＝1，c＝3，‎ ‎∴b2＝8，则动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)。‎ ‎(2)∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝‎2a＝2，‎ ‎∴|PF1|＝2|PF2|＝4，‎ 则cos∠F1PF2＝ ‎＝＝。‎ ‎【答案】　(1)x2－＝1(x≤－1)　(2) ‎【母题变式】　1.本典例(2)中将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？‎ ‎【解析】　不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝‎2a＝2，‎ 在△F1PF2中，由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝＝，‎ 所以|PF1|·|PF2|＝8，‎ 所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin60°＝2。‎ ‎【答案】　2 ‎2．本典例(2)中将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“·＝‎0”‎，则△F1PF2的面积是多少？‎ ‎【解析】　不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝‎2a＝2，‎ 由于·＝0，‎ 所以⊥。‎ 所以在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F‎1F2|2，‎ 即|PF1|2＋|PF2|2＝16，‎ 所以|PF1|·|PF2|＝4，‎ 所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝2。‎ ‎【答案】　2‎ 反思归纳　双曲线定义的应用主要有两个方面：(1)判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝‎2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系。‎ ‎【拓展变式】　已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________。‎ ‎【解析】　如图所示，设双曲线的右焦点为E，则E(4,0)。由双曲线的定义及标准方程得|PF|－|PE|＝4，则|PF|＋|PA|＝4＋|PE|＋|PA|。由图可得，当A，P，E三点共线时，(|PE|＋|PA|)min＝|AE|＝5，从而|PF|＋|PA|的最小值为9。‎ ‎【答案】　9‎ 考点二 ‎ 双曲线的标准方程 ‎【典例2】　(2016·天津高考)已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1　　　　　　 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎【解析】　根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形。双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝x，x2＋y2＝4得xA＝，yA＝，故四边形ABCD的面积为4xAyA＝＝2b，解得b2＝12，故所求的双曲线方程为－＝1。故选D。‎ ‎【答案】　D 反思归纳　1.求双曲线的标准方程一般用待定系数法；2.当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(A·B<0)，这样可以简化运算。‎ ‎【变式训练】　(1)(2016·广州联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2,1)在C的一条渐近线上，则C的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎【解析】　(1)依题意，解得 ‎∴双曲线C的方程为－＝1。故选A。‎ ‎(2)由题意可得＝，c＝，又c2＝7＝a2＋b2，解得a2＝4，b2＝3，故双曲线的方程为－＝1。故选D。‎ ‎【答案】　(1)A　(2)D 考点三 ‎ 双曲线的几何性质……多维探究 角度一：双曲线的渐近线 ‎【典例3】　(2016·北京高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝________；b＝________。‎ ‎【解析】　由题意知，渐近线方程为y＝－2x，由双曲线的标准方程以及性质可知＝2，由c＝，c2＝a2＋b2，可得b＝2，a＝1。‎ ‎【答案】　1　2‎ 角度二：双曲线的离心率 ‎【典例4】　(1)(2016·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF‎2F1＝，则E的离心率为(　　)‎ A. B. C. D．2‎ ‎(2)(2016·湖南十校联考)设双曲线－＝1的两条渐近线与直线x＝分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点。若60°<∠AFB<90°，则该双曲线的离心率的取值范围是(　　)‎ A．(1，) B．(，2)‎ C．(1,2) D．(，＋∞)‎ ‎【解析】　(1)设F1(－c,0)，将x＝－c代入双曲线方程，得－＝1，所以＝－1＝，所以y＝±。因为sin∠MF‎2F1＝，所以tan∠MF‎2F1＝＝＝＝＝－＝－＝，所以e2－e－1＝0，所以e＝。故选A。‎ ‎(2)双曲线－＝1的两条渐近线方程为y＝±x，x＝时，y＝±，不妨设A，B，∵60°<∠AFB<90°，∴0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2。‎ ‎2．求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2＝c2－a2和e＝转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围。‎ 微考场　新提升 ‎1．若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析　由离心率为，可知c＝a，∴b＝a。∴渐近线方程为y＝±x＝±x。故选B。‎ 答案　B ‎2．(2016·江南十校3月联考)已知l是双曲线C：－＝1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·＝0，则P到x轴的距离为(　　)‎ A. B. C．2 D. 解析　F1(－，0)，F2(，0)，不妨设l的方程为y＝x，则可设P(x0，x0)，由·＝(－－x0，－x0)·(－x0，－x0)＝3x－6＝0，得x0＝±，故P到x轴的距离为|x0|＝2。故选C。‎ 答案　C ‎3．(2016·河南中原名校3月联考)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A，B两点，若△OAB的面积为，则双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　由题意可求得|AB|＝，所以S△OAB＝××c＝，整理得＝，即e＝。故选D。‎ 答案　D ‎4．设双曲线C经过点(2,2)，且与－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为________。‎ 解析　设双曲线C的方程为－x2＝λ，将点(2,2)代入上式，得λ＝－3，∴C的方程为－＝1，其渐近线方程为y＝±2x。‎ 答案　－＝1　y＝±2x ‎5．(2016·北京高考)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点。若正方形OABC的边长为2，则a＝________。‎ 解析　双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得＝1。又正方形OABC的边长为2，所以c＝2，所以a2＋b2＝c2＝(2)2，解得a＝2。‎ 答案　2‎ 微专题　巧突破 忽视双曲线的范围致误 ‎【典例】　是否存在同时满足下列条件的双曲线？若存在，求出双曲线标准方程；若不存在，说明理由。‎ ‎(1)焦点在x轴上；‎ ‎(2)渐近线方程为x±2y＝0；‎ ‎(3)点A(5,0)到双曲线上动点P的最小距离为。‎ ‎【易错分析】　双曲线的范围是|x|≥a，而不是x∈R，这正是该题易错的根源所在。‎ ‎【解析】　由条件(1)设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)。‎ 由条件(2)知＝，即a＝2b，于是双曲线方程可化简为x2－4y2＝4b2。‎ 设P(x0，y0)，则|PA|2＝(x0－5)2＋y＝x－10x0＋25－b2＝(x0－4)2＋5－b2(|x0|≥a)，当x0≥a>4时，则x0＝a时，|PA|2取得最小值，由条件(3)得a2－‎10a＋25－b2＝6，即4b2－20b＋19＝0，解得b＝(5＋)；当a≤4时，则x0＝4时，|PA|2最小，即×42－10×4＋25－b2＝6，解得b2＝－1(舍去)。‎ 综上可知，存在满足条件的双曲线，且该双曲线的方程为x2－4y2＝(5＋)2，即－＝1。‎ ‎【易错提示】　解决与双曲线有关的最值或范围问题时，常常通过构建目标函数求之，但目标函数的变量范围往往会受到双曲线范围的影响，解题中务必要注意这一点。‎ ‎【变式训练】　若点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为________。‎ ‎【解析】　由条件知a2＋1＝22＝4，∴a2＝3，‎ ‎∴双曲线方程为－y2＝1，‎ 设P点坐标为(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋2，y)，‎ ‎∵y2＝－1，∴·＝x2＋2x＋y2＝x2＋2x＋－1‎ ‎＝x2＋2x－1＝2－。‎ 又∵x≥(P为右支上任意一点)，‎ ‎∴·≥3＋2。‎ ‎【答案】　[3＋2，＋∞)‎