【数学】2019届一轮复习苏教版第4章三角函数解三角形第20讲学案 15页

第20讲　两角和与差的三角函数、二倍角公式 考试要求　1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导及联系(C级要求)；二倍角的正弦、余弦、正切公式(B级要求)；2.运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角恒等变换(C级要求).‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(　　)‎ ‎(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.(　　)‎ ‎(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β ‎＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.(　　)‎ ‎(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)‎ 解析　(3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠＋kπ，k∈ .‎ 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√‎ ‎2.(2017·山东卷改编)已知cos x＝，则cos 2x＝________.‎ 解析　由cos x＝得cos 2x＝2cos2x－1＝2×－1＝.‎ 答案　 ‎3.(2017·江苏卷)若tan(α－)＝，则tan α＝________.‎ 解析　tan α＝tan ＝＝＝.‎ 答案　 ‎4.(2018·苏、锡、常、镇调研)已知α是第二象限角，且sin α＝，tan(α＋β)＝－2，则tan β＝________.‎ 解析　由α是第二象限角，且sin α＝，‎ 得cos α＝－，tan α＝－3，‎ 所以tan β＝tan(α＋β－α)＝＝＝.‎ 答案　 ‎5.(必修4P109习题4改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°·cos 58°＝________.‎ 解析　sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°‎ ‎＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°‎ ‎＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°‎ ‎＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°‎ ‎＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝.‎ 答案　 知 识 梳 理 ‎1.两角和与差的三角函数公式 sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.‎ cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.‎ tan(α±β)＝.‎ ‎2.二倍角公式 sin 2α＝2sin__αcos__α.‎ cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.‎ tan 2α＝.‎ 注意：①在二倍角的正切公式中，角α是有限制条件的，即α≠kπ＋，且α≠‎ eq f(kπ,2)＋(k∈ ).‎ ‎②“倍角”的意义是相对的，如4α是2α的二倍角，α是的二倍角.‎ ‎3.有关公式的逆用、变形等 ‎(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan__αtan__β).‎ ‎(2)cos2α＝，sin2α＝.‎ ‎(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，‎ sin α±cos α＝sin.‎ ‎4.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).‎ 考点一　公式的正向、逆向使用 ‎【例1】 (1)(一题多解)(2015·江苏卷)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为________.‎ ‎(2)(2016·四川卷)cos2－sin2＝________.‎ 解析　(1)法一　∵tan α＝－2，‎ ‎∴tan(α＋β)＝＝＝，‎ 解得tan β＝3.‎ 法二　tan β＝tan[(α＋β)－α]‎ ‎＝＝＝＝3.‎ ‎(2)由二倍角公式得cos2－sin2＝cos ＝.‎ 答案　(1)3　(2) 规律方法　两角和与差的三角函数公式、二倍角公式的正向使用(从左往右使用)、逆向使用(从右往左使用)是本节的基础，要从角度联系、结构特征发现问题中隐含的公式特征，选择使用公式解决问题；特别要注意“尽量用已知角表示未知角”的思想方法的应用.‎ ‎【训练1】 (1)(2017·课标全国Ⅰ卷)已知α∈，tan α＝2，则cos＝________.‎ ‎(2)(2015·全国Ⅰ卷改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝________.‎ 解析　(1)因为α∈，且tan α＝＝2，所以sin α＝2cos α，又 sin2α＋cos2α＝1，所以sin α＝，cos α＝，则cos＝‎ cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝.‎ ‎(2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝‎ sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.‎ 答案　(1)　(2) 考点二　公式的变形、灵活使用 ‎【例2】 (1)(2017·广州调研)已知sin α＋cos α＝，则sin2＝________.‎ ‎(2)(2017·江苏四校联考)已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，则的值为________.‎ ‎(3)(2017·如东中 调研)已知α为锐角，若sin＝，则cos＝________.‎ 解析　(1)由sin α＋cos α＝两边平方得1＋sin 2α＝，解得sin 2α＝－，所以sin2＝＝＝＝.‎ ‎(2)＝ ‎＝ ‎＝.‎ 将tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3代入，得原式＝＝.‎ ‎(3)由sin＝，可得cos＝±，‎ 当cos＝－时，cos α＝cos＝<0，与α是锐角矛盾，所以cos＝，‎ 从而cos＝cos ‎＝2sin·cos＝2××＝.‎ 答案　(1)　(2)　(3) 规律方法　两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在 习时应注意以下几点：‎ ‎(1)不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；‎ ‎(2)善于拆角、拼角，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＋β＝(α＋β)＋α等；‎ ‎(3)注意倍角的相对性，如α＝2×等；‎ ‎(4)要时时注意角的范围；‎ ‎(5)熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等.‎ ‎【训练2】 (1)(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是________.‎ ‎(2)(2018·四川泸州四诊)已知sin＝，则cos＝________.‎ 解析　(1)原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°‎ ‎＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28°‎ ‎＝1＋1＝2.‎ ‎(2)由题意：sin＝sin＝cos＝，‎ 则cos＝cos2＝2cos2－1＝－.‎ 答案　(1)2　(2)－ 考点三　三角函数式的化简与求值(多维探究)‎ 命题角度1　三角函数式的化简 ‎【例3－1】 化简：(0<α<π)＝________.‎ 解析　原式＝ ‎＝＝.‎ 因为0<α<π，所以0<<，所以cos>0，所以原式＝cos α.‎ 答案　cos α 命题角度2　给值求值 ‎【例3－2】 (一题多解)(2017·苏州一模)若2tan α＝3tan ，则 tan＝________.‎ 解析　法一　tan＝＝＝ ‎＝＝.‎ 法二　由tan ＝1，解得tan ＝－1，‎ 所以tan＝＝＝.‎ 答案　 命题角度3　给角求值 ‎【例3－3】 [2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝________.‎ 解析　原式＝·‎ sin 80°＝(2sin 50°＋2sin 10°·)·‎ cos 10°＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]‎ ‎＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.‎ 答案　 命题角度4　给值求角 ‎【例3－4】 (2018·常州一模)满足等式cos 2x－1＝3cos x(x∈[0，π])的x的值为________.‎ 解析　将方程化为2cos2x－3cos x－2＝0，解得cos x＝－或cos x＝2(舍去).因为x∈[0，π]，所以x＝.‎ 答案　 规律方法　1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.‎ ‎2.三角函数求值有三种类型：‎ ‎(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.‎ ‎(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般有如下两种思路；①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的.‎ ‎(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角.‎ ‎【训练3】 (1)化简：＝________.‎ ‎(2)(2016·课标Ⅲ卷改编)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝________.‎ ‎(3)已知cos α＝，cos(α－β)＝(0<β<α<)，则tan 2α＝________，β＝________.‎ 解析　(1)原式＝＝ ‎=＝＝cos 2α.‎ ‎(2)由tan α＝，得或 所以cos2α＋2sin 2α＝cos2α＋4sin αcos α＝＋4×＝.‎ ‎(3)∵cos α＝，0<α<，‎ ‎∴sin α＝，tan α＝4，‎ ‎∴tan 2α＝＝＝－.‎ ‎∵0<β<α<，∴0<α－β<，‎ ‎∴sin(α－β)＝，‎ ‎∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)‎ ‎＝×＋×＝，‎ ‎∴β＝.‎ 答案　(1)cos 2α　(2)　(3)－　 一、必做题 ‎1.(2018·苏州暑假测试)已知α∈(0，π)，cos α＝－，则tan＝________.‎ 解析　由α∈(0，π)，cos α＝－，得tan α＝－，‎ 所以tan＝＝＝.‎ 答案　 ‎2.(2017·扬州一模)已知cos＝，那么sin(π＋α)＝________.‎ 解析　由cos＝，0<α<，知sin＝，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－sin＝－×＋×＝.‎ 答案　 ‎3.(2018·苏州调研)已知α是第二象限角，且tan α＝－，则sin 2α＝________.‎ 解析　因为α是第二象限角，且tan α＝－，所以sin α＝，cos α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.‎ 答案　－ ‎4.(2018·苏、锡、常、镇四市调研)若tan α＝，tan(α－β)＝－，则tan(β－2α)＝________.‎ 解析　tan(β－α)＝－tan(α－β)＝，所以tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝＝－.‎ 答案　－ ‎5.(2018·淮阴中 期中)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝________.‎ 解析　由tan(22°＋23°)＝＝1，得tan 22°＋tan 23°＋‎ tan 22°tan 23°＝1，所以(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝1＋tan 22°＋tan 23°＋‎ tan 22°tan 23°＝1＋1＝2.‎ 答案　2‎ ‎6.(2017·南京、盐城第二次模拟考试)若sin＝，α∈，则cos α的值为________.‎ 解析　因为α∈，所以α－∈，‎ 又sin＝，‎ 所以cos＝，‎ 所以cos α＝cos＝coscos－sinsin ‎＝×－×＝ 答案　 ‎7.(2018·盐城中 月考)已知α∈，β∈，且cos＝，sin＝－，则cos(α＋β)＝________.‎ 解析　∵α∈，cos＝，‎ 则－α∈，‎ ‎∴sin＝－，‎ ‎∵sin＝－，∴sin＝，‎ 又∵β∈，则＋β∈，∴cos＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝cos＝×－×＝－.‎ 答案　－ ‎8.(2017·泰州调研)若cos＝，则sin(2α－)的值是________.‎ 解析　sin＝sin＝cos 2 ‎＝2cos2－1＝2×－1＝－.‎ 答案　－ ‎9.(2017·扬州、泰州、南通、淮安、宿迁、徐州六市二模)已知sin＝，α∈.‎ 求：(1)(一题多解)cos α的值；‎ ‎(2)sin的值.‎ 解　(1)法一　因为α∈，所以α＋∈，‎ 又sin＝，‎ 所以cos＝－＝－＝－.‎ 所以cos α＝cos ‎＝coscos ＋sinsin ‎＝－×＋× ‎＝－.‎ 法二　由sin＝得sin αcos ＋cos αsin ‎＝，‎ 即sin α＋cos α＝，结合sin2α＋cos2α＝1，‎ 得cos α＝－或cos α＝.‎ 因为α∈，所以cos α＝－.‎ ‎(2)因为α∈，cos α＝－，‎ 所以sin α＝＝＝.‎ 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，‎ cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－.‎ 所以sin ‎＝sin 2αcos －cos 2αsin ‎＝×－×＝－.‎ ‎10.(2018·常州一中期中)已知α，β∈且sin(α＋2β)＝.‎ ‎(1)若α＋β＝，求sin β的值；‎ ‎(2)若sin β＝，求cos α的值.‎ 解　(1)因为α，β∈，α＋β＝，sin(α＋2β)＝，所以α＋2β∈，所以cos(α＋2β)＝－，‎ 所以sin β＝sin＝×－×＝.‎ ‎(2)因为sin β＝且β∈，所以cos β＝，‎ 所以sin 2β＝2sin βcos β＝，cos 2β＝2cos2β－1＝－，‎ 所以2β∈.又因为α，β∈，‎ 且sin(α＋2β)＝，‎ 所以α＋2β∈，所以cos(α＋2β)＝－.‎ 所以cos α＝cos(α＋2β－2β)＝×＋×＝.‎ 二、选做题 ‎11.(2017·仪征中 检测)已知3tan ＋tan2＝1，sin β＝3sin(2α＋β)，则tan(α＋β)＝________.‎ 解析　由3tan ＋tan2＝1，可得tan α＝＝，由sin β＝3sin(2α＋β)得sin[(α＋β)－α]＝3sin[α＋(α＋β)]，‎ 展开得sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝3sin αcos(α＋β)＋3cos αsin(α＋β)，‎ 合并得2sin(α＋β)cos α＝－4sin αcos(α＋β)，‎ 所以tan(α＋β)＝－2tan α，‎ 故tan(α＋β)＝－2×＝－.‎ 答案　－ ‎12.(2018·苏、锡、常、镇四市调研)已知sin α＝3sin，则tan＝________.‎ 解析　∵sin α＝3sin(α＋)，‎ ‎∴sin＝3sin，‎ ‎∴sincos －cossin ‎＝3sincos ＋3cossin ，‎ ‎∴－2sincos ＝4cossin ，‎ ‎∵cos≠0，cos ≠0，‎ ‎∴tan＝＝－2tan ＝－2tan 15°＝－2tan(45°－30°)‎ ‎＝－2×＝－2× ‎＝－2×＝－2(2－)＝2－4.‎ 答案　2－4‎