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- 2021-06-10 发布
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第6讲 双曲线
[学生用书P159]
1.双曲线定义
平面内与两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.
(1)当2a<|F1F2|时,P点的轨迹是双曲线;
(2)当2a=|F1F2|时,P点的轨迹是两条射线;
(3)当2a>|F1F2|时,P点不存在.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
-=1
(a>0,b>0)
-=1
(a>0,b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤-a,y∈R
y≤-a或y≥a,x∈R
对称性
对称轴:坐标轴,对称中心:原点
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
渐近线
y=±x
y=±x
离心率
e=,e∈(1,+∞)
实、
虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b(a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长)
a、b、c
的关系
c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)
判断正误(正确的打“√”,错误的是“×”)
(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )
(2)方程-=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( )
(3)双曲线方程-=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是-=0,即±=0.( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.( )
(5)若双曲线-=1(a>0,b>0)与-=1(a>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,则+=1.( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
若方程-=1表示双曲线,则m的取值范围是( )
A.m>-1 B.m<-2
C.-2-1或m<-2
解析:选D.因为方程-=1表示双曲线,所以(2+m)(m+1)>0,即m>-1或m<-2.
(教材习题改编)双曲线-=1上一点P到一个焦点的距离为4,则P到另一个焦点的距离为( )
A.20 B.16
C.12 D.8
解析:选A.设P到另一个焦点的距离为d,
则|d-4|=2×8=16,所以d=20,故选A.
(教材习题改编)双曲线C的两焦点分别为(-6,0),(6,0),且经过点(-5,2),则双曲线的标准方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
解析:选B.2a=
=4.所以a=2,又c=6,
所以b2=c2-a2=36-20=16.
所以双曲线的标准方程为-=1.故选B.
(教材习题改编)若双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为( )
A. B.5
C. D.2
解析:选A.由题意知=2a,又c2=a2+b2,
所以|bc|=2ac.即b=2a.
所以c2=a2+b2=5a2,所以=5,
即e2=5,所以e=.
(教材习题改编)经过点A(3,-1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.
解析:设双曲线的方程为:-=±1(a>0),把点A(3,-1)代入,得a2=8,故所求方程为-=1.
答案:-=1
双曲线的定义(高频考点)
[学生用书P160]
双曲线的定义是每年高考的重点,题型多为选择题,难度适中.主要命题角度有:
(1)利用定义求轨迹方程;
(2)利用定义解决“焦点三角形”问题.
[典例引领]
角度一 利用定义求轨迹方程
已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为____________.
【解析】 如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件,得
|MC1|-|AC1|=|MA|,
|MC2|-|BC2|=|MB|,
因为|MA|=|MB|,所以
|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,
即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2,所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|=6.
又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),
其中a=1,c=3,则b2=8.
故点M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).
【答案】 x2-=1(x≤-1)
角度二 利用定义解决“焦点三角形”问题
已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左,右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=________.
【解析】 由双曲线的定义有
|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2,
所以|PF1|=2|PF2|=4,
则cos∠F1PF2=
==.
【答案】
1.本例中将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“∠F1PF2=60°”,则△F1PF2的面积是多少?
解:不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a=2,
在△F1PF2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2
==,
所以|PF1|·|PF2|=8,
所以S△F1PF2=|PF1|·|PF2|sin 60°=2.
2.本例中将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“·=0”,则△F1PF2的面积是多少?
解:不妨设点P在双曲线的右支上,则
|PF1|-|PF2|=2a=2,由于·=0中,所以⊥,所以在△F1PF2,有
|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
即|PF1|2+|PF2|2=16,所以|PF1|·|PF2|=4,
所以S△F1PF2=|PF1|·|PF2|=2.
双曲线定义的应用
(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程;
(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立|PF1|与|PF2|的关系.
[注意] 在应用双曲线定义时,要注意定义中的条件,搞清所求轨迹是双曲线,还是双曲线的一支,若是双曲线的一支,则需确定是哪一支.
[通关练习]
已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为________.
解析:如图,设双曲线的右焦点为E,则E(4,0).由双曲线的定义及标准方程得|PF|-|PE|=4,则|PF|+|PA|=4+|PE|+|PA|.由图可得,当A,P,E三点共线时,(|PE|+|PA|)min=|AE|=5,从而|PF|+|PA|的最小值为9.
答案:9
双曲线的标准方程[学生用书P161]
[典例引领]
根据下列条件,求双曲线的标准方程:
(1)虚轴长为12,离心率为;
(2)焦距为26,且经过点M(0,12);
(3)经过两点P(-3,2)和Q(-6,-7).
【解】 (1)设双曲线的标准方程为
-=1或-=1(a>0,b>0).
由题意知,2b=12,e==,
所以b=6,c=10,a=8.
所以双曲线的标准方程为-=1或-=1.
(2)因为双曲线经过点M(0,12),所以M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在y轴上,且a=12.
又2c=26,所以c=13,所以b2=c2-a2=25.
所以双曲线的标准方程为-=1.
(3)设双曲线方程为mx2-ny2=1(mn>0).
所以,解得
所以双曲线的标准方程为-=1.
求双曲线标准方程的一般方法
(1)待定系数法:设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出参数a、b、c的方程并求出a、b、c的值.与已知双曲线-=1有相同渐近线时,可设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0).
(2)定义法:依定义得出距离之差的等量关系式,求出a的值,由定点位置确定c的值.
[通关练习]
设双曲线与椭圆+=1有共同的焦点,且与椭圆相交,其中一个交点的坐标为(,4),则此双曲线的标准方程是______________.
解析:法一:椭圆+=1的焦点坐标是(0,±3),
设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),
根据双曲线的定义知2a=|-|=4,故a=2.又b2=32-22=5,故所求双曲线的标准方程为-=1.
法二:椭圆+=1的焦点坐标是(0,±3).设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),则a2+b2=9①,又点(,4)在双曲线上,所以-=1②,联立①②解得a2=4,b2=5.故所求双曲线的标准方程为-=1.
答案:-=1
双曲线的几何性质(高频考点)
[学生用书P161]
双曲线的几何性质是每年高考的热点,题型为选择题、填空题,难度中等.主要命题角度有:
(1)双曲线的离心率问题;
(2)双曲线的渐近线问题;
(3)由离心率或渐近线确定标准方程;
(4)与双曲线有关的范围问题.
[典例引领]
角度一 双曲线的离心率问题
(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)若a>1,则双曲线-y2=1的离心率的取值范围是( )
A.(,+∞) B.(,2)
C.(1,) D.(1,2)
(2)(2017·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为________.
【解析】 (1)依题意得,双曲线的离心率e=,因为a>1,所以e∈(1,),选C.
(2)双曲线的右顶点为A(a,0),一条渐近线的方程为y=x,即bx-ay=0,圆心A到此渐近线的距离d==,因为∠MAN=60°,圆的半径为b,所以b·sin 60°=,即=,所以e==.
【答案】 (1)C (2)
角度二 双曲线的渐近线问题
(1)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)双曲线-=1(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则a
=____________.
【解析】 (1)由e=,得=,
所以c=a,b==a.
而-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,
所以所求渐近线方程为y=±x.
(2)由题意可得=,所以a=5.
【答案】 (1)C (2)5
角度三 由离心率或渐近线确定标准方程
(2017·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C:-=1 (a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
【解析】 根据双曲线C的渐近线方程为y=x,可知= ①,又椭圆+=1的焦点坐标为(3,0)和(-3,0),所以a2+b2=9 ②,根据①②可知a2=4,b2=5,所以选B.
【答案】 B
角度四 与双曲线有关的范围问题
已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若·<0,则y0的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【解析】 由题意知a=,b=1,c=,所以
F1(-,0),F2(,0),
所以 =(--x0,-y0),=(-x0,-y0).
因为 ·<0,所以 (--x0)(-x0)+y<0,
即x-3+y<0.
因为 点M(x0,y0)在双曲线上,所以-y=1,即x=2+2y,
所以2+2y-3+y<0,所以-<y0<.故选A.
【答案】 A
(1)双曲线离心率的求法
求双曲线的离心率有两种思路:一是根据双曲线的定义及性质分别求出a与c;二是根据已知构造关于a,c的方程或不等式,进而转化为关于e的方程或不等式求解,注意正确利用a,b,c的关系式.
(2)双曲线的离心率与渐近线斜率的关系
①已知双曲线的离心率e求渐近线方程要注意e=及判断焦点的位置.
②已知渐近线方程y=mx(m>0)求离心率时,若焦点不确定时,m=或m=,因此离心率有两种可能.
[注意] 如果已知双曲线方程-=1或-=1,求其渐近线方程,只要将方程等号右端“1”改写成“0”,即得渐近线方程.
(3)与双曲线有关的范围问题的解题思路
①若条件中存在不等关系,则借助此关系直接转化求解.
②若条件中没有不等关系,要善于发现隐含的不等关系,如借助双曲线上点的坐标范围,方程中Δ≥0等来解决.
[通关练习]
1.已知双曲线-=1(a>0,b>0)与直线y=2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为( )
A.(1,) B.(1,]
C.(,+∞) D.[,+∞)
解析:选C.因为双曲线的一条渐近线方程为y=x,则由题意得>2,所以e==>=.
2.已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,
且顶角为120°,则E的离心率为( )
A. B.2
C. D.
解析:
选D.不妨取点M在第一象限,如图所示,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),则|BM|=|AB|=2a,∠MBx=180°-120°=60°,
所以M点的坐标为(2a,a).
因为M点在双曲线上,所以-=1,a=b,
所以c=a,e==.故选D.
3.已知双曲线过点(4,),且渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方程为____________.
解析:因为双曲线的渐近线方程为y=±x,
所以可设双曲线的方程为x2-4y2=λ(λ≠0).
因为双曲线过点(4,),所以λ=16-4×()2=4,
所以双曲线的标准方程为-y2=1.
答案:-y2=1
直线与双曲线的位置关系[学生用书P162]
[典例引领]
已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左,右焦点分别是C1的左,右顶点,而C2的左,右顶点分别是C1的左,右焦点.
(1)求双曲线C2的方程;
(2)若直线l:y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且·>2(其中O为原点),求k的取值范围.
【解】 (1)设双曲线C2的方程为-=1(a>0,b>0),
则a2=4-1=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1.
故C2的方程为-y2=1.
(2)将y=kx+代入-y2=1,
得(1-3k2)x2-6kx-9=0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得
所以k2≠且k2<1.①
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=.
所以x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+)(kx2+)
=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+2=.
又因为·>2,得x1x2+y1y2>2,
所以>2,即>0,
解得0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程;
(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使+=t,求t的值及点D的坐标.
解:(1)由题意知a=2,
因为一条渐近线为y=x,即bx-ay=0.
所以由焦点到渐近线的距离为,
得=,又因为c2=a2+b2,
所以b2=3,所以双曲线的方程为-=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0)(x0>0),
则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.
将直线方程y=x-2代入双曲线方程-=1得x2-16x+84=0,
则x1+x2=16,y1+y2=(x1+x2)-4=12.
所以解得
所以t=4,点D的坐标为(4,3).
应用双曲线定义需注意的问题
(1)在双曲线的定义中一是不能漏掉“绝对值”,否则轨迹是双曲线的一支;二是“常数”小于|F1F2|,否则轨迹是射线或不存在.
(2)求双曲线方程时,一是注意标准形式判断;二是注意a,b,c的关系易错易混.
双曲线方程的常见设法
(1)与双曲线-=1共渐近线的双曲线可设为-=λ(λ≠0);
(2)若双曲线的渐近线方程为y=±x,则可设为-=λ(λ≠0);
(3)若双曲线过两个已知点,则设为+=1(mn<0);
(4)与双曲线-=1共焦点的双曲线方程可设为-=1(-b2b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为+=1(b2<λ25,
所以“k<9”是“方程+=1表示双曲线”的充分不必要条件,故选A.
2.若双曲线C1:-=1与C2:-=1(a>0,b>0)的渐近线相同,且双曲线C2的焦距为4,则b=( )
A.2 B.4
C.6 D.8
解析:选B.由题意得,=2⇒b=2a,C2的焦距2c=4⇒c==2⇒b=4,故选B.
3.(2017·高考全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为( )
A. B.
C. D.
解析:选D.法一:由题可知,双曲线的右焦点为F(2,0),当x=2时,代入双曲线C的方程,得4-=1,解得y=±3,不妨取点P(2,3),因为点A(1,3),所以AP∥x轴,又PF⊥x轴,所以AP⊥PF,所以S△APF=|PF|·|AP|=×3×1=.故选D.
法二:由题可知,双曲线的右焦点为F(2,0),当x=2时,代入双曲线C的方程,得4-=1,解得y=±3,不妨取点P(2,3),因为点A(1,3),所以=(1,0),=(0,-3),所以
eq o(AP,sup6(→))·=0,所以AP⊥PF,所以S△APF=|PF|·|AP|=×3×1=.故选D.
4.(2017·高考天津卷)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-y2=1 D.x2-=1
解析:选D.由△OAF是边长为2的等边三角形可知,c=2,=tan 60°=,又c2=a2+b2,联立可得a=1,b=,所以双曲线的方程为x2-=1.
5.设F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线上存在点A,使∠F1AF2=90°且|AF1|=3|AF2|,则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析:选B.因为∠F1AF2=90°,
故|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2=4c2,
又|AF1|=3|AF2|,且|AF1|-|AF2|=2a,
故10a2=4c2,故=,
故e==.
6.已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线的方程为____________.
解析:已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则c=4,a=2,b2=12,双曲线方程为-=1.
答案:-=1
7.若双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为________.
解析:由双曲线的渐近线过点(3,-4)知=,
所以=.又b2=c2-a2,所以=,
即e2-1=,所以e2=,所以e=.
答案:
8.双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=________.
解析:双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,由已知可得两条渐近线方程互相垂直,由双曲线的对称性可得=1.又正方形OABC的边长为2,所以c=2,所以a2+b2=c2=(2)2,解得a=2.
答案:2
9.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且点(4,-),点M(3,m)都在双曲线上.
(1)求双曲线的方程;
(2)求证:·=0;
(3)求△F1MF2的面积.
解:(1)因为e=,则双曲线的实轴、虚轴相等.
所以可设双曲线方程为x2-y2=λ.
因为双曲线过点(4,-),
所以16-10=λ,即λ=6.
所以双曲线方程为x2-y2=6.
(2)证明:设F1(-2,0),F2(2,0),
则=(-2-3,-m),
=(2-3,-m).
所以·
=(3+2)×(3-2)+m2
=-3+m2,
因为M点在双曲线上,
所以9-m2=6,即m2-3=0,
所以·=0.
(3)△F1MF2的底边长|F1F2|=4.
由(2)知m=±.
所以△F1MF2的高h=|m|=,
所以S△F1MF2=×4×=6.
10.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,点(,0)是双曲线的一个顶点.
(1)求双曲线的方程;
(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线,直线与双曲线交于不同的两点A,B,求AB的长.
解:(1)因为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,点(,0)是双曲线的一个顶点,
所以解得c=3,b=,
所以双曲线的方程为-=1.
(2)双曲线-=1的右焦点为F2(3,0),
所以经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为y=(x-3).
联立
得5x2+6x-27=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-,x1x2=-.
所以|AB|= × =.
1.已知直线l与双曲线C:x2-y2=2的两条渐近线分别交于A,B两点,若AB的中点在该双曲线上,O为坐标原点,则△AOB的面积为( )
A. B.1
C.2 D.4
解析:选C.由题意得,双曲线的两条渐近线方程为y=±x,设A(x1,x1)B(x2,-x2),所以AB中点坐标为,所以-=2,即x1x2=2,所以S△AOB=|OA|·|OB|=|x1|·|x2|=x1x2=2,故选C.
2.已知点F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点,若|AB|∶|BF2|∶|AF2|=3∶4∶5,则双曲线的离心率为( )
A.2 B.4
C. D.
解析:选C.由题意,设|AB|=3k,|BF2|=4k,
|AF2|=5k,则BF1⊥BF2,
|AF1|=|AF2|-2a=5k-2a,
因为|BF1|-|BF2|=5k-2a+3k-4k=4k-2a=2a,
所以a=k,所以|BF1|=6a,|BF2|=4a,
又|BF1|2+|BF2|2=|F1F2|2,
即13a2=c2,所以e==.
3.过双曲线x2-=1的右支上一点P,分别向圆C1:(x+4)2+y2=4和圆C2:(x-4)2+y2=1作切线,切点分别为M,N,则|PM|2-|PN|2的最小值为( )
A.10 B.13
C.16 D.19
解析:选B.由题可知,|PM|2-|PN|2=
(|PC1|2-4)-(|PC2|2-1),
因此|PM|2-|PN|2=|PC1|2-|PC2|2-3=
(|PC1|-|PC2|)(|PC1|+|PC2|)-3=
2(|PC1|+|PC2|)-3≥2|C1C2|-3=13.
4.(2018·东北四市模拟)F为双曲线-=1(a>b>0)的左焦点,过点F且斜率为1的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A,B两点,若=,则双曲线的离心率为________.
解析:设双曲线的两条渐近线分别为l1,l2,l1:y=x,l2:y=-x,由于kFA=1,则FA的方程为y=x+c,
由,可得A(-,),
由,可得B(,),
因为=,所以点A为FB的中点,故=,则b=3a,即b2=9a2,
所以c2-a2=9a2,即 e2=10,所以e=.
答案:
5.中心在原点,焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4,离心率之比为3∶7.
(1)求椭圆和双曲线的方程;
(2)若P为这两曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值.
解:(1)由题知c=,设椭圆方程为+=1,双曲线方程为-=1,
则解得a=7,m=3.
所以b=6,n=2.
所以椭圆方程为+=1,双曲线方程为-=1.
(2)不妨设F1,F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,
所以|PF1|=10,|PF2|=4.
又|F1F2|=2,
所以cos∠F1PF2=
==.
6.一条斜率为1的直线l与离心率为的双曲线-=1(a>0,b>0)交于P,Q两点,直线l与y轴交于R点,且·=-3,=3,求直线和双曲线的方程.
解:因为e=,所以b2=2a2,
所以双曲线方程可化为2x2-y2=2a2.
设直线l的方程为y=x+m.
由
得x2-2mx-m2-2a2=0,
所以Δ=4m2+4(m2+2a2)>0,
所以直线l一定与双曲线相交.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则x1+x2=2m,x1x2=-m2-2a2,
因为=3,xR==0,
所以x1=-3x2,
所以x2=-m,-3x=-m2-2a2.
消去x2,得m2=a2.
·=x1x2+y1y2
=x1x2+(x1+m)(x2+m)
=2x1x2+m(x1+x2)+m2
=m2-4a2=-3,
所以m=±1,a2=1,b2=2.
直线l的方程为y=x±1,双曲线的方程为x2-=1.