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- 2021-06-10 发布
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综合法、分析法、反证法、数学归纳法
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一、选择题
1.用反证法证明命题:“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时,应假设( )
A.三个内角都不大于60°
B.三个内角都大于60°
C.三个内角至多有一个大于60°
D.三个内角至多有两个大于60°
B [至少有一个包含“一个、两个和三个”,故其对立面三个内角都大于60°,故选B.]
2.分析法又称执果索因法,已知x>0,用分析法证明<1+时,索的因是( )
A.x2>1 B.x2>4
C.x2>0 D.x2>1
C [因为x>0,所以要证<1+,
只需证()2<2,
即证0<,即证x2>0,
因为x>0,所以x2>0成立,故原不等式成立.]
3.(2019·哈尔滨模拟)用数学归纳法证明不等式“1+++…+<n(n∈N+,n≥2)”时,由n=k(k≥2)时不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是( )
A.2k-1 B.2k-1
C.2k D.2k+1
C [n=k+1时,左边=1+++…++++…+,增加了++…+,共(2k+1-1)-(2k-1)=2k项,故选C.]
4.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值( )
A.恒为负值 B.恒等于零
C.恒为正值 D.无法确定正负
A [由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数,由x1+x2>0,可知x1>-x2,f(x1)<f(-x2)=-f(x2),则f(x1)+f(x2)<0,故选A.]
5.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.那么,下列命题总成立的是( )
A.若f(1)<1成立,则f(10)<100成立
B.若f(2)<4成立,则f(1)≥1成立
C.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立
D.若f(4)≥16成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立
D [由条件可知不等式的性质只对大于等于号成立,所以A错误;若f(1)≥1成立,则得到f(2)≥4,与f(2)<4矛盾,所以B错误;当f(3)≥9成立,无法推导出f(1),f(2),所以C错误;若f(4)≥16成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立,所以D正确.]
二、填空题
6.+与2+的大小关系为________.
+>2+ [要比较+与2+的大小,只需比较(+)2与(2+)2的大小,
只需比较6+7+2与8+5+4的大小,
只需比较与2的大小,只需比较42与40的大小,
∵42>40,∴+>2+.]
7.用数学归纳法证明不等式++…+>的过程中,由n=k推导n=
k+1时,不等式的左边增加的式子是________.
[不等式的左边增加的式子是+-=.]
8.若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1,在区间[-1,1]内至少存在一点c,使f(c)>0,则实数p的取值范围是________.
[若二次函数f(x)≤0在区间[-1,1]内恒成立,
则
解得p≤-3或p≥,
故满足题干要求的p的取值范围为.]
三、解答题
9.已知x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,求证:>8.
[证明] 因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,
所以-1==>,①
-1==>,②
-1==>,③
由①×②×③,得>8.
10.设数列{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和.
(1)求证:数列{Sn}不是等比数列;
(2)数列{Sn}是等差数列吗?为什么?
[解] (1)证明:假设数列{Sn}是等比数列,则S=S1S3,
即a(1+q)2=a1·a1·(1+q+q2),
因为a1≠0,所以(1+q)2=1+q+q2,
即q=0,这与公比q≠0矛盾,
所以数列{Sn}不是等比数列.
(2)当q=1时,Sn=na1,故{Sn}是等差数列;
当q≠1时,{Sn}不是等差数列.假设{Sn}是等差数列,
则2S2=S1+S3,即2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2),
由于a1≠0,∴2(1+q)=2+q+q2,即q=q2.
得q=0,这与公比q≠0矛盾.
综上,当q=1时,数列{Sn}是等差数列;
当q≠1时,数列{Sn}不是等差数列.
1.设x,y,z>0,则三个数+,+,+( )
A.都大于2 B.至少有一个大于2
C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2
C [因为++=++≥6,
当且仅当x=y=z时等号成立.
所以三个数中至少有一个不小于2,故选C.]
2.已知函数f(x)=x,a,b是正实数,A=f,
B=f(),C=f,则A,B,C的大小关系为( )
A.A≤B≤C B.A≤C≤B
C.B≤C≤A D.C≤B≤A
A [∵≥≥,又f(x)=x在R上是减函数,
∴f≤f()≤f,即A≤B≤C.]
3.设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)=________;当n>4时,f(n)=________(用n表示).
5 (n+1)(n-2) [由题意知f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9,可以归纳出每增加一条直线,交点增加的个数为原有直线的条数,所以f(4)-f(3)=3,f(5)-f(4)=4,猜测得出f(n)-f(n-1)=n-1(n≥4).有f(n)-f(3)=3+4+…+(n-1),所以f(n)=(n+1)(n-2).]
4.在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列,bn,
an+1,bn+1成等比数列(n∈N+).
(1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜想{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论.
(2)证明:++…+<.
[解] (1)由条件得2bn=an+an+1,a=bnbn+1.
由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25.
猜测an=n(n+1),bn=(n+1)2.
用数学归纳法证明:
①当n=1时,由上可得结论成立.
②假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,结论成立,
即ak=k(k+1),bk=(k+1)2.
那么当n=k+1时,
ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2),
bk+1==(k+2)2.所以当n=k+1时,结论也成立.
由①②,可知an=n(n+1),bn=(n+1)2对一切正整数都成立.
(2)=<.
当n≥2时,由(1)知
an+bn=(n+1)(2n+1)>2(n+1)n.
故++…+
<+
=+
=+<+=.
综上,原不等式成立.
1.(2019·广州模拟)十七世纪法国数学家费马提出猜想:“当整数n>2时,关于x,y,z的方程xn+yn=zn没有正整数解”.经历三百多年,于二十世纪九十年代中期由英国数学家安德鲁·怀尔斯证明了费马猜想,使它终成费马大定理,则下面说法正确的是( )
A.至少存在一组正整数组(x,y,z)使方程x3+y3=z3有解
B.关于x,y的方程x3+y3=1有正有理数解
C.关于x,y的方程x3+y3=1没有正有理数解
D.当整数n>3时,关于x,y,z的方程xn+yn=zn没有正实数解
C [由于B,C两个命题是对立的,故正确选项是这两个选项中的一个.假设关于x,y的方程x3+y3=1有正有理数解,故x,y可写成整数比值的形式,不妨设x=,y=,其中m,n为互质的正整数,a,b为互质的正整数.代入方程得+=1,两边乘以a3n3得,(am)3+(bn)3=(an)3,由于am,bn,an都是正整数,这与费马大定理矛盾,故假设不成立,所以关于x,y的方程x3+y3=1没有正有理数解.故选C.]
2.已知xi>0(i=1,2,3,…,n),我们知道(x1+x2)·≥4成立.
(1)求证:(x1+x2+x3)≥9.
(2)同理我们也可以证明出(x1+x2+x3+x4)·≥16.由上述几个不等式,请你猜测一个与x1+x2+…+xn和++…+(n≥2,n∈N+)有关的不等式,并用数学归纳法证明.
[解] (1)证明:法一:(x1+x2+x3)
≥3·3=9(当且仅当x1=x2=x3时,等号成立).
法二:(x1+x2+x3)
=3+++
≥3+2+2+2=9(当且仅当x1=x2=x3时,等号成立).
(2)猜想:(x1+x2+…+xn)≥n2(n≥2,n∈N+).
证明如下:
①当n=2时,由已知得猜想成立;
②假设当n=k(k≥2,k∈N+)时,猜想成立,
即(x1+x2+…+xk)≥k2,
则当n=k+1时,
(x1+x2+…+xk+xk+1)
=(x1+x2+…+xk)+(x1+x2+…+xk)+xk+1
+1
≥k2+(x1+x2+…+xk)+xk+1+1
=k2+++…++1≥k2+2+2+…+
+1
=k2+2k+1=(k+1)2,
所以当n=k+1时不等式成立.
综合①②可知,猜想成立.
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