2010年高考试题—数学理(福建) 14页

‎2010年普通高等学校招生统一考试（福建卷）‎ 数学试题（理工农医类）‎ ‎ 第I 卷 （选择题 共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于 A． B. C. D. ‎ ‎2.以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 A. x2+y2+2x=0 B. x2+y2+x=0‎ C. x2+y2-x=0 D. x2+y2-2x=0‎ ‎3.设等差数列｛an｝前n项和为Sn . 若a1= -11,a4+a6= -6 ,则当Sn 取最小值时，n等于 A.6 B. 7 C.8 D.9‎ ‎4.函数f（x）= 的零点个数为 A. 0 B. 1 C.2 D.3‎ ‎5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于 ‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎6.如图，若是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1 D1，则下列结论中不正确的是 A. EH∥FG B.四边形EFGH是矩形 C. 是棱柱 D. 是棱台 ‎7.若点O和点F（-2，0）分别为双曲线（a>0）的中心和左 焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为 A. [3- , ） B. [3+ , ） C. [, ） D. [, ）‎ ‎8.设不等式组所表示的平面区域是，平面区域与关于直线3x-4y-9对称。对于中的任意点A与中的任意点B，∣AB∣的最小值等于 A. B. 4 C. D. 2‎ ‎9.对于复数a,b,c,d，若集合S=｛a,b,c,d｝具有性质“对任意x,yS，必有x,yS”，则当 时，b+c+d等于 A. 1 B. -1 C. 0 D. i ‎10.对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k,b为常数），对任给的正数m，存在相应的x0D，使得当xD且x>x0时，总有则称直线l：y=kx+b为曲线y=f（x）与y=g（x）的“分渐近线”。给出定义域均为D=的四组函数如下：‎ ‎①f（x）=x2,g(x)= ; ②f(x)=10-x+2，g(x)= ;‎ ‎③f(x)= ,g(x)= ; ④f(x)= ，g(x)=2(x-1-e-x).‎ 其中，曲线y=f(x)与y=g(x)存在“分渐近线”的是 A．①④ B.②③ C. ②④ D. ③④‎ 第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。‎ ‎11.在等比数列{an}中，若公比q=4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an（ ）‎ ‎12.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于（ ）。‎ ‎13.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于（ ）。‎ ‎14.已知函数f(x)=3sin(x- )( >0)和g(x)=2cos(2x+)+1的图像的对称轴完全相同。若x,则f(x)的取值范围是（ ）。‎ ‎15．已知定义域为（0，+）的函数f(x)满足：（1）对任意x(0, +),恒有f(2x)=2f(x)成立；（2）当x(1,2]时，f(x)=2-x。给出结论如下：‎ ‎①对任意mZ,有f(2m)=0；②函数f(x)的值域为[0，+ ）;③存在nZ,使得f(2n+1)=9;④“函数f(x)在区间（a,b）上单调递减”的充要条件是“存在kZ,使得(a,b) (2k,2k+1)”.‎ 其中所有正确结论的序号是（ ）。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎16.（本小题满分13分）‎ 设S是不等式x2-x-60的解集，整数m,nS。‎ ‎（Ⅰ）记“使得m+n=0成立的有序数组（m,n）”为事件A，试列举A包含的基本事件；‎ ‎（Ⅱ）设=m2,求的分布列及其数学期望E。‎ ‎17.（本小题满分13分）‎ 已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2.0）为其右焦点。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在平行于OA的直线L，使得直线L与椭圆C有公共点，且直线OA与L的距离等于4？若存在，求出直线L的方程；若不存在，说明理由。‎ ‎18.（本小题满分13分）‎ 如图，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC-A1B1C1，‎ 三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径。‎ ‎（Ⅰ）证明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；‎ ‎（Ⅱ）设AB=AA1。在圆柱OO1内随机选取一点，记该点取自于 三棱柱ABC-A1B1C1内的概率为P。‎ （i） 当点C在圆周上运动时，求P的最大值；‎ （ii） 记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为（0°< 90°）。当P取最大值时，求cos的值。‎ ‎19.（本小题满分13分）‎ 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。‎ ‎（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？‎ ‎（Ⅱ）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。‎ ‎20.（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）已知函数f(x)=x3-x ,其图像记为曲线C.‎ （i） 求函数f(x)的单调区间；‎ （ii） 证明：若对于任意非零实数x1 ,曲线C与其在点P1 （x1,f(x1)））处的切线交于另一点P2（x2,f(x2)），曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3,f(x3)），线段P1 P2, P2 P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值；‎ ‎（Ⅱ）对于一般的三次函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a 0),请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。‎ ‎21.本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题记分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。‎ ‎（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵M=，N=，且MN=。‎ ‎（Ⅰ）求实数a,b,c,d的值；（Ⅱ）求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程。‎ ‎（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线L的参数方程为 （t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为=2sin。‎ ‎（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设圆C与直线L交于点A,B。若点P的坐标为（3，），求∣PA∣+∣PB∣。‎ ‎（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)= ∣x-a∣.‎ ‎（Ⅰ）若不等式f(x) 3的解集为，求实数a的值；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。‎ 数学试题（理工农医类）参考答案 一、 选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分50分。‎ ‎1.A 2.D 3.A 4.C 5.C 6.D 7.B 8.B 9.B 10.C 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题4分，满分20分。‎ ‎11. 12. 13. 14. 15.①②④‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎16.本小题主要考查概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想。满分13分。‎ 解：（I）由得，即 ‎ 由于，且，所以A包含的基本事件为：‎ ‎ ，，，，‎ ‎（II）由于的所有不同取值为-2，-1,0,1,2,3，‎ 所以的所有不同取值为0,1,4,9，‎ 且有，，，‎ 故的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎9‎ P 所以 ‎17.本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。满分13分。‎ 解法一：‎ ‎（I）依题意，可设椭圆C的方程为（a>b>0），且可知左焦点为 从而有 解得 ‎ ‎ ， ‎ 又，所以，故椭圆C的方程为 ‎ ‎（II）假设存在符合题意的直线，其方程为 由 得 ‎ ‎ 因为直线与椭圆C有公共点，所以，‎ 解得 另一方面，由直线OA与的距离可得，从而。‎ 由于，所以符合题意的直线不存在。‎ 解法二：‎ ‎（I）依题意，可设椭圆C的方程为（a>b>0），且有：‎ ‎ ， 解得或（舍去）。从而 ‎（II）同解法一 ‎18.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积几何概型等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。满分13分。‎ 解法一 ：‎ ‎（I）平面，平面， ‎ 是圆O的直径， ‎ 又， 平面 而平面，‎ 所以平面平面。‎ ‎（II）（i）设圆柱的底面半径为r，则 ‎ 故三棱柱的体积 ‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎ 当且仅当时等号成立。‎ 从而，‎ 而圆柱的体积，‎ 故，当且仅当 ‎，即时等号成立。‎ 所以，的最大值等于 ‎（ii）由（i）可知，取最大值时，‎ 于是，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），‎ 则，，‎ 平面，是平面的一个法向量 设平面的法向量，‎ ‎ ‎ 取，得平面的一个法向量为 ‎， ‎ 解法二：‎ ‎（I）同解法一 ‎（II）（i）设圆柱的底面半径为r，则，‎ ‎ 故三棱柱的体积 ‎ 设，‎ ‎ 则，，‎ ‎ 由于，当且仅当即时等号成立，故 ‎ 而圆柱的体积，‎ ‎ 故，当且仅当即时等号成立。‎ ‎ 所以，的最大值等于 ‎ （ii）同解法一 解法三：‎ ‎（I）同解法一 ‎（II）（i）设圆柱的底面半径，则，故圆柱的体积 ‎ 因为，所以当取得最大值时，取得最大值。‎ ‎ 又因为点C在圆周上运动，所以当时，的面积最大。进而，三棱柱的体积最大，且其最大值为 ‎ 故的最大值等于 ‎（ii）同解法一 ‎19.本小题主要考查解三角形、二次函数等基础知识，绿茶推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、英语意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13分。‎ 解法一：‎ ‎（I）设相遇时小艇航行的距离为S海里，则 ‎ ‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ 故当时，，此时 ‎ 即，小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。‎ ‎ （II）设小艇与轮船在B出相遇，则 ‎ ‎ ‎ 故 ‎ ，‎ ‎ 即，解得 ‎ 又时，‎ ‎ 故时，t取最小值，且最小值等于 ‎ 此时，在中，有，故可设计寒星方案如下：‎ ‎ 航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇 解法二：‎ ‎（I）若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向。‎ ‎ 设小艇与轮船在C处相遇。‎ ‎ 在中，，‎ ‎ 又， ‎ ‎ 此时，轮船航行时间，‎ ‎ 即，小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。‎ ‎（II）猜想时，小艇能以最短时间与轮船在D出相遇，此时 ‎ 又，所以，解得 ‎ 据此可设计航行方案如下：‎ ‎ 航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇 ‎ 证明如下：‎ ‎ 如图，由（I）得，，‎ ‎ 故，且对于线段上任意点P,‎ ‎ 有 而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，‎ ‎ 故小艇与轮船不可能在A，C之间（包含C）的任意位置相遇。‎ ‎ 设，则在中，，‎ ‎ 由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为 ‎ 和 ‎ 所以，‎ ‎ 由此可得，‎ ‎ 又，故 ‎ 从而，‎ ‎ 由于时，取得最小值，且最小值为 ‎ 于是，当时，取得最小值，且最小值为 解法三：‎ ‎（I）同解法一或解法二 ‎（II）设小艇与轮船在B处相遇。依据题意得：‎ ‎ ，‎ ‎ （‎ （1） 若，则由 ‎ =‎ 得 从而，，‎ ① 当时，‎ 令，则，，当且仅当即时等号成立。‎ ②当时，同理可得 由①、②得，当时，‎ （1） 若，则 综合（1）、（2）可知，当时，t取最小值，且最小值等于 此时，在中，，故可设计航行方案如下：‎ 航行方向为北偏东，航行速度为‎30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。‎ ‎20.本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。满分14分。‎ 解法一：‎ ‎（Ⅰ）（i）有f(x)=x3-x得f’(x)=3x2-1=3(x-)(x+).‎ 当x(,)和(，)时，f’(x)>0;‎ 当x(，)时，f’(x)<0。‎ ‎（ⅱ）曲线C在点P1处的切线方程为 y=(3x12-1)(x-x1)+x13-x1，‎ 即y=(3x12-1)x-2 x13.‎ 由 得x3-x=(3x12-1)x-2 x13‎ 即（x-x1）2(x+2x1)=0,‎ 解得 x=x1或x=-2x1,‎ 故x2=-2x1.‎ 进而有 用x2代替x1,重复上述计算过程，可得x3= -2x2和S2=。‎ 又x2=-2x10，所以S2=,因此有。‎ ‎（Ⅱ）记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d（a0）的图像为曲线C’，类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：若对于任意不等于的实数x1,曲线C’与其在点P1（x1, g(x1)）处的切线交于另一点P2（x2, g(x2)）,曲线C’与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3, g(x3)），线段P1P2、P2P3‎ 与曲线C’所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值。‎ 证明如下：‎ 因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线y=g(x)的对称中心平移至 解法二：‎ ‎（Ⅰ）同解法一。‎ ‎（Ⅱ）记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的图像为曲线C’，类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：若对于任意不等于的实数x1,曲线C’与其在点P1（x1, g(x1)）处的切线交于另一点P2（x2, g(x2)）,曲线C’与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3, g(x3)），线段P1P2、P2P3‎ 与曲线C’所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值。‎ 证明如下：‎ 用x2代替x1，重复上述计算过程，可得x3= 和。‎ 又x2=‎ 所以 故 ‎21．（1）选修4-2：矩阵与变换 本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力。满分7分。‎ 解法一：‎ ‎（Ⅰ）由题设得：‎ ‎（Ⅱ）因为矩阵M为对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线y=3x上的两点（0，0），（1，3），‎ 由 点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的线性变换作用下的像是点（0，0），（-2，2）.‎ 从而，直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程为y=-x。‎ 解法二：‎ ‎（Ⅰ）同解法一。‎ ‎（Ⅱ）设直线y=3x上的任意点（x,y）在矩阵M所对应的线性变换作用下的像是点（x’,y’），由 由（x,y）的任意性可知，直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程为y= -x。‎ ‎（2）选修4-4：坐标系与参数方程 本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力。满分7分。‎ 解法一：‎ 故由上式及t的几何意义得 解法二：‎ ‎（Ⅰ）同解法一。‎ ‎（Ⅱ）因为圆C的圆心为（0，），半径r=,直线l的普通方程为：y=-x+3+.‎ 由解得：或 不妨设A（1，2+） ，B（2，1+），又点P的坐标为（3，），‎ 又已知不等式f(x) 3的解集为，所以解得a=2.‎ ‎（Ⅱ）当a=2时，f(x)=∣x-2∣.设g(x)=f(x)+f(x+5)，于是 综上可得，g(x)的最小值为5.‎ 从而，若f(x)+f(x+5)≥m即g(x) ≥m 对一切实数x 恒成立，则m的取值范围为(-，5].‎ 解法二：‎ ‎（Ⅰ）同解法一。‎ ‎（Ⅱ）当a=2时，f(x)=∣x-2∣.设g(x)=f(x)+f(x+5).‎ ‎ 由∣x-2∣+∣x+3∣≥∣(x-2)-(x+3)∣=5 （当且仅当-3x2时等号成立）得，g(x)的最小值为5.‎ 从而，若f(x)+f(x+5) ≥m 即 g(x) ≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(-，5].‎